例談證明函數(shù)零點唯一性問題的有效策略*

管良梁

?安徽省合肥市第四中學(xué)

1 例題呈現(xiàn)

2 解題策略探究

2.1 分區(qū)間研究法

所謂分區(qū)間研究法就是將函數(shù)的定義域分成幾個區(qū)間，在不同的區(qū)間里對函數(shù)進(jìn)行研究.

2.2 構(gòu)造輔助函數(shù)法

所謂構(gòu)造輔助函數(shù)法就是根據(jù)題干構(gòu)造一個新的函數(shù).借助對新構(gòu)造函數(shù)的研究，解決原函數(shù)所涉及的問題.

2.3 數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想.所謂數(shù)形結(jié)合法，就是將代數(shù)問題與幾何圖形結(jié)合起來，代數(shù)問題和幾何問題相互轉(zhuǎn)化，把復(fù)雜問題簡單化.

因為r(x)=xex(x>0)，所以r′(x)=ex+xex=ex(x+1).

因為x∈(0,+∞)，所以r′(x)=ex(x+1)>0.

故函數(shù)r(x)=xex在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

因為x→0時，r(x)→0，且x→+∞時，r(x)→+∞，所以函數(shù)r(x)=xex(x>0)的圖象如圖1中所示.

圖1

圖2

即證函數(shù)h(x)=x2ex(x>0)的圖象和函數(shù)g(x)=-lnx的圖象有唯一交點.

因為h(x)=x2ex(x>0)，所以h′(x)=2xex+x2ex=xex(x+2).

由x∈(0,+∞)，得h′(x)=xex(x+2)>0.

所以函數(shù)h(x)=x2ex在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

因為x→0時，h(x)→0，且x→+∞時，h(x)→+∞，所以函數(shù)h(x)=x2ex(x>0)的圖象如圖2中所示.

易知，函數(shù)g(x)=-lnx的圖象，如圖2所示.

由圖2可知，函數(shù)h(x)=x2ex(x>0)的圖象和函數(shù)g(x)=-lnx的圖象有唯一交點B，所以方程x2ex=-lnx(x>0)有唯一解.

函數(shù)的零點等價于對應(yīng)方程的解，也等價于對應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).不同的問題采取不同的方法，使得復(fù)雜問題簡單化，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)或方程加以解答.