拓展思維方向，總結(jié)解題規(guī)律
——對一道三角形面積題的探究

丁學(xué)智

?安徽省銅陵市第三中學(xué)

三角形面積問題中經(jīng)常同時(shí)兼?zhèn)淙切蔚摹斑叀迸c“角”這兩類不同的要素，而涉及三角形面積的最值或取值范圍問題，又進(jìn)一步融合三角形中“動(dòng)點(diǎn)”與“靜點(diǎn)”之間的對比與變化，構(gòu)建相應(yīng)的定值與最值、取值范圍等變量之間的關(guān)系，構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖片，倍受各方關(guān)注，一直是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)熱點(diǎn)題型.

1 問題呈現(xiàn)

問題(安徽省合肥市2022年高三年級(jí)第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理科試卷第15題)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b+2cosB+bcosA=6，a=2，則△ABC面積的取值范圍為.

此題以簡潔的條件給出三角形中對應(yīng)邊的長度，以及對應(yīng)邊與角之間的關(guān)系，進(jìn)而求解三角形面積的取值范圍.正確挖掘題目內(nèi)涵，構(gòu)建三角形中的定量、變量等要素間的關(guān)系，以及確定三角形的定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)等元素，合理推理分析，綜合數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等思維方式來分析、處理與應(yīng)用.

2 問題破解

方法1：三角形面積公式+基本不等式法.

結(jié)合余弦定理，可得4=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA=36-2bc-2bccosA.

解后反思：根據(jù)題目條件進(jìn)行邊與角的相關(guān)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以確定兩邊和的關(guān)系式，再利用余弦定理確定相關(guān)角的余弦值，并利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式確定對應(yīng)角的正弦值，由此構(gòu)建滿足三角形面積公式的條件，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建三角形面積的表達(dá)式，最后借助基本不等式來確定最值即可.綜合解三角形、三角函數(shù)以及基本不等式等相關(guān)知識(shí)，是本題的創(chuàng)設(shè)本質(zhì)，也是破解問題最基本的思維方法.

方法2：橢圓軌跡法.

圖1

解后反思：根據(jù)題目條件借助余弦定理將三角形中的角化邊，從而確定兩邊和為定值的條件，結(jié)合軌跡意識(shí)以及橢圓的定義進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，進(jìn)而直觀形象地確定三角形面積的變化情況，達(dá)到解決問題的目的.借助橢圓定義加以數(shù)學(xué)建模，可以更加直觀地解決此類與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題.

方法3：海倫公式+二次函數(shù)法.

解析：由b+2cosB+bcosA=6，a=2，可得b+acosB+bcosA=6.

結(jié)合射影定理acosB+bcosA=c，得b+c=6.

結(jié)合三角形的性質(zhì)，可知c+a=c+2>b=6-c，c-a=c-2

解后反思：根據(jù)題目條件進(jìn)行常數(shù)代換，借助射影定理加以轉(zhuǎn)化，確定兩邊和為定值的條件，利用三角形的基本性質(zhì)確定相關(guān)邊的取值范圍，結(jié)合三角形面積的海倫公式構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式，通過二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定三角形面積的變化情況，達(dá)到解決問題的目的.利用海倫公式可以合理構(gòu)建與三角形的邊有關(guān)的三角形面積的表達(dá)式，將相應(yīng)的應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來處理.

3 變式拓展

探究1：保留解三角形問題的創(chuàng)新情境，改變條件中邊與角的關(guān)系式，從另一個(gè)層面來構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，拓展解題的技巧方法，進(jìn)而綜合應(yīng)用，得到以下對應(yīng)的變式問題.

變式1已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b=2cosB+bcosA，a=2，則△ABC面積的最大值為.

解：斜率的幾何意義法.

由2b=2cosB+bcosA，a=2，得

2b=acosB+bcosA.

結(jié)合射影定理acosB+bcosA=c，可得c=2b.

圖2

解后反思：根據(jù)變式條件，同樣也可以利用“三角形面積公式+基本不等式法”來處理(這里不加以展示，可以結(jié)合原問題的方法1加以分析)，也可以通過“海倫公式+基本不等式法”來解決，而綜合條件拓展出“斜率的幾何意義法”，也是解決此類特殊結(jié)構(gòu)特征最值問題的一種直觀技巧.

4 教學(xué)啟示

4.1 面積應(yīng)用，最值綜合

借助三角形面積這一基本要素，可以巧妙通過三角形面積的夾角公式、高線公式以及海倫公式等的應(yīng)用，合理構(gòu)建三角形中相關(guān)邊、角等元素之間的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)、二次函數(shù)、基本不等式等相關(guān)知識(shí)來綜合與應(yīng)用；也可以巧妙構(gòu)建三角形中動(dòng)頂點(diǎn)的軌跡，結(jié)合一些特殊的曲線等來化歸與轉(zhuǎn)化，直觀想象，數(shù)形結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)最值或取值范圍等的確定與求解.

4.2 一題多解，一題多得

借助問題的“一題多解”，正確歸納解決相關(guān)類型問題的基本思維方式，總結(jié)規(guī)律，形成知識(shí)體系與思維習(xí)慣.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行“一題多變”“多題一解”等方面的嘗試，真正實(shí)現(xiàn)以“一題”帶動(dòng)“一片”，拓展思維應(yīng)用，提升解題技能，全面提升能力，擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”.