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——“長(zhǎng)短弦定理”及其推論

?山東省德州市臨邑第一中學(xué)

劉文明 王志武

歷年來，在高考、?？贾?，以過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦為背景的問題(簡(jiǎn)稱焦點(diǎn)弦問題)層出不窮，經(jīng)久不衰.比如，2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第16題，2022年山東臨沂一模第21題，2020年高考山東卷第13題，2018年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷第19題，等等.很多專家學(xué)者也對(duì)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行了研究，但都用到了圓錐曲線的第二定義，如文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]等.由于2019年版新教材及更早的教材中已刪減了圓錐曲線的第二定義，影響了相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論的推廣和應(yīng)用.為便于高中師生理解和接受，筆者避開第二定義，在橫向橢圓的基礎(chǔ)上利用高中知識(shí)對(duì)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行了研究，提出長(zhǎng)短弦定理及相關(guān)推論.實(shí)踐證明，長(zhǎng)短弦定理及其推論是解決焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度問題的有力工具之一.

1 角度式焦半弦公式

為了敘述的方便，我們把過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦稱為焦點(diǎn)弦，焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成兩部分，每一部分都稱為焦半弦.

圖1

這個(gè)公式記憶的難點(diǎn)是分母中的正負(fù)號(hào)，其規(guī)律是上減下加.即對(duì)橫向橢圓來講，當(dāng)弦AB過左焦點(diǎn)且點(diǎn)A在上方時(shí)，公式成立.

2 “長(zhǎng)短弦定理”及其推論

(注：這里a,b,c,p都是標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)曲線的相關(guān)參數(shù),以下同.)

由長(zhǎng)短弦定理可進(jìn)一步推演得如下推論成立.

推論2證明從略.

3 “長(zhǎng)短弦定理”及其推論應(yīng)用舉例

圖2

由“長(zhǎng)短弦定理”，得

因?yàn)橹本€ED為線段AF2的垂直平分線，所以△ADE≌△F2DE,故△ADE的周長(zhǎng)l=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=13.

分析：傳統(tǒng)解法是先設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消元，然后利用弦長(zhǎng)公式表示出弦長(zhǎng)，再進(jìn)一步求值，這樣計(jì)算量大，冗長(zhǎng)易錯(cuò)，容易陷入小題大做的陷阱.兩種解法對(duì)比如下.

解法1：傳統(tǒng)解法.

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

由弦長(zhǎng)公式,得

解法2：利用長(zhǎng)短弦定理及其推論.

兩種方法對(duì)比,解法2計(jì)算量小，簡(jiǎn)潔明快，節(jié)約時(shí)間.對(duì)于選擇與填空題，優(yōu)勢(shì)明顯.

分析：本題的傳統(tǒng)解法是設(shè)出直線BF1的方程，然后與橢圓方程聯(lián)立消元，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式等將四邊形的面積表示出來，再研究最值，這樣計(jì)算量大，繁瑣易錯(cuò).如圖3所示，延長(zhǎng)BF1交橢圓于點(diǎn)A1，由對(duì)稱性可知|AF2|=|A1F1|,故AF2，BF1可以看作是同一焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半弦，可借助長(zhǎng)短弦公式求解，事半功倍.

圖3

例4(江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考)如圖4，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A,B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|=4|BF|，且|AF|=6,則p的值為.

圖4

統(tǒng)計(jì)往年試題發(fā)現(xiàn)，與焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度有關(guān)的問題在高考、?？贾谐霈F(xiàn)頻率較高.高中階段解決焦點(diǎn)弦問題的傳統(tǒng)方法是將直線與曲線方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，然后利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求解,其實(shí)質(zhì)是代數(shù)法，運(yùn)算量與思維量較大，求解過程繁瑣耗時(shí)且易錯(cuò).而用“長(zhǎng)短弦定理”及其推論處理與焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度有關(guān)的問題，其實(shí)質(zhì)是幾何法，求解過程簡(jiǎn)潔明快，思維量與計(jì)算量小，準(zhǔn)確率高.高中階段適當(dāng)拓展相關(guān)知識(shí)，有利于開拓學(xué)生思路，提高解題效率.