四邊形中的新定義問題例析

陸玉華

［摘 要］四邊形中的新定義問題是近幾年中考數(shù)學(xué)的熱門題型。文章結(jié)合四個(gè)四邊形中的新定義問題，從四個(gè)方面進(jìn)行分析探討，以培養(yǎng)學(xué)生的新知學(xué)習(xí)能力、閱讀理解能力及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。

［關(guān)鍵詞］四邊形；新定義；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］G633.6［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］?A［文章編號(hào)］ 1674-6058（2023）32-0029-03

新定義問題是指用下定義的方式，給出一個(gè)新的運(yùn)算、新的符號(hào)、新的概念等，要求學(xué)生化生為熟，進(jìn)行運(yùn)算、推理或遷移的一種題型。四邊形中的新定義問題是近幾年中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)，主要考查學(xué)生的新知學(xué)習(xí)能力、閱讀理解能力及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，自覺養(yǎng)成自主探究的學(xué)習(xí)方式。本文結(jié)合四個(gè)四邊形中的新定義問題進(jìn)行分析探討。

一、有一組鄰邊相等的凸四邊形——睦鄰四邊形

有一組鄰邊相等的凸四邊形叫作“睦鄰”四邊形。由于“睦鄰”四邊形是一種特殊的凸四邊形，因此，解決這樣的四邊形問題時(shí)需要作輔助線將凸四邊形分割為規(guī)則圖形。

［例1］定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫作“睦鄰”四邊形。探索理解：如圖1所示，已知A、B、C在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，若想在網(wǎng)格內(nèi)確定一個(gè)格點(diǎn)D，使四邊形ABCD為“睦鄰”四邊形，則符合要求的點(diǎn)D有?個(gè)。

嘗試解決：如圖2所示，點(diǎn)[O]到正方形[ABCD]四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，正方形[ABCD]內(nèi)另有一點(diǎn)[M]，滿足[AM=5]，[DM=12]，且[∠AMD=90°]，若要在[AD]邊上確定一點(diǎn)[P]，使點(diǎn)[P]到點(diǎn)[M]和點(diǎn)[O]的距離之和最小，請(qǐng)你找出點(diǎn)P的位置，并求出這個(gè)最小值。

解析：［探索理解］如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)[D]分別處于點(diǎn)[P]、[Q]、[R]、[T]處時(shí)，有：[AP=AB]，[BC=CQ]，[AR=CR]，[BC=CT]，故符合要求的“睦鄰”四邊形的點(diǎn)有[P]、[Q]、[R]、[T]共4個(gè)。

［嘗試解決］如圖4所示，作點(diǎn)[M]關(guān)于[AD]的對(duì)稱點(diǎn)[M′]，交[AD]于[H]，連接[OM′]、[PM]，作[OF⊥AB]于[F]，[M′E⊥AB]交[AB]延長線于[E]，延長[HM]交[OF]于[G]；在Rt[△ADM]中，[AM=5]，[DM=12]，∴[AD2=AM2+DM2=52+122=132]；∵[S△AMD=12×AM×DM=12×AD×MH]，∴[12×5×12=12×13×MH]，解得[ MH=6013]；∵正方形[ABCD]，點(diǎn)[O]到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴[AF=OF=12AD=12×13=132]，[∠EAD=90°]，在Rt[△AMH]中，[AM2=AH2+MH2]，∴[AH2=AM2-MH2=52?60132]，解得[AH=2513]，∵[M′E⊥AB]，[∠AHM′=90°]，∴四邊形[AHM′E]是矩形，∴[EM′=AH=FG=2513]，[AE=HM′=MH=6013]，∴[GM′=AE+AF=28926]，[OG=OF-FG=OF-FG=11926]，在Rt[△OM′G]中，[M′O2=OG2+M′G2=289262+119262]，解得[M'O=9768226]。綜上所述，如圖4所示，點(diǎn)[P]就是所求的點(diǎn)，點(diǎn)[P]到點(diǎn)[O]、點(diǎn)[M] 的最短距離之和為[9768226]。

點(diǎn)評(píng)：本題將“睦鄰”四邊形與直角三角形、正方形、矩形結(jié)合，考查了勾股定理、正方形、矩形的性質(zhì)與判定。求兩條線段和的最小值，需構(gòu)造將軍飲馬模型，將折線化為直線，再把線段放在直角三角形中求解，在解決問題時(shí)滲透了分割圖形，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形的轉(zhuǎn)化思想。

二、特殊邊角關(guān)系的四邊形——“直等補(bǔ)”四邊形

“直等補(bǔ)”四邊形是一種特殊邊角關(guān)系的四邊形，它有一組對(duì)角互補(bǔ)、一組鄰邊相等，且我們規(guī)定相等鄰邊的夾角是直角。一個(gè)四邊形要成為“直等補(bǔ)”四邊形必須滿足以上三個(gè)條件。這樣的四邊形易于切割成幾個(gè)直角三角形與矩形。

［例2］定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形。根據(jù)以上定義，解決下列問題：（1）如圖5所示，正方形[ABCD]中[E]是[CD]上的點(diǎn)，將[△BCE]繞[B]點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使[BC]與[BA]重合，此時(shí)點(diǎn)[E]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)[F]在[DA]的延長線上，則四邊形[BEDF] ? ?（填“是”或“不是”）“直等補(bǔ)”四邊形；（2）如圖6所示，已知四邊形[ABCD]是“直等補(bǔ)”四邊形，[AB=BC=10]，[CD=2]，[AD>AB]，過點(diǎn)[B]作[BE⊥AD]于[E]。①過[C]作[CF⊥BE]于點(diǎn)[F]，試證明：[BE=DE]，并求[BE]的長；②若[M]是[AD]邊上的動(dòng)點(diǎn)，求[△BCM]周長的最小值。

解析：（1）∵將△[BCE]繞[B]點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，[BC]與[BA]重合，點(diǎn)[E]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)[F]在[DA]的延長線上，則[∠ABF=∠CBE]，[BF=BE]，∵四邊形[ABCD]是正方形，∴[∠ABC=∠D=90°]，∴[∠ABE+∠CBE=90°]，∴[∠ABE+∠ABF=90°]，即[∠EBF=∠D=90°]，∴[∠EBF+∠D=180°]，∵[∠EBF=90°]，[BF=BE]，∴四邊形[BEDF]是“直等補(bǔ)”四邊形。故答案為“是”。

（2）①∵四邊形[ABCD]是“直等補(bǔ)”四邊形，[AB=BC=10]，[CD=2]，[AD>AB]，∴[∠ABC=90°]，[∠ABC+∠D=180°]，∴[∠D=90°]，∵[BE⊥AD]，[CF⊥BE]，∴[∠DEF=90°]，[∠CFE=90°]，由三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，得四邊形CDEF是矩形，∴[DE=CF]，[EF=CD=2]，∵[∠ABE+∠A=90°]，[∠ABE+∠CBE=90°]，由“同角的余角相等”得[∠A=∠CBF]，∵[∠AEB=∠BFC=90°]，[AB=BC]，由角角邊定理得[△ABE ]≌[△BCF]，∴[BE=CF]，[AE=BF]，∵[DE=CF]，∴[BE=DE]；∵四邊形[CDEF]是矩形，∴[EF=CD=2]，∴[AE=BE-2]，設(shè)[BE=x]，則[AE=x-2]，在Rt[△ABE]中，[x2+（x-2）2=102]，解得[x=8]或[x=-6]（舍去），∴[BE]的長是8；

②∵[△BCM]的周長[=BC+BM+CM]，∴當(dāng)[BM+CM]的值最小時(shí)，[△BCM]的周長最小，如圖7所示，延長[CD]到點(diǎn)[G]，使[DG=CD]，連接[BG]交[AD]于點(diǎn)[M′]，此時(shí)[BM+CM]的值最小，過點(diǎn)[G]作[GH⊥BC]，交[BC]的延長線于點(diǎn)[H]，∵[∠ADC=90°]，∴點(diǎn)[C]與點(diǎn)[G]關(guān)于[AD]對(duì)稱，在Rt[△ABE]中，[AE=AB2?BE2=102?82=6]，∵四邊形[ABCD]是“直等補(bǔ)”四邊形，∴[∠A+∠BCD=180°]，∵[∠BCD+∠GCH=180°]，∴[∠A=∠GCH]，∵[∠AEB=∠H=90°]，∴[△ABE ]∽[△CGH]，∴[BEGH=AECH=ABCG=104=52]，即[8GH=6CH=52]，∴[GH=165]，[CH=125]，∴[BH=BC+CH=10+125=625]，∴[BG=BH2+GH2=6252+1652=241]，∴[△BCM]周長的最小值為2[41+]10。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)一個(gè)“直等補(bǔ)”四邊形被分割成兩個(gè)直角三角形與一個(gè)矩形后，這兩個(gè)直角三角形是全等的，這樣更易于求出相應(yīng)的邊長。在解一個(gè)鈍角三角形時(shí)，仍需要作垂線，將圖形補(bǔ)充為兩個(gè)直角三角形。從本題的解答可以看出求邊長的三種思路：一是全等三角形，二是相似三角形，三是勾股定理。

三、依距離來規(guī)定的四邊形——“等距”四邊形

“等距”四邊形是指四邊形中有一個(gè)頂點(diǎn)與其他三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，這樣的四邊形有一組鄰邊相等，且等于一條對(duì)角線。由此看來，有一個(gè)內(nèi)角是60°的菱形就是“等距”四邊形，解決“等距”四邊形的有關(guān)問題，需應(yīng)用直角三角形與等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)。

［例3］定義：若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其他三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，則這個(gè)四邊形叫作“等距”四邊形，這個(gè)頂點(diǎn)叫作這個(gè)四邊形的等距點(diǎn)。

（1）判斷：一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形? ? “等距”四邊形（填“是”或“不是”）。（2）如圖8所示，在5×5的網(wǎng)格圖中有[A]、[B]兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诮o出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出[C]、[D]兩個(gè)格點(diǎn)，使得以[A]、[B]、[C]、[D]為頂點(diǎn)的四邊形是以[A]為等距點(diǎn)的“等距”四邊形，畫出相應(yīng)的“等距”四邊形（互不全等），并寫出該“等距”四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長，端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長為? ? ? ? 。（3）如圖9所示，在海上[A]、[B]兩處執(zhí)行任務(wù)的兩艘巡邏艇，根據(jù)指令[A]、[B]兩艇同時(shí)出發(fā)，[A]艇直接回到駐地[O]，[B]艇到[C]島執(zhí)行某項(xiàng)任務(wù)后回到駐地[O]（在[C]島執(zhí)行任務(wù)的時(shí)間忽略不計(jì)），已知[A]、[B]、[C]三點(diǎn)到[O]點(diǎn)的距離相等，[AO]∥[BC]，[BC=100] km，[tanA=32]，若[A]艇的速度為65 km/h，試問[B]艇的速度是多少時(shí)，才可以和[A]艇同時(shí)回到駐地？

解析：（1）菱形[ABCD]中，[AB=BC=CD=DA]，當(dāng)[∠A=60°]時(shí)，[△ABC]是等邊三角形，∴[AB=AC=BC]，∴[CA=CB=CD]，∴一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形是“等距”四邊形。故答案為“是”。

（2）如圖10所示，[AB=32+1=10]，[AB=AC=AD=10]，[BD=22+42=20=25]。如圖11所示，[AC=AB=AD=10]，[CD=42+42=32=42]。∴端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長為 2[5]或4[2]，故答案為[25]或[42]。

? ? ? ? ?

圖10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖11

（3）如圖12所示，作[OE⊥BC]于[E]，[BF⊥AO]于[F]?！遊AO]∥[BC]，[BC=100] km，∴[∠OFB=∠OEB=∠FBE=90°]，∴四邊形[OEBF]是矩形。∴[BF=OE ]，[ OF=BE ]?！遊△BOC]中，[OB=OC]，[OE⊥BC]，∴[BE=EC=12BC=50]?！郲OF=BE=50]，∴[OA=OB=OC=AF+OF]。設(shè)[AF=2x]，∵[tanA=32]，∴[BF=3x]，在Rt[△BOF]中，[OF2+BF2=OB2]，[502+（3x）2=（50+2x）2]，解得[x=40]?！郲OA=130]（km），[130÷65=2]（h）?！郲BC+OC=100+130=230]（km），[230÷2=115]（km/h）。答：[B]艇的速度是115 km/h時(shí)，才可以和[A]艇同時(shí)回到駐地。

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圓的概念，易知“等距”四邊形的其他三頂點(diǎn)在以等距點(diǎn)為圓心，以相等邊長為半徑的同一個(gè)圓上，這樣的四邊形可以構(gòu)造無數(shù)多個(gè)，所以在第（2）小題中出現(xiàn)了兩解的情況。在解答第（3）小題時(shí)不能誤認(rèn)為這個(gè)四邊形就是菱形，它的四條邊并不相等。

四、通過折疊得到的四邊形——“完美”長方形

一張紙片，如果通過折疊的方法，得到了一個(gè)既無縫隙也不重疊的矩形，所得的這個(gè)矩形我們稱之為“完美”長方形。這個(gè)矩形的面積等于原紙片面積的一半，其中一邊長等于原紙片一邊長的一半。

［例4］綜合與實(shí)踐：折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，折紙活動(dòng)也伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。在折紙過程中，我們可以研究圖形的運(yùn)動(dòng)和性質(zhì)，也可以在思考問題的過程中初步建立幾何直觀，現(xiàn)在就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來折紙吧。定義：將紙片折疊，若折疊后的圖形恰能拼合成一個(gè)無縫隙、無重疊的長方形，這樣的長方形稱為“完美”長方形。

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖13所示，將△[ABC]紙片折疊成“完美”長方形[EFGH]，若△[ABC]的面積為12，[BC=6]，則此“完美”長方形的邊長[FG=] ? ? ，面積為? ? 。

（2）類比探究：如圖14所示，將?[ABCD]紙片折疊成“完美”長方形[AEFG]，若?[ABCD]的面積為20，[BC=5]，求“完美”長方形[AEFG]的周長。

（3）拓展延伸：如圖15所示，將?ABCD紙片折疊成“完美”長方形EFGH，若[EF]∶[EH=3]∶4，[AD=15]，則此“完美”長方形的周長為? ? ? ，面積為。

解析：（1）由折疊可知，[BF=DF]，[CG=DG]，[AH=DH=CH]，∴[DF+DG=BF+CG]，點(diǎn)[H]是[AC]的中點(diǎn)，∵[2DF+2DG=BC=6]，∴[DF+DG=3]，即[FG=3]，過點(diǎn)[A]作[AM⊥BC]于[M]，如圖16所示，∵四邊形[EHGF]是矩形，∴[HG⊥BC]，∴[HG]∥[AM]，∴[H]是[CM]的中點(diǎn)，∴[HG=12AM]，∵[S△ABC=12BC·AM=12 ]，∴[AM=4]，∴[HG=12AM=2]，∴“完美”長方形的面積為[3×2=6]，故答案為3，6。

（2）由折疊可知[BE=HE]，[CF=HF]，∴[EF=12BC=52]，同理可知[S△ABE=S△AHE]，[S四邊形AHFG=S四邊形DCFG]，∴長方形[AEFG]的面積為[20÷2=10]，∴[AE=10÷52=4]，∴長方形[AEFG]的周長為[2×4+52=13]。

（3）由折疊可證點(diǎn)[E]、[G]分別是[AB]、[CD]的中點(diǎn)，∴[AE=12AB]，[DG=12DC]，由題意知[AB=CD]，[AB]∥[CD]，∴[AE=DG]，[AE]∥[DG]，∴[AEGD]為平行四邊形，∴[AD=EG=HF]，在Rt△[HEF]中，設(shè)[EF=3x]，則[EH=4x]，由勾股定理得[HF=5x]，又∵[5x=15]，∴[x=3]，∴[EF=9]，[EH=12]，∴周長為2×（9+12）=42，面積為9×12=108，故答案為42，108。

點(diǎn)評(píng)：本題借助“完美”長方形考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理等，當(dāng)兩條線段與同一條線段重合時(shí)，這兩條線段也相等，這是本題的隱含條件。

四邊形中的新定義問題，是近幾年中考數(shù)學(xué)的熱門題型，它以新概念的形式，讓學(xué)生對(duì)四邊形有全新的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生的認(rèn)知里不只有平行四邊形、矩形、菱形與正方形，而且有“完美”長方形、“等距”四邊形、“直等”鄰四邊形、“睦鄰”四邊形等，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，讓學(xué)生明白原來在四邊形的王國里，還有這么多值研究的圖形。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）