例析構(gòu)造三角形中位線策略

費(fèi)強(qiáng)

［摘 要］三角形中位線是一條重要的線段，在解題過程中構(gòu)造三角形中位線將事半功倍，能使問題獲得突破。文章結(jié)合幾個例題，探討構(gòu)造三角形中位線的策略，給學(xué)生一些啟示。

［關(guān)鍵詞］構(gòu)造；三角形；中位線；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號］G633.6［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］?A［文章編號］ 1674-6058（2023）32-0020-03

三角形中位線是一條重要的線段，三角形中位線定理是初中階段學(xué)習(xí)的重要定理。在解題過程中，構(gòu)造三角形中位線，將事半功倍，能使問題獲得突破。本文結(jié)合幾個例題，探討構(gòu)造三角形中位線的策略，給學(xué)生一些啟示。

一、直接連接兩邊中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線

如果圖形中有兩個及以上的線段中點(diǎn)，此時，應(yīng)考慮使用三角形中位線，輔助線作法為直接連接兩邊的中點(diǎn)，找出這兩邊所在的三角形，利用三角形中位線定理解決問題。

［例1］如圖1所示，在邊長為4的等邊[△ABC]中，[D]、[E]分別為[AB]、[BC]的中點(diǎn)，[EF⊥AC]于點(diǎn)[F]，[G]為[EF]的中點(diǎn)，連接[DG]；（1）求[EF]的長；（2）求[DG]的長。

分析：（1）如圖2所示，連接[DE]，利用三角形中位線定理得[DE=2]，且[DE]∥[AC]，再解直角三角形[EFC]求得[EF]的長；（2）在直角三角形[DEG]中，利用勾股定理求得[DG]的長。

解：（1）如圖2所示，連接[DE]，∵在邊長為4的等邊[△ABC]中，[D]、[E]分別為[AB]、[BC]的中點(diǎn)，∴[DE]是[△ABC]的中位線，∴[DE=2]，且[DE]∥[AC]，[BD=BE=EC=2]，∵[EF⊥AC]于點(diǎn)[F]，[∠C=60°]，∴[∠FEC=30°]，[∠DEF=∠EFC=90°]，∴[FC=12EC=1]，故[EF=22?12=3]。（2）∵[G]為[EF]的中點(diǎn)，∴[EG=32]，∴[DG=DE2+EG2=22+322=192]。

評析：連接DE，既構(gòu)造了三角形ABC的中位線，又構(gòu)造了直角三角形DEG。三角形的中位線既發(fā)揮了平行于第三邊的位置關(guān)系作用，又發(fā)揮了等于第三邊一半的數(shù)量關(guān)系作用。

［例2］如圖3所示，[AC]、[BD]是四邊形[ABCD]的對角線，[E]、[F]分別為[AD]、[BC]的中點(diǎn)，[G]、[H]分別為[BD]、[AC]的中點(diǎn)。請你判斷[EF]與[GH]的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

分析：如圖4所示，連接[EG]、[GF]、[FH]、[EH]，由三角形中位線定理得[EG=12AB]，[EG]∥[AB]，[FH=12AB]，[FH]∥[AB]，進(jìn)而得到[EG=FH]，[EG]∥[FH]，于是四邊形[EGFH]為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分獲得結(jié)論。

解：[EF]與[GH]互相平分，理由如下：如圖4所示，連接[EG]、[GF]、[FH]、[EH]，∵[E]、[F]分別為[AD]、[BC]的中點(diǎn)，[G]、[H]分別為[BD]、[AC]的中點(diǎn)，∴[EG]是[△ADB]的中位線，[FH]是[△ACB]的中位線，∴[EG=12AB]，[EG]∥[AB]，[FH=12AB]，[FH]∥[AB]，∴[EG=FH]，[EG]∥[FH]，∴四邊形[EGFH]為平行四邊形，∴[EF]與[GH]互相平分。

評析：本題將三角形的中位線與平行四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行結(jié)合，圖形中有四個線段中點(diǎn)，分別連接后得到了四條三角形中位線，我們只利用兩條中位線就解決了問題，同時利用三角形中位線結(jié)論中的平行關(guān)系與數(shù)量關(guān)系。

二、取線段中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線

在某些四邊形中，已知四邊形一組對邊的中點(diǎn)，因?yàn)檫@一組對邊不在同一個三角形中，因此無法直接利用三角形中位線定理，此時再取一條線段的中點(diǎn)，使這些中點(diǎn)連接后構(gòu)成三角形的中位線。

［例3］如圖5所示，在四邊形[ABCD]中，[AC]與[BD]相交于點(diǎn)[E]，點(diǎn)[M]、[N]分別為[AD]、[BC]的中點(diǎn)，[MN]分別交[AC]、[BD]于點(diǎn)[F]、[G]，[EF=EG]。求證：[BD=AC]。

分析：如圖6所示，取[DC]的中點(diǎn)[H]，連接[MH]、[NH]，則[MH]、[NH]分別是[△ACD]、[△BCD]的中位線，由中位線的性質(zhì)定理得[MH]∥[AC]且[MH=12AC]，[NH]∥[BD]且[NH=12BD]，由等腰三角形的性質(zhì)得[∠EFG=∠EGF]，由平行線的性質(zhì)得[∠HMN=∠HNM]，最后由等角對等邊可得結(jié)論。

解：如圖6所示，取[DC]的中點(diǎn)[H]，連接[MH]、[NH]。∵[M]、[H]分別是[AD]、[DC]的中點(diǎn)，∴[MH]是[△ADC]的中位線，∴[MH]∥[AC]且[MH=12AC]（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半），同理：[HN]是[△DCB]的中位線，∴[NH]∥[BD]且[NH=12BD]。∵[EF=EG]，∴[∠EFG=∠EGF]，∵[MH]∥[AC]， [NH]∥[BD]，∴[∠EFG=∠HMN]，[∠EGF=∠HNM]，∴[∠HMN=∠HNM]，∴[MH=NH]，∴[AC=BD]。

評析：本題通過三角形中位線將兩條長線段轉(zhuǎn)化為兩條短線段，且在同一個三角形內(nèi)，再利用平行線將等角轉(zhuǎn)化到這個三角形內(nèi)，其中取DC邊的中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線是解題的關(guān)鍵，當(dāng)然也可以取AB邊的中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線。

［例4］如圖7所示，在四邊形[ABCD]中，[AB=CD]，點(diǎn)[E]、[F]分別是邊[AD]、[BC]的中點(diǎn)，直線[EF]分別與[BA]、[CD]的延長線交于點(diǎn)[M]、[N]。求證：[∠BMF=∠CNF]。

分析：如圖8所示，連接[BD]，取[BD]的中點(diǎn)[P]，連接[PE]、[PF]，由三角形中位線定理得[PE]∥[AB]，[PF]∥[CD]，[PE=12AB]，[PF=12CD]，由平行線的性質(zhì)得[∠PEF=∠BMF]，[∠PFE=∠CNF]，由[AB=CD]得[PE=PF]，所以[∠PFE=∠PEF]，即可得出結(jié)論。

解：如圖8所示，連接[BD]，取[BD]的中點(diǎn)[P]，連接[PE]、[PF]，∵點(diǎn)[E]、[F]分別是邊[AD]、[BC]的中點(diǎn)，點(diǎn)[P]為對角線[BD]的中點(diǎn)，∴[PE]為[△ABD]的中位線，[PF]為[△BCD]的中位線，∴[PE]∥[AB]，[PF]∥[CD]，[PE=12AB]，[PF=12CD]，∴[∠PEF=∠BMF]，[∠PFE=∠CNF]，∵[AB=CD]，∴[PE=PF]，∴[∠PFE=∠PEF]，∴[∠BMF=∠CNF]。

評析：取四邊形對角線的中點(diǎn)，連接中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用中位線定理、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題。

三、構(gòu)造三角形，構(gòu)造三角形中位線

在一些圖形中，只有線段的中點(diǎn)，這些線段并未構(gòu)成三角形，不能使用三角形中位線定理，此時，需要通過構(gòu)造中位線所在的三角形，才能利用三角形中位線定理解決問題。

［例5］如圖9所示，△[ABC]中，[CD]平分[∠ACB]，過點(diǎn)[A]作[AD⊥CD]于點(diǎn)[D]，點(diǎn)[E]是[AB]的中點(diǎn)，連接[DE]，若[AC=20]，[BC=14]，求[DE]的長。

分析：如圖10所示，延長[CB]交[AD]延長線于點(diǎn)[F]，由角平分線的定義得到[∠ACD=∠FCD]，由垂直的定義得到[∠ADC=∠FDC=90°]，因此[∠F=∠CAD]，推出[CF=AC=20]，求出[BF]的長，由等腰三角形三線合一得[AD=FD]，可得[DE]是[△AFB]的中位線，從而求出[DE]的長。

解：如圖10所示，延長[CB]交[AD]延長線于點(diǎn)[F]，∵[CD]平分[∠ACB]，∴[∠ACD=∠FCD]，∵[AD⊥CD]于點(diǎn)[D]，∴[∠ADC=∠FDC=90°]，∴[∠F=∠CAD]，∴[CF=AC=20]，∵[BC=14]，∴[BF=CF-BC=6]，∵[AC=CF]，[CD⊥AD]，∴[AD=FD]，∵點(diǎn)[E]是[AB]的中點(diǎn)，∴[DE]是[△ABF]的中位線，∴[DE=12BF=3]。

評析：本題只有一個中點(diǎn)，通過延長后得到另一個中點(diǎn)，并形成中位線所在的三角形。三角形中位線必須先確定所在的三角形，然后再找中位線，本題的中位線只使用了中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系。

［例6］我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫作中點(diǎn)四邊形，如圖11，在四邊形[ABCD]中，點(diǎn)[M]在[AB]上且[△AMD]和[△MCB]為等邊三角形，[E]、[F]、[G]、[H]分別為[AB]、[BC]、[CD]、[AD]的中點(diǎn)，試判斷中點(diǎn)四邊形[EFGH]的形狀并證明。

分析：如圖12所示，連接[AC]、[DB]，由等邊三角形的性質(zhì)得[AM=DM]，[∠AMD=∠CMB=60°]，[CM=BM]，由SAS證明[△AMC ]≌[△DMB]，得[AC=DB]，由三角形中位線定理得[EF]∥[AC]，[EF=12AC]，[GH]∥[AC]，[GH=12AC]，[HE=12DB]，得[EF]∥[GH]，[EF=GH]，再證明[EF=HE]，最后判定四邊形[EFGH]的形狀。

解：四邊形[EFGH]為菱形。理由如下：連接[AC]與[BD]，如圖12所示，∵[△AMD]和[△MCB]為等邊三角形，∴[AM=DM]，[∠AMD=∠CMB=60°]，[CM=BM]，∴[∠AMC=∠DMB]，在[△AMC]和[△DMB]中，[AM=DM，∠AMC=∠DMBCM=BM，]，∴[△AMC ]≌[△DMB]（SAS），∴[AC=DB]，∵[E]、[F]、[G]、[H]分別是邊[AB]、[BC]、[CD]、[DA]的中點(diǎn)，∴[EF]是[△ABC]的中位線，[GH]是[△ACD]的中位線，[HE]是[△ABD]的中位線，∴[EF]∥[AC]，[EF=12AC]，[GH]∥[AC]，[GH=12AC]，[HE=12DB]，∴[EF]∥[GH]，[EF=GH]，∴四邊形[EFGH]是平行四邊形，∵[AC=DB]，∴[EF=HE]，∴四邊形[EFGH]為菱形。

評析：判定中點(diǎn)四邊形的形狀，一般都需要利用三角形中位線，此時需要連接原四邊形的對角線，將四邊形分為兩個三角形，形成兩個三角形中位線的模型。一般四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，對角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形，對角線相等且互相垂直的中點(diǎn)四邊形是正方形。

四、作輔助線后出現(xiàn)中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線

在一些圖形中，由于其他原因的需要，如構(gòu)造直徑所對的圓周角、構(gòu)造全等三角形，作輔助線后出現(xiàn)了線段的中點(diǎn)，此時要抓住時機(jī)，看能否與其他中點(diǎn)形成三角形中位線。

［例7］如圖13所示，在邊長為2[2]的正方形[ABCD]中，點(diǎn)[E]、[F]分別是邊[AB]、[BC]的中點(diǎn)，連接[EC]、[FD]，點(diǎn)[G]、[H]分別是[EC]、[FD]的中點(diǎn)，連接[GH]，則[GH]的長度為? ? ? ? ? ? ? ?。

解：如圖14所示，連接[CH]并延長交[AD]于[P]，連接[PE]，∵四邊形[ABCD]是正方形，∴[∠A=90°]，[AD]∥[BC]，[AB=AD=BC=22]，∵[E]、[F]分別是邊[AB]、[BC]的中點(diǎn)，∴[AE=CF=12×22=2]，∵[AD]∥[BC]，∴[∠DPH=∠FCH]，∵[∠DHP=∠FHC]，∵[DH=FH]，∴[△PDH ]≌[△CFH]（AAS），∴[PD=CF=2]，∴[AP=AD-PD=2]，∴[PE=AP2+AE2=（2）2+（2）2=2]，∵點(diǎn)[G]、[H]分別是[EC]、[CP]的中點(diǎn)，∴[GH=12EP=1]。

評析：本題的圖形里有四個線段的中點(diǎn)，只有兩組線段有公共端點(diǎn)，即兩條線段可以在同一個三角形中，其他的線段均不在同一個三角形中，即使這樣也無法直接連接中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線。本題在構(gòu)造全等三角形的過程中自然生成線段的中點(diǎn)，恰與原來的中點(diǎn)形成三角形中位線。

［例8］如圖15所示，四邊形[ABCD]內(nèi)接于圓[O]，[AD]是圓[O]的直徑，[AD]、[BC]的延長線交于點(diǎn)[E]，延長[CB]交[AF]于點(diǎn)[F]，[∠BAF+∠DCE=90°]。（1）求證：[AF]是圓[O]的切線；（2）點(diǎn)[G]在[CE]上，且[BC=CD=CG]，連接[DG]，[DG=2]，[AB=5]，求[AD]的長。

解：（1）∵四邊形[ABCD]內(nèi)接于圓[O]，∴[∠BAD+∠BCD=180°]，∵[∠DCE+∠BCD=180°]，∴[∠BAD=∠DCE]，∵[∠BAF+∠DCE=90°]，∴[∠BAF+∠BAD=90°]，即[∠FAD=90°]，又∵[AD]是圓[O]的直徑，∴[AF]是圓[O]的切線。

（2）如圖16所示，連接[OB]、[OC]、[BD]，記[OC]與[BD]相交于點(diǎn)[N]，∵[BC=CD]，∴[∠BOC=∠COD]，又[OB=OD]，∴[BN=DN ]，∵[BC=CG]，∴[CN=12DG=12×2=1]，又∵[OA=OD]，∴[ON=12AB=12×5=2.5]，∴[OC=ON+CN=3.5]，∴[AD=2OC=7]。

評析：本題第二小題作輔助線，其初始目的是利用垂徑定理，但形成的圖形中點(diǎn)[N]與原圖形的兩個中點(diǎn)分別形成兩條三角形中位線，真可謂 “有心栽花花不開，無心插柳柳成蔭”。

總之，三角形中位線應(yīng)用廣泛，當(dāng)圖形中有較多中點(diǎn)時，考慮構(gòu)造三角形中位線，當(dāng)只有一個點(diǎn)時，可以再取中點(diǎn)連接構(gòu)成三角形中位線；當(dāng)有線段中點(diǎn)沒有三角形時，要通過連接創(chuàng)造三角形。有時在不經(jīng)意間作輔助線也會出現(xiàn)較多線段中點(diǎn)，此時要抓住機(jī)會，使問題得到破解。

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）