利用方格紙?jiān)黾訉W(xué)生面積度量體驗(yàn)

【摘要】面積可以是一個數(shù)，面積教學(xué)應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)面積的度量功能，方格紙則把面積的度量功能進(jìn)行了顯性體現(xiàn)。方格紙?jiān)跀?shù)學(xué)中運(yùn)用廣泛，但是現(xiàn)實(shí)中面積的教學(xué)僅僅局限于數(shù)格子，學(xué)生對面積的度量體驗(yàn)比較少。對此，可從利用方格紙?jiān)黾訉W(xué)生面積度量體驗(yàn)出發(fā)，打通所有度量知識，讓學(xué)生感悟到所有的度量都是在用合適的數(shù)與合適的單位對物體從不同維度進(jìn)行賦值。

【關(guān)鍵詞】度量 面積 方格紙 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

【中圖分類號】G62 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）34-0062-04

關(guān)于面積的定義，《辭?！罚ǖ诹妫┲械慕忉屖牵骸皫缀螌W(xué)的基本度量之一。是用以度量平面或曲面上一塊區(qū)域大小的正數(shù)。通常以邊長為單位長的正方形的面積為度量單位?！边@說明，面積確確實(shí)實(shí)是數(shù)，我們通常將映射m稱為圖形的面積，即給平面圖形分別指定一個數(shù)（非負(fù)數(shù)），而且必須滿足有限可加性、運(yùn)動不變性和正則性三個條件。

一、研究的緣起

筆者對面積的研究，還得從一次不經(jīng)意的聊天說起。一次備課討論時，筆者隨機(jī)詢問了身邊一名教師關(guān)于長方形面積的計(jì)算原因，他思考了很久后回答說，這是數(shù)學(xué)上的規(guī)定，長方形的面積等于長乘以寬。其他老師也持有相同的觀點(diǎn)，認(rèn)為這是數(shù)學(xué)上約定俗成的。他們對這個問題的回答令筆者感到意外，于是開始思考：如果筆者不是一名小學(xué)數(shù)學(xué)老師，沒有給學(xué)生上過面積這一課，是否也能立刻回答上來這個問題？是不是所有學(xué)過面積的學(xué)生都知道為什么長方形面積等于長乘以寬呢？為此，筆者隨機(jī)選取四、五、六年級的部分學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表1所示。

從表1中可以看出，雖然學(xué)生都已經(jīng)學(xué)過面積相關(guān)知識，但是對面積的理解還不夠透徹。通過對比可以看出，三個年級的學(xué)生中，問題最明顯的是五年級學(xué)生對面積的理解。分析原因可知，到五年級時，學(xué)生距離三年級學(xué)習(xí)面積已經(jīng)很久，如果他們當(dāng)時就沒有很好地理解面積的度量賦值功能，那么時間越長，遺忘程度越深；而到了六年級時，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了更系統(tǒng)的知識，了解了“點(diǎn)動成線、線動成面”的知識，并在圓的學(xué)習(xí)中受到微積分的啟發(fā)，對長方形面積的形成有了更深的體會，除了會用單位小正方形的行和列來解釋，還會聯(lián)系到一些微積分的知識，但總的來說，他們對于面積的度量體驗(yàn)還是欠缺的。學(xué)生認(rèn)識面積是在三年級，但是在學(xué)習(xí)面積之后常常會把周長和面積的概念混淆，習(xí)慣性地用周長這個一維的概念去刻畫面積這個二維的概念。盡管三年級的教材里安排了用覆蓋的方法對圖形進(jìn)行度量的操作，但是學(xué)生往往只是為了覆蓋而覆蓋，并沒有形成度量的意識。這反映到調(diào)查結(jié)果中就是學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了面積知識，知道了長方形面積計(jì)算公式，但只是死記硬背，并沒有真正理解其中的奧妙。所以，面積概念的建立僅靠一節(jié)課是不夠的，學(xué)生從原有的一維思維過渡到二維思維是需要一個過程的。在前面認(rèn)識面積的時候，如果學(xué)生沒有充分體驗(yàn)面積的度量，就會為后續(xù)學(xué)習(xí)面積知識帶來諸多麻煩。因此，讓學(xué)生思考和研究度量的賦值功能十分必要。

二、不同版本教材面積教學(xué)所使用的度量材料對比

方格紙作為面積教學(xué)時一種直觀的學(xué)具，對學(xué)生建立面積單位概念有重要意義。在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊教材中，方格紙和面積單位片第一次正式和學(xué)生見面，學(xué)生首次借助以1平方厘米為單位的方格計(jì)算面積的大小。但是這里只是通過數(shù)格子的方式計(jì)算出圖形的面積，此后方格紙也僅僅是在幫助學(xué)生畫圖形或找圖形的高時起到過輔助作用。在五年級上冊教材“平行四邊形面積”一課中是這樣提及方格紙的：在方格紙上數(shù)一數(shù)，一個方格代表1平方米，不滿一格的都按半格計(jì)算。習(xí)題中也大多以數(shù)格子計(jì)算面積的形式出現(xiàn)方格紙。在“三角形面積”中，教材也只是通過用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形的方法來推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式，而沒有呈現(xiàn)割補(bǔ)法。在此之后，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中就幾乎沒有用到方格紙了，僅僅是在五年級下冊“圖形的運(yùn)動”中用方格紙幫助學(xué)生準(zhǔn)確找到點(diǎn)的位置。

人教版和北師大版的教材以“面積”為單元標(biāo)題，蘇教版以“長方形和正方形的面積”為單元標(biāo)題。三種教材都用了不同的方式對面積進(jìn)行賦值，人教版是用不同的圖形，北師大版直接用方格紙，蘇教版則是用實(shí)物度量。相比而言，人教版和蘇教版更加注重面積度量的體驗(yàn)，北師大版的呈現(xiàn)方式則更加直觀。但是三種教材都是直接用面即從二維層面對面積進(jìn)行度量的，缺失對二維概念的建立過程。這就導(dǎo)致了部分學(xué)生把一維的周長和二維的面積混淆、學(xué)習(xí)多邊形面積時盲目剪拼圖形等問題。從周長到面積，從一維到二維，是一種數(shù)學(xué)概念的躍遷，教師需要給學(xué)生建立一個新概念，這種新概念的建立必須以充分的度量體驗(yàn)為基礎(chǔ)。于是，筆者在面積教學(xué)中進(jìn)行了如下嘗試。

三、使用人教版教材展開面積教學(xué)的實(shí)踐探索

首先，在學(xué)生學(xué)習(xí)面積之后，筆者設(shè)計(jì)了“度量與進(jìn)率”拓展課，豐富學(xué)生對面積的度量體驗(yàn)，讓學(xué)生深刻體會度量的賦值作用，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的發(fā)展。

（一）方格紙彰顯度量方法

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊第五單元“面積”中，例1、例2、例3主要是講解面積和面積單位，例4是進(jìn)行長方形、正方形面積的計(jì)算，這樣的知識銜接對學(xué)生來說有一定的跨越性，缺失了對一個圖形里包含幾個面積單位的體驗(yàn)感悟過程。所以在拓展課中，筆者引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)用什么度量圖形（包括正方形、長方形、平行四邊形、梯形、圓等）面積、怎樣度量圖形面積的學(xué)習(xí)過程。

師：（指圖1中的灰色正方形）這個正方形的面積是多少？

生：用1平方分米的小正方形去比對，一行可以擺4個，有4行。

師：原來你們在想這個正方形里面可以擺幾個小正方形，是這樣嗎？

師：現(xiàn)在知道它的面積了嗎？

生：25平方分米。

師：怎么看出來的？

生：一行有5個，有5行。

通過猜測一個大正方形的面積，讓學(xué)生比對1平方分米的小正方形和未知面積的大正方形，初步感悟計(jì)算一個圖形的面積就是看這個圖形里包含了幾個這樣的面積單位。然后出示面積格子，讓學(xué)生說一說怎樣看面積格子，每行幾個，有這樣的幾行。讓學(xué)生體驗(yàn)到原來用面積格子可以給正方形賦值，也就是用一個數(shù)來表示它。

（二）方格尺構(gòu)建度量意識

數(shù)學(xué)意義上的面積度量是指給某些平面圖形指定一個合適的數(shù)并使之滿足一些特性。比如在度量兩條線段的長度時，如果它們彼此不重疊，那么先分別量，然后加起來就行了。類似這樣的操作其實(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)度量的本質(zhì)意義。同時，度量過程隱含了長度的運(yùn)動不變性。面積教學(xué)的核心是讓學(xué)生了解如何度量圖形的大小，即如何給平面上的封閉圖形賦值。看下面的教學(xué)案例。

師：（課件呈現(xiàn)圖2）如果只剩下這些格子，大家還能確定正方形的面積嗎？

生1：能！橫著看有5格，豎著看有5行。

生2：這樣的5段，就是5格。

師：（課件呈現(xiàn)圖3）老師這里有這樣的一把尺，誰來給它取個名字？

生：方格尺、丁字尺……

師：（課件呈現(xiàn)圖4）現(xiàn)在有這樣4個圖形，大家能用這把尺測量它們的面積嗎？

師：（課件呈現(xiàn)圖5）這樣放可以嗎？為什么？

生1：貼著放可以看出橫著有幾格，豎著有幾格。

生2：我可以看出橫著有4格，豎著有2格。

師：（課件呈現(xiàn)圖6）平行四邊形和長方形對比有什么不同？

生：長方形可以兩條邊貼合方格尺，而平行四邊形不管怎么放都只有一條邊能貼合。

師：梯形也有一條邊可以貼合方格尺，但圓沒有一條邊是貼著尺的，也能量嗎？

從方格紙到方格尺的簡化，先簡化成橫著一行格子和豎著一行格子，讓學(xué)生說一說怎樣數(shù)；再到只有刻度的方格尺，怎樣橫著看一次、豎著看一次。圖形在方格尺上的擺放也是學(xué)生思考的過程，圖形怎么放可以快速看出其中有幾個面積單位？不同的圖形擺放情況不同？教師讓學(xué)生在對比中感悟面積度量的過程。雖然沒有了格子，但是學(xué)生因?yàn)橛辛饲懊娴馁x值意識，會在潛意識中繪制方格紙，從而度量圖形的面積。

（三）結(jié)合方格紙，深化割補(bǔ)法的度量意義

筆者在五年級下冊的三角形、平行四邊形等面積教學(xué)中繼續(xù)強(qiáng)化方格紙對面積的度量作用。之前用數(shù)方格的辦法給長方形指定了相應(yīng)的面積（“求”出了面積），其中蘊(yùn)含了面積的有限可加性。而接下來的割補(bǔ)法需要把一個三角形切下來，再通過移動該三角形拼湊長方形，這個過程中則蘊(yùn)含了面積的運(yùn)動不變性。兩種方法都是在設(shè)法將一個確定的數(shù)與圖形面積形成對應(yīng)關(guān)系。

師：（課件呈現(xiàn)圖7）我們先研究直角三角形。假設(shè)一個小方格的邊長是1厘米，大家能求出這個三角形的面積嗎？

生1：我用數(shù)的辦法，把不到一格的拼起來，一共是9格。

生2：我把直角三角形的上面剪下來再補(bǔ)過去（學(xué)生演示，如圖8），正好能拼成一個長方形。

師：其他同學(xué)有什么想問的嗎？

生3：為什么從這里剪？

生2：我是找到直角邊的中點(diǎn)，然后順著格子線剪的。因?yàn)檫@樣剪下來就是這條邊的一半，補(bǔ)過去之后長方形的寬正好也是一半。

師：你能說一說這個三角形的面積怎么求嗎？

生2：這個長方形的一條邊長就是原來直角三角形的一條直角邊長，另一條邊長是另一條直角邊長的一半，所以我覺得這個直角三角形的面積計(jì)算式是6×（4÷2）=12（平方厘米）。

師：還有不同的方法嗎？

生4：從另一條直角邊的中點(diǎn)割，補(bǔ)到下面，也能補(bǔ)成一個長方形（學(xué)生演示，如圖9）。

生5：我在這個直角三角形的對面畫一個和它一樣的三角形，得到的長方形的面積是直角三角形的2倍。所以直角三角形的面積計(jì)算式是6×4÷2=12（平方厘米）。

讓學(xué)生操作帶有方格紙背景的三角形，并讓其在操作完成后試著在方格紙上把圖形轉(zhuǎn)化的過程畫下來。這樣學(xué)生就會整理和反思剛才的操作活動，有了方格紙背景作參照，即使他們沒有學(xué)過中位線的知識，也可以明白每一次割在哪里、補(bǔ)在哪里，改變的是什么、不變的又是什么。這樣的面積教學(xué)更加顯性化，可以讓學(xué)生有依據(jù)地度量圖形的面積，而不是盲目地割補(bǔ)。

通過類似以上的教學(xué)嘗試和研究可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)合方格紙不斷增加學(xué)生對面積度量的體驗(yàn)，他們就會主動把圖形看作是由一個個面積單位不斷覆蓋和內(nèi)填而得到的整體，而不是去死記硬背一些圖形的面積計(jì)算公式，或者盲目地進(jìn)行割補(bǔ)。

四、面積教學(xué)建議

（一）利用方格紙，體驗(yàn)面積度量

用一個數(shù)來表示平面上一塊區(qū)域的大小，并把這個數(shù)叫作這個區(qū)域的面積。面積具有有限可加性和運(yùn)動不變性。也就是說，在多個圖形不相交的前提下，其總面積就是單個圖形的面積相加，無論如何移動，都是不變的。教師利用方格紙給學(xué)生提供一個具體的學(xué)習(xí)支架，引導(dǎo)學(xué)生思考是否能用學(xué)過的圖形面積來推算它，并自主經(jīng)歷圖形面積之間的轉(zhuǎn)化、比較和推算。這樣比單純地讓學(xué)生知道三角形、平行四邊形等的面積計(jì)算公式更具有教學(xué)價值。

有了方格紙的輔助后，學(xué)生對圖形面積進(jìn)行度量就非常方便了。就好比把一張紙撕成很多個同樣大小的方形紙片，只要不重疊，無論怎樣擺放，面積都不變。如果再把紙片換成土豆，用同樣的方式切割，就演變?yōu)榱梭w積問題，同樣體現(xiàn)了有限可加性和運(yùn)動不變性。在此基礎(chǔ)上繼續(xù)深化，把方格無限變小，可以讓學(xué)生初步了解微積分知識。

（二）改進(jìn)度量方式，體驗(yàn)面積覆蓋性

教師從學(xué)生“覆蓋”或“內(nèi)填”的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生用不同的圖形去覆蓋邊長為自然數(shù)的長方形，體驗(yàn)面積覆蓋性。這樣的覆蓋體驗(yàn)過程既是在定義面積，又是在計(jì)算面積。然后以此為鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生思考哪些圖形可定義面積、如何求得面積，讓知識螺旋上升，不斷深化。這是一個很重要的數(shù)學(xué)思想方法，人教版的教材里面也有這樣的環(huán)節(jié)，但是學(xué)生往往只是為了覆蓋而覆蓋，并沒有形成度量的意識。

所以教師需要在“面積”這節(jié)種子課之后再用一節(jié)度量課加以拓展?！懊娣e”這節(jié)課的難點(diǎn)就是學(xué)生受原有經(jīng)驗(yàn)影響，在計(jì)算圖形面積的時候，習(xí)慣性地想用尺子去量。這說明學(xué)生是以一維的思維方式探究面積這個二維的概念的，因?yàn)樗麄儧]有用二維的小正方形去度量圖形的體驗(yàn)，更不理解面積計(jì)算公式中“長乘以寬”的真正含義。同時在這節(jié)度量課中借助一個更抽象的工具——方格尺，讓學(xué)生逐步從數(shù)格子過渡到計(jì)算長乘以寬，進(jìn)而真正理解面積這個二維概念。

（三）滲透度量“標(biāo)準(zhǔn)”意識，強(qiáng)化面積正則性

我們在測量物體時先要找一個單位，長度要找一個一維的單位，面積要找一個二維的單位，體積要找一個三維的單位，找到單位以后再對這個物體進(jìn)行覆蓋。在教學(xué)中，教師需要做的是把度量的基本思想和方法進(jìn)行梳理，讓學(xué)生感悟度量的本質(zhì)。雖然長度用尺、面積用格子、體積用立方體，但其只是工具不同，度量的本質(zhì)是一樣的。教師就是通過不斷地建立一個個標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生感悟到1厘米有多長、1平方米有多大、1千克有多重、1度有多大、1分鐘有多久……在無數(shù)個“1”的標(biāo)準(zhǔn)里不斷刻畫物體的特性，不管是一維的還是二維的甚至是三維的。這種智性學(xué)習(xí)就是讓學(xué)生在變與不變中探究知識的本質(zhì)，它不僅能讓學(xué)生“學(xué)會”，更能讓學(xué)生“會學(xué)”。

參考文獻(xiàn)

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［4］俞正強(qiáng).種子課［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2018.

作者簡介：黃家愛（1976— ），廣西玉林人，?？?，高級教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 鄭 夏）