EQ-代數(shù)上M-算子研究

高曉莉，王軍濤，程曉云

（1.咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 咸陽 712000；2.西安石油大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710065；3.西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710077）

一直以來，專家學(xué)者對模糊邏輯的研究主要從邏輯與代數(shù)兩方面入手，并取得一系列有意義的研究成果[1-3]。型理論是一類高階邏輯，模糊型理論[4-5]是對型理論模糊化的結(jié)果，因此模糊型理論是一類高階模糊邏輯。模糊型理論的基本邏輯連接詞是模糊相等≡，常見的蘊涵連接詞?是模糊型理論中的衍生連接詞，即φ?φ:=(φ∧φ)≡φ。2005年，Novák給出了模糊型理論的真值代數(shù)結(jié)構(gòu)，但是該代數(shù)的基本運算是蘊涵算子，不能自然地解釋模糊型理論中的模糊等價[5]。因此，為尋找模糊型理論更匹配的真值代數(shù)結(jié)構(gòu)，Novák 等人提出EQ-代數(shù)，并研究其相關(guān)性質(zhì)[6]。EQ-代數(shù)是一個具有最大元1和三個基本二元運算（交（∧）、積（?）、模糊相等（～））的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在常見的邏輯代數(shù)中，BL-代數(shù)、MTL-代數(shù)、R0-代數(shù)、MV-代數(shù)等代數(shù)結(jié)構(gòu)中蘊涵算子是基本運算，但在EQ-代數(shù)中蘊涵算子是由模糊相等誘導(dǎo)的二元運算，即x→y:=(x∧y)～x。因此，EQ-代數(shù)作為模糊型理論的真值代數(shù)結(jié)構(gòu)更合理一些。EQ-代數(shù)自提出以來，關(guān)于該結(jié)構(gòu)的研究已取得一系列有意義的進展[7-10]。

M-算子是一種特殊的映射，其概念首次出現(xiàn)在與傅立葉級數(shù)求和理論有關(guān)的諧波分析中。隨后，該概念被用于諧波分析的其他領(lǐng)域，如算子半群理論、隨機過程理論、插值理論和偏微分方程理論等研究中。1974 年，Cornish 在分配格上引入M-算子的概念[11]。1980年，Schmid在分配格上利用M-算子給出商的極大格的非標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造[12]。2014 年，Khorami等人在BL-代數(shù)上引入M-算子的概念，并證明了在合適條件下Boolean代數(shù)上M-算子構(gòu)成的集合是BL-代數(shù)[13]。隨后，Khorami等人在Hoop代數(shù)上引入M-算子的概念，并研究了閉包算子與M-算子之間的關(guān)系[14]。

上述學(xué)者的工作為在邏輯代數(shù)上研究M-算子提供了重要思想和方法。EQ-代數(shù)作為模糊型理論的真值代數(shù)結(jié)構(gòu)，引入M-算子概念并研究其相關(guān)性質(zhì)是必要的和有意義的。研究結(jié)果為促進模糊型理論發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)，為推動人工智能穩(wěn)步前進提供了理論支撐。本文將在EQ-代數(shù)上引入M-算子的概念，研究其相關(guān)性質(zhì)，并討論M-算子與一些特殊映射之間的關(guān)系。

1 預(yù)備知識

本節(jié)給出EQ-代數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)，旨在方便后文的討論。

定義1[6-7]一個（2，2，2，0）型代數(shù)(E,?,∧,～,1)，?x,y,z,w∈E，若滿足以下條件：

（E1）(E,∧,1)是具有最大元1的交半格。

（E2）(E,?,1)是幺半群且對?雙邊保序。

（E3）x～x=1。（自反公理）

則稱(E,?,∧,～,1)是一個EQ-代數(shù)。

本文中，將EQ-代數(shù)E中的誘導(dǎo)運算→定義為：x→y=(x∧y)～x，?x,y∈E。若E有底元0，將一元運算? 定義為：?x=x～0，?x∈E。顯然，?x=x→0。

定義2[6-7]設(shè)E是EQ-代數(shù)。則稱它為

（1）可分的，若?x,y∈E，x～y=1，推出x=y。

（2）好的，若?x∈E，有x～1=x。

（3）剩余的，若?x,y,z∈E，有(x?y)∧z=x?y當(dāng)且僅當(dāng)x∧((y∧z)～y)=x。

注：由文獻[6]可知，剩余EQ-代數(shù)是好的EQ-代數(shù)，好的EQ-代數(shù)是可分EQ-代數(shù)。

引理1[6-7]設(shè)E是EQ-代數(shù)，?x,y，z∈E，則以下結(jié)論成立：

（1）x?y≤x,y，x?y≤x∧y。

（2）x～y=y～x。

（3）若x≤y，則x→y=1，y→x=y～x。

（4）若x≤y，則z→x≤z→y，y→z≤x→z。

（5）若x=y，則x～y=1，反之未必成立。

（6）若E是可分的，則x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x→y=1。

若E是好的，有

（7）x≤(x→y)→y。

（8）x≤y→z當(dāng)且僅當(dāng)y≤x→z。

（9）x→(y→z)=y→(x→z)。（交換原理）

（10）x→(y→z)≤(x?y)→z。

定義3[6-7]設(shè)F是EQ-代數(shù)E的非空子集，?x,y,z∈E，如果F滿足以下條件：

（1）1∈F。

（2）若x,x→y∈F，推出y∈F。

（3）若x→y∈F，推出x?z→y?z∈F。那么稱F為濾子。

引理2[6-7]設(shè)F是EQ-代數(shù)E的濾子，?x,y∈E，則以下結(jié)論成立：

（1）若x∈F且x≤y，則y∈F。

（2）若x,x～y∈F，則y∈F。

2 主要結(jié)果及證明

本節(jié)在EQ-代數(shù)上給出M-算子及一些特殊M-算子的概念并研究其相關(guān)性質(zhì)，討論其與一些映射之間的關(guān)系，同時利用M-算子的不動點集刻畫EQ-代數(shù)。

定義4設(shè)E是EQ-代數(shù)，f:E→E是映射。若f滿足

則稱f為EQ-代數(shù)E上的M-算子。

例1（1）設(shè)E是一個EQ-代數(shù)，定義映射f,g:E→E為f(x)=x，g(x)=1，?x∈E。顯然f、g為E上的M-算子。此時，稱f、g為E上的平凡M-算子。

（2）實單位區(qū)間I=[0,1]上，定義二元運算?、～和誘導(dǎo)算子→為

則(E,?,∧,～,1)是一個EQ-代數(shù)。

（3）設(shè)E={0,a,b,1}且0 ＜a＜b＜1，二元運算?、～和誘導(dǎo)算子→的運算表如下

則(E,?,∧,～,1)是一個EQ-代數(shù)。

（4）設(shè)E={0,a,b,c,1}且0 ＜a,b＜c＜1，其中a，b是不可比較元。二元運算?、～和誘導(dǎo)算子→的運算表如下

則(E,?,∧,～,1)是一個EQ-代數(shù)。

以上例子說明在EQ-代數(shù)上按定義4 的方式定義M-算子是合理的。下面命題說明在EQ-代數(shù)上M-算子的復(fù)合依然是M-算子。

命題1設(shè)E是一個EQ-代數(shù)且f1,f2是E上的兩個M-算子，則復(fù)合映射f1°f2也是E上的M-算子。

證明：假設(shè)f1,f2是E上的M-算子，那么由定義4可知，?x,y∈E，有f1°f2(x→y)=f1(f2(x→y))=f1(x→f2(y))=x→f1°f2(y)。證畢。

現(xiàn)在起，除特別說明之外，將E記為具有底元0的可分EQ-代數(shù)，EQ-代數(shù)上M-算子的一些基本性質(zhì)如下：

命題2 設(shè)f是E上的M-算子，?x,y∈E，則以下結(jié)論成立

（1）f(1)=1，x≤f(x)。

（2）f(x)→y≤x→f(y)。

（3）?(f(x))≤f(?x)。

（4）f(x)→f(y)≤f(x→y)。

證明：（1）因為?x∈E，有0≤x，由引理1（3）可知，0→x=1。再根據(jù)定義4

故f(1)=1。繼而

由引理1（6）得x≤f(x)。

（2）設(shè)?x,y∈E，由命題2（1）和引理1（4）可知，f(x)→y≤x→y≤x→f(y)，故

（3）由命題2（2）可知結(jié)論成立。

（4）設(shè)?x,y∈E，由命題2（1）、引理1（4）和定義4可知，f(x)→f(y)≤x→f(y)=f(x→y)。證畢。

定義5設(shè)E是EQ-代數(shù)，f是E上的M-算子。若f滿足?x,y∈E，x≤y，推出f(x)≤f(y)，則稱f為E上的保序M-算子。

例2易驗證例1（3）中M-算子是保序M-算子。

但是，EQ-代數(shù)E上的M-算子并非都是保序的，反例如下：

例3 若將例1（3）中的映射定義為

則f是E上的M-算子，但f不保序。因為a＜b，但f(a)＞f(b)，所以f不保序。

接下來，給出好的EQ-代數(shù)上保序M-算子的一些重要性質(zhì)。

命題3若f是好的EQ-代數(shù)E上的保序M-算子，?x,y,z∈E，則以下結(jié)論成立

（1）若z≤x→y，則x≤f(z)→f(y)，z≤f(x)→f(y)。

（2）若y≤x，則f(x)→f(y)=f(x)～f(y)。

（3）若E有底元0，則f(x)→f(y)=f(x)→y。

（4）若E有底元0，且x≤y，則f(y)→f(x)≤f(x～y)。

證明：（1）設(shè)?x,y,z∈E，z≤x→y。因為f是E上的保序M-算子，則f(z)≤f(x→y)，從而f(z)≤f(x→y)=x→f(y)。由引理1（8）可 知，x≤f(z)→f(y)。

同理，由引理1（8）可得，x≤z→y，f(x)≤f(z→y)=z→f(y)，從而z≤f(x)→f(y)。

（2）設(shè)?x,y∈E且y≤x，由f的保序性可知，f(y)≤f(x)。因此

（3）設(shè)?x,y∈E，令?t∈E，t≤f(x)→y，由引理1（8）得，f(x)≤t→y。再由命題2（1）和f的保序性可知，x≤t→y，f(x)≤f(t→y)=t→f(y)，則t≤f(x)→f(y)。反之亦然。故

（4）設(shè)?x,y∈E且x≤y，由引理1（3）（4）和命題2（1）可知

證畢。

下面給出EQ-代數(shù)上保序M-算子的等價刻畫。

定理1若f是好的EQ-代數(shù)E上的M-算子，則以下結(jié)論等價

（1）f是保序M-算子。

（2）x→y≤f(x)→f(y)，?x,y∈E。

證明：（1）?（2）。設(shè)?x,y∈E，由引理1（7）和f是E上的保序M-算子得

再由引理1（8）得，x→y≤f(x)→f(y)。（2）?（1）。設(shè)x≤y，因為

所以由引理1（6）可得f(x)≤f(y)。證畢。

設(shè)E是好的EQ-代數(shù)，定義映射fp:E→E為。fp(x)=p→x，?x∈E，其中p∈E。則fp為E上的M-算子，稱fp為E上的單M-算子。從閉包算子的定義可知，閉包算子一定是保序M-算子，但是保序M-算子不一定是閉包算子。反例如下：

例4考慮例1（3）中的EQ-代數(shù)，易驗證該代數(shù)是好的EQ-代數(shù)并且單M-算子fp是保序的，但不是閉包算子，因為fa(0)=a，fa2(0)=fa(a→0)=1，說明fa2(0)≠fa(0)，不滿足冪等性。

下面命題說明，在一定條件下，保序M-算子可以是閉包算子。

命題4若f是E上的保序M-算子且f°f(x)≤f(x)，?x∈E，則f是E上的閉包算子。

證明：由命題2（1）知結(jié)論顯然成立。證畢。

下面定理說明在n元好的EQ-代數(shù)上至少可以定義n個不同的M-算子。

定理2設(shè)E是好的EQ-代數(shù)，如果E中有n個元，那么在E上至少可以定義n個互異的M-算子。

證明：首先，由于E是好的EQ-代數(shù)，對任意的p∈E，有fp是E上的M-算子。其次，證明E上的n個M-算子互不相同。反證法，如果p≠q且fp=fq，那么?x∈E，有fp(x)=fq(x)，即p→x=q→x。

假設(shè)x:=p，則p→p=q→p,繼而q→p=1，由引理1（6）得q≤p。

假設(shè)x:=q，則p→q=q→q，繼而p→q=1，同理得p≤q。

綜上可知p=q，矛盾。因此，如果p≠q，那么fp≠fq。證畢。

命題5設(shè)E是好的EQ-代數(shù)，?p,q∈E，則以下結(jié)論成立

（1）單M-算子f1是E上的恒等映射。

（2）若p≤q，則fq≤fp。

證明：（1）對任意的x∈E，有

（2）設(shè)p≤q，由引理1（4）可知，?x∈E有q→x≤p→x，因此fq(x)≤fp(x)。證畢。

定義6設(shè)f是EQ-代數(shù)E上的M-算子，若?x∈E，f2(x)=f(x)，則稱f是冪等M-算子。

命題6若f是EQ-代數(shù)E上的冪等M-算子，則?x∈f(E)，有f(x)=x。

證明：設(shè)?x∈f(E)，存在a∈E，使得x=f(a)。由f是E上的冪等M-算子知

證畢。

設(shè)E,E′是兩個EQ-代數(shù)，且1,1′分別是E,E′上的最大元。若映射f:E→E′滿足：?x,y∈E，

（1）f(1)=1′。

（2）f(x∧y)=f(x)∧′f(y)。

（3）f(x?y)=f(x)?′f(y)。

（4）f(x～y)=f(x)～′f(y)。

則稱f是EQ-代數(shù)上的同態(tài)映射[6]。

命題7若f:E→E是同態(tài)映射且是冪等的，則f是E上的冪等M-算子。

證明：設(shè)f是同態(tài)映射且是冪等的，?x,y∈E，由引理1（4）和命題2（1）可得

綜上，f是E上的M-算子。進而，由定義6 知，f是E上的冪等M-算子。證畢。

下例說明，若映射f僅是同態(tài)映射，并不能保證f就是E上的M-算子。

命題8 若f是好的EQ-代數(shù)E上的M-算子且滿足?x,y∈E，x→f(y)=f(x)→y，則f是E上的恒等映射。

證明：設(shè)?x,y∈E，x→f(y)=f(x)→y，取x=y=1，則

根據(jù)好的性質(zhì)x～1=x可知

故f是E上的恒等映射。證畢。

命題9若f是好的EQ-代數(shù)E上的單同態(tài)和冪等映射，則f是E上的恒等映射。

證明：由命題7 直接得出f是E上的冪等M-算子。下證f是E上的恒等映射。設(shè)?x,y∈E，由命題8知，只需證x→f(y)=f(x)→y。因此，

綜上，f是E上的恒等映射。證畢。

下面給出好的EQ-代數(shù)上的M-算子是恒等映射的等價刻畫。

定理3若f是好的EQ-代數(shù)E上的M-算子，則f是E上的恒等映射當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立：

（1）f是冪等的。

（2）f(x→y)=f2(x)→y，?x,y∈E。

證明：必要性：顯然成立。

充分性：假設(shè)定理3（1）-（2）成立，則

由M-算子的定義知，f(x→y)=x→f(y)。從而f(x)→y=x→f(y)。繼而根據(jù)命題8知，f是E上的恒等映射。證畢。

設(shè)E1，E2是兩個EQ-代數(shù)，對任意的x,z∈E1，任意的y,w∈E2，在E1×E2上逐點定義運算

則直積E1×E2是EQ-代數(shù)。

命題10設(shè)E1，E2是兩個EQ-代數(shù)且f:E1×E2→E1×E2是映射。若?(x,y)∈E1×E2，映射f滿足f(x,y)=(x,1)，則f為E1×E2上的M-算子。

證明：設(shè)?(x,y),(z,w)∈E1×E2，有

因此，f是E1×E2上的M-算子。證畢。

接下來，主要研究E上M-算子的不動點集的相關(guān)性質(zhì)。

設(shè)f是E上的M-算子，將E關(guān)于f的不動點集記為Fixf(E)，即Fixf(E)={x∈E|f(x)=x}。

命題11若f是E上的冪等M-算子，則Fixf(E)=f(E)。

證明：一方面，設(shè)x∈Fixf(E)，則f(x)=x，即x∈f(E)，說 明Fixf(E)?f(E)。另一方面，設(shè)x∈f(E)，則存在y∈E，使得x=f(y)。因為f是E上的冪等M-算子，所以f(x)=f（f(y)）=f(y)=x，即x∈Fixf(E)，說明f(E)?Fixf(E)。證畢。

命題12設(shè)f是E上的保序M-算子，?x,y∈Fixf(E)，則以下結(jié)論成立：

（1）x∧y∈Fixf(E)。

（2）若x≤y，則x～y∈Fixf(E)。

證明：（1）設(shè)?x,y∈Fixf(E)，因為f(x)=x，f(y)=y，根據(jù)命題2（1）得

下面定理說明在一定條件下，F(xiàn)ixf(E)能形成一個EQ-代數(shù)。

定理4設(shè)f是E上的保序M-算子，若

證明：由題設(shè)條件與命題12知，顯然Fixf(E)關(guān)于～、?、∧封閉。易知(Fixf(E),∧,?,～,1) 是EQ-代數(shù)。證畢。

定理5設(shè)同態(tài)映射f是E上的保序和冪等M-算子且F是E的濾子，則f(F)是(f(E),∧,?,～,1)的濾子。

證明：設(shè)對任意的x,y∈E，由命題11得，F(xiàn)ixf(E)=f(E)。由定理4 得，(f(E),∧,?,～,1)是一個EQ-代數(shù)。下證f(F)是(f(E),∧,?,～,1)的濾子。

首先，因為1∈F，所以f(1)∈f(F)，說明f(F)非空。

其次，若f(x),f(x)→f(y)∈f(F)，則

因此存在z∈F，使得z=x→y，由于F是E的濾子且x∈F，所以y∈F，從而f(y)∈f(F)。

最后，若對任意的f(x),f(y),f(z)∈f(E)，且f(x)→f(y)∈f(F)，即

說明x→y∈F，由F是E的濾子知，對任意的z∈E，有x?z→y?z∈F。因此

故f(F)是(Fixf(E),∧,?,～,1)的濾子。證畢。

設(shè)F是EQ-代數(shù)E的濾子，定義二元關(guān)系≈為：x≈F y當(dāng)且僅當(dāng)x～y∈F，則二元關(guān)系≈是同余關(guān)系，將x∈E關(guān)于≈F的同余類記為[x]F[7]。

定理6設(shè)f是E上的M-算子且F是E的濾子，則

定理7設(shè)同態(tài)映射f是E上的保序和冪等M-算子且F是E的濾子。若?x,y∈E

從而f(x～y)=f(x)～f(y)∈F。

由于f是冪等的，所以

3 結(jié)論

EQ-代數(shù)是比剩余格更廣的一種代數(shù)結(jié)構(gòu)。本文首次將M-算子的概念應(yīng)用于基于模糊型理論的邏輯代數(shù)中，證明了EQ-代數(shù)上的M-算子具有較好的性質(zhì)，并通過不同形式的研究，解決了幾類特殊映射與M-算子之間的關(guān)系問題。關(guān)于M-算子性質(zhì)的進一步研究，以及M-算子與濾子、穩(wěn)定化子等特殊集合的關(guān)系問題的研究，我們將另文討論。