半群PODn的反保序平方冪等元

黃新旭，游泰杰

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽　550001)

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半群PODn的反保序平方冪等元

黃新旭，游泰杰

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽550001)

摘要：設(shè)PODn是Xn上的保序或反保序部分變換半群。對(duì)n≥4, 證明了半群PODn秩為n-1的元素為反保序平方冪等元的充分必要條件。

關(guān)鍵詞：保序或反保序部分變換半群; 反保序平方冪等元; 充分必要條件

0引言

設(shè)自然數(shù)n≥4, Xn={1,2,…,n}并賦予自然序,PTn是Xn上的部分變換半群。設(shè)α∈PTn, 若對(duì)任意的x,y∈dom(α),x≤y?xα≤yα, 則稱α是保序的。設(shè)POn為PTn中的所有保序部分變換之集, 則POn是PTn的子半群, 稱POn為保序部分變換半群。反之, 若對(duì)任意的x,y∈dom(α),x≤y?xα≥yα, 則稱α是反保序的, 設(shè)PDn為PTn中的所有反保序部分變換之集。令PODn=POn∪PDn, 易驗(yàn)證PODn是PTn的子半群, 稱PODn為保序或反保序部分變換半群。根據(jù)PODn的性質(zhì)可知, 任意兩個(gè)保序變換或任意兩個(gè)反保序變換的乘積是保序變換, 而保序變換與反保序變換的乘積是反保序變換。

設(shè)α∈PTn, 若α2=α, 則稱α是一個(gè)冪等元。 若α2=α4(α2是冪等元), 則稱α是一個(gè)平方冪等元; 若α既是反保序的又是平方冪等元, 則稱α是一個(gè)反保序平方冪等元。 平方冪等元的概念是Umar在文獻(xiàn)[1]中首次提出。 接著在1999年, 文獻(xiàn)[2]研究了有限變換半群的平方冪等元。 2001年, 文獻(xiàn)[3]研究了保序鏈的有限變換半群中的平方冪等元。 2013年, 文獻(xiàn)[4]研究了有限變換半群中由平方冪等元生成的子半群。 2014年, 文獻(xiàn)[5]研究了保序變換半群的頂端的平方冪等元的充要條件。而最近一篇關(guān)于研究平方冪等元的文章則是在2015年發(fā)表的文獻(xiàn)[6], 它研究了保序部分變換半群的頂端的平方冪等元的充要條件。 由此可見, 目前對(duì)平方冪等元進(jìn)行研究的文章并不多。 本文類比平方冪等元的概念, 提出反保序平方冪等元的概念, 并證明了半群PODn秩為n-1的元素為反保序平方冪等元的充分必要條件。

本文未定義的術(shù)語及符號(hào)請(qǐng)參見文獻(xiàn)[7]。

1準(zhǔn)備知識(shí)

據(jù)文獻(xiàn)[8]的結(jié)果, PODn中的Green關(guān)系有如下刻畫:

(α,β)∈L?im(α)=im(β),

(α,β)∈R?ker(α)=ker(β),

下面我們考慮PODn的J-類Jn-1:

1)Jn-1=[n,n-1]∪[n-1,n-1]。

2)Jn-1中共有n個(gè)L-類，記為L(zhǎng)(1),L(2),…,L(n), 其中

2主要結(jié)果

定義1設(shè)i∈Xn,α∈PODn,若i∈dom(α), 有iα∈dom(α), 并且存在j∈dom(α),使得iα=j,jα=i, 則稱i為α的可成對(duì)量, 并稱i與j成對(duì), 同理j與i成對(duì)。 用Twin(α)表示α的所有可成對(duì)量組成的集合。

定義2設(shè)i∈Xn,α∈PODn, 若i∈dom(α), 有iα=i, 則稱i為α的固定點(diǎn)。 用Fix(α)表示α的所有固定點(diǎn)組成的集合。 注意到每個(gè)固定點(diǎn)都與自身成對(duì), 即Fix(α)?Twin(α)。

定理1設(shè)n≥4, α為Jn-1中的反保序變換, 則

1)當(dāng)α∈[n,n-1], A為α的非單點(diǎn)核類, 若A?im(α), 那么α為反保序平方冪等元的充分必要條件是

dom(α)∩im(α)=Twin(α)。

2)當(dāng)α∈[n,n-1], A為α的非單點(diǎn)核類, 若A?im(α), 那么α為反保序平方冪等元的充分必要條件是

dom(α)∩im(α)=Twin(α)∪A。

3)當(dāng)α∈[n-1,n-1], α為反保序平方冪等元的充分必要條件是

dom(α)∩im(α)=Twin(α)。

證明1) 充分性設(shè)dom(α)∩im(α)=Twin(α), 于是dom(α2)=(dom(α)∩im(α))α-1=Twin(α)α-1,

易驗(yàn)證im(α2)=Twin(α),

注意到α為反保序變換, 從而α2為保序變換。 因此對(duì)任意的t∈im(α2), 有t∈t(α2)-1。 所以α2是冪等元, 故α是反保序平方冪等元。

2)充分性設(shè)dom(α)∩im(α)=Twin(α)∪A,

于是dom(α2)=(dom(α)∩im(α))α-1=(Twin(α)∪A)α-1=Twin(α)α-1∪Aα-1,

易驗(yàn)證im(α2)=Twin(α),

注意到α為反保序變換, 從而α2為保序變換。 因此對(duì)任意的t∈im(α2), 有t∈t(α2)-1。 所以α2是冪等元, 故α是反保序平方冪等元。

必要性 顯然Twin(α)∪A?dom(α)∩im(α),下面只需證明dom(α)∩im(α)?Twin(α)∪A。 運(yùn)用反證法。 設(shè)dom(α)∩im(α)?Twin(α)∪A, 由于dom(α)∩im(α)=im(α),于是im(α)?Twin(α)∪A,假設(shè)任意的x∈im(α)(Twin(α)∪A),都有x∈x(α2)-1與α∈Jn-1矛盾。 從而存在x∈im(α)(Twin(α)∪A),使得x?x(α2)-1,與α2是冪等元矛盾。 因此dom(α)∩im(α)?Twin(α)∪A, 綜上dom(α)∩im(α)=Twin(α)∪A。

3)充分性設(shè)dom(α)∩im(α)=Twin(α), 于是

dom(α2)=(dom(α)∩im(α))α-1=Twin(α)α-1=Twin(α),

從而 dom(α2)α2=Twin(α)α2=Fix(α2),

因此α2是冪等元, 故α是反保序平方冪等元。

參考文獻(xiàn)：

[1] UMAR A.On the semigroup of partial one-one order-decreasing finite transformation[J].Proc Roy Soc Edinburgh，123A 1993：355-363.

[2] MADU B A.Quasi-idempotents and quasi-nilpotents in finite transformations semi-groups[D/OL].Nigeria:Ahmadu Bello University Zaria,1999.

[3] MADU B A,GARBA G U.Quasi-idempotents in finite semigroups of order-preserving charts[J].Research Journal of Science，2001(7)：61-64.

[4] IMAM A T.Subsemigroups generated by quasi-idempotents in certain finite semi-groups of mappings[D/OL].Nigeria:Ahmadu Bello University Zaria,2013.

[5] 李紅香,游泰杰,趙平.保序變換半群On的平方冪等元[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,32(1): 48-50.

[6] 吳江燕,游泰杰.保序部分變換半群POn的平方冪等元[J].東北師大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015, 47(3): 6-11.

[7] HOWIE J M.An introduction to semigroup theory[M].London:Academic Press，1976.

[8] FERNANDES V H,GOMES G M S，JESUS M M.Congruences on monoids of order-preserving or order-reversing transformations on a finite chain[J].Glasgow Math J，2005(47)：413-424.

文章編號(hào)：1004—5570(2016)01-0052-03

收稿日期：2015-08-25

作者簡(jiǎn)介：黃新旭(1990-), 女, 在讀碩士研究生, 研究方向: 半群代數(shù)理論, E-mail: 513991995@qq.com.

中圖分類號(hào)：O152.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

The order-reversing quasi-idempotent of the semigroup PODn

HUANG Xinxu, YOU Taijie

(School of Mathematics and Computer Science, GuiZhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001, China)

Abstract:Let PODn be the order-preserving or order-reversing partial transformations semigroup on Xn.when n≥4， we showed that the necessary and sufficient conditions of the element of rank n-1 of the semigroup PODn is order-reversing quasi-idempotent.

Key words:order-preserving or order-reversing partial transformations semigroup; order-reversing quasi-idempotent;necessary and sufficient conditions