半群的主因子的秩

呂 會(huì) 羅永貴

( 貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,550025,貴陽 )

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)[n]={1,2,…,n-1,n}(n≥3)并賦予自然數(shù)的大小序.In表示[n]上的一一變換半群,SIn=InSn是[n]上的部分一一變換半群.設(shè)α∈SIn,若對任意的x,y∈dom(α),x≤y可推出xα≤yα,則稱α是保序的;若(1α,2α,…,nα)是一個(gè)圈,即最多存在一個(gè)自然數(shù)i, 使得iα>(i+1)α,則稱α是方向保序的.記OIn為InSn中所有保序變換之集,稱OIn為保序嚴(yán)格部分一一變換半群.記POPIn為InSn中所有方向保序變換之集,稱POPIn為方向保序嚴(yán)格部分一一變換半群.

設(shè)k是[n]上的一個(gè)固定點(diǎn),令

(1)

其中a1

αR◇β當(dāng)且僅當(dāng)ker(α)=ker(β),

αL◇β當(dāng)且僅當(dāng)im(α)=im(β),

αD◇β當(dāng)且僅當(dāng)|im(α)|=|im(β)|.

(2)

易見,Pr關(guān)于運(yùn)算· 是完全0 - 單半群.

定義2設(shè)

易知若θ1=σ1⊕δ1,θ2=σ2⊕δ2,則有θ1θ2=σ1σ2⊕δ1δ2.

定理1設(shè)n≥3,1≤r≤n-1,則

(3)

本文未定義的術(shù)語及符號(hào)參見文獻(xiàn)[7-9].

2 定理1的證明

為完成定理1的證明先給出如下兩個(gè)引理與一個(gè)推論.

證若(α,β)，(α,αβ)∈D◇,則|im(α)|=|im(β)|=|im(αβ)|. 再由im(αβ)? im(β),ker(α)?ker(αβ)與[n]的有限性可知,im(αβ)=im(β),ker(α)=ker(αβ),即(α,αβ)∈R◇,(αβ,β)∈L◇.

推論1設(shè)n≥3,1≤r≤n-1,則

(4)

證分以下幾種情況討論：

設(shè)A1={p1

將αm換成

易知

是一個(gè)群.

對其余D-類也用類似方式進(jìn)行構(gòu)造,可得集合

當(dāng)i

當(dāng)i=j時(shí),有α=αiαi+1…αm-1αmα1α2…αi-2αi-1.

當(dāng)i>j時(shí),有α=αiαi+1…αm-1αmα1α2α3…αj-2αj-1.

因此,結(jié)合推論1可得M是Pr的極小生成集, 且

綜上可知定理1得證.

3 可進(jìn)一步研究的問題