教軌非墨守，智慧脫尺規(guī)

王麗

［摘 要］非標(biāo)準(zhǔn)化變式訓(xùn)練即通過非常規(guī)或非標(biāo)準(zhǔn)的方式來訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力。文章從調(diào)整形態(tài)、調(diào)整描述、調(diào)整構(gòu)架、調(diào)整策略四個(gè)方面闡述了非標(biāo)準(zhǔn)化變式訓(xùn)練的實(shí)施路徑，旨在打破傳統(tǒng)變式訓(xùn)練的局限，促使學(xué)生從不同角度和層面去思考問題，從而培養(yǎng)他們的思維靈活性和創(chuàng)新能力。

［關(guān)鍵詞］非標(biāo)準(zhǔn)變式；變式訓(xùn)練；數(shù)形結(jié)合；解題路徑；小學(xué)數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）32-0078-03

變式訓(xùn)練是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的一大特色，被認(rèn)為是中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)高效學(xué)習(xí)的關(guān)鍵性手段。這種方法通過探究變化與恒定之間的關(guān)系來凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，已廣泛應(yīng)用于不同年級(jí)的數(shù)學(xué)課堂。然而，在小學(xué)教學(xué)中，這一方法的應(yīng)用成效參差不齊。由于小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和思維發(fā)展還相對(duì)較少，在變式訓(xùn)練過程中難免會(huì)遇到一些無法預(yù)料的問題。近年的研究顯示，在很多情況下，變式訓(xùn)練效果未能達(dá)到預(yù)期的原因是過度規(guī)范化，這種規(guī)范化導(dǎo)致學(xué)生思維單一且固化。具體而言，這種教學(xué)模式容易導(dǎo)致學(xué)生思維的狹隘、思考方式的僵化、邏輯推理生硬，以及缺乏解決問題的創(chuàng)造力。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知，將變式訓(xùn)練由“標(biāo)準(zhǔn)化”轉(zhuǎn)向“非標(biāo)準(zhǔn)化”能夠極大地拓寬小學(xué)生思維的邊界，幫助他們跳出思維的窠臼，朝著更自然、更深刻的理解方向發(fā)展。通過科學(xué)運(yùn)用“非標(biāo)準(zhǔn)化”變式訓(xùn)練，不僅可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)習(xí)慣、邏輯思維和問題解決能力，同時(shí)還可以幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，為他們之后的學(xué)習(xí)旅程鋪平道路。

一、調(diào)整形態(tài)：由局部至全面，引導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)展

空間與圖形是一種視覺形態(tài)，而這種形態(tài)涉及運(yùn)動(dòng)和構(gòu)造等多種屬性。教師從平面與立體、感知與判斷、位置與變化這些維度來設(shè)計(jì)非標(biāo)準(zhǔn)化變式，能夠有效凸顯空間與圖形的性質(zhì)，從而提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知與理解。以“正方形的認(rèn)識(shí)”為例，教學(xué)設(shè)計(jì)可按照以下三個(gè)步驟開展。首先，教師可以展示學(xué)生預(yù)先收集的各種幾何物體，從三維物體中找二維圖形。其次，通過正方形和其他圖形之間的比對(duì)，明確正方形角與邊的特性。隨后，從大小、位置、方向三個(gè)角度開展各種變式訓(xùn)練，以提升學(xué)生對(duì)正方形的認(rèn)知與理解。

1.融合平面與立體，實(shí)施變式認(rèn)知對(duì)接

當(dāng)某一知識(shí)屬性保持恒定，而其他屬性發(fā)生轉(zhuǎn)變時(shí)，就形成了第一種變式。在教學(xué)正方形這一圖形相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從生活物體中提煉出正方形的形狀，通過對(duì)實(shí)物邊的長(zhǎng)度、數(shù)量以及角的大小等屬性進(jìn)行變式，提升學(xué)生對(duì)正方形邊與角特性的理解。

2.注重感知和辨析，開展變式教學(xué)訓(xùn)練

首先，讓學(xué)生觀察生活中的實(shí)物并感受它們表面之間的差異性，然后專注于那些表面為正方形的立體實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生將正方形從三維物體中“提煉”出來。這一步的目的是借助多樣的立體實(shí)物來達(dá)到第一個(gè)認(rèn)知維度。其次，對(duì)于第二和第三認(rèn)知維度，則需要對(duì)各種四邊形和其他幾何形狀的邊和角進(jìn)行比較，讓學(xué)生在復(fù)雜多變的非本質(zhì)屬性中識(shí)別出正方形，進(jìn)而掌握其核心特性。

3.結(jié)合位置與變換，構(gòu)建知識(shí)框架體系

通過多種非標(biāo)準(zhǔn)化變式訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)正方形的初步理解已經(jīng)逐漸形成，而且對(duì)其特性有了深入認(rèn)識(shí)。然后，教師可以通過介紹多維度的位置及大小變化來加強(qiáng)學(xué)生對(duì)正方形的全面理解，并在應(yīng)用中完成知識(shí)的整體構(gòu)建。例如，不同大小的正方形、不同位置的正方形等維度。如此一來，非標(biāo)準(zhǔn)化變式已從知識(shí)外延范圍轉(zhuǎn)向了對(duì)知識(shí)核心屬性的探討。

一般而言，小學(xué)階段的學(xué)生處于從形象思維向抽象思維過渡的轉(zhuǎn)變階段，雖然能認(rèn)知和記憶圖形，但在空間感上存在欠缺之處。如果教學(xué)中只開展一些標(biāo)準(zhǔn)化的變式訓(xùn)練，學(xué)生在面對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)圖形的問題時(shí)依然難以自主解決。因此，在這種教學(xué)情境下，適當(dāng)加入各種非標(biāo)準(zhǔn)化變式，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的全面化及系統(tǒng)化構(gòu)建。

二、調(diào)整描述：由淺層入深層，深化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知

在數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，表述方式可以分為示例、條件以及問題的展示等，這是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。非標(biāo)準(zhǔn)式的表述注重將形狀、圖像和文字進(jìn)行融合轉(zhuǎn)換，利用多樣性以及多角度的描述來呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生在變化中篩選出知識(shí)核心特性，進(jìn)而達(dá)到更深入的理解。以蘇教版一年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)加減兩位數(shù)的進(jìn)位加和退位減”教學(xué)為例，教師可以運(yùn)用圖形與數(shù)值相結(jié)合等多種表述方式實(shí)現(xiàn)對(duì)分散知識(shí)點(diǎn)的整合，不僅有助于學(xué)生更好地理解復(fù)雜的知識(shí)概念，還能促進(jìn)他們建立系統(tǒng)化的知識(shí)連接。

填空題：□+11= 60? ? ? 68-□=22

文字題：明明要抄寫 50 個(gè)漢字，他已經(jīng)抄了 17 個(gè)，還需要抄寫幾個(gè)？

表格題：

變化的是表述路徑，不變的是知識(shí)本身，這一組練習(xí)可在強(qiáng)化算理的同時(shí)將不同的題型串起來，讓學(xué)生的認(rèn)知形成一個(gè)完整而又四通八達(dá)的體系。

1.數(shù)形并用，架設(shè)理解之橋

數(shù)形結(jié)合是一種常見的數(shù)學(xué)教學(xué)手段，它主要是用幾何形狀來表示數(shù)字概念，再用數(shù)字來解釋幾何形狀。在非標(biāo)準(zhǔn)化變式訓(xùn)練中，可以采取數(shù)字與圖形的多樣化結(jié)合方式來實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。比如，在低年級(jí)，可以使用直線來教學(xué)數(shù)字的順序和比較大??；而在高年級(jí)，運(yùn)用繪制線段圖的方式可讓學(xué)生更清晰地了解數(shù)量關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

2.圖文轉(zhuǎn)譯，通暢知識(shí)之鏈

例如，圍繞“40-5=”這一核心算式可設(shè)計(jì)表述不同的兩層變式：表述形式變式和表述內(nèi)容變式。表述形式變式為“全圖→半圖半文→全文”，遵循兒童的思維特點(diǎn)，從形象向抽象過渡。在表述內(nèi)容上首先將“40-5=”作為本質(zhì)（不變）放在買書包的情境（變化）中，幫助兒童理解“商品價(jià)錢、找回的錢和付出的錢”之間的關(guān)系；接著再將買東西的數(shù)量關(guān)系作為本質(zhì)（不變）進(jìn)行商品和數(shù)字的變式。

3.文辭巧述，明確思維之向

進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)時(shí)，可引入帶有空白方塊的問題，如“□+3=70”或“70-□=67”，有助于學(xué)生更深入地了解加法和減法算式中各元素的相互關(guān)系，再通過文字表述來開展以下非標(biāo)準(zhǔn)化變式訓(xùn)練。

（1）數(shù)字不變，情境變化。例如，“小明帶了70元去買了一本67元的書，他還剩多少錢？”。

（2）情境不變，數(shù)字變化。例如，“小明帶了70元去買了兩本書，一本35元，另一本26元，正好趕上活動(dòng)日可以打9折，他還剩多少錢？”。

（3）數(shù)字和情境都變化。例如，“小麗拿了50元去購買一個(gè)價(jià)值53元的玩具，正好趕上活動(dòng)日，滿50元可以打9折，買完后她還有多少錢？”。

通過這樣多維度、多層次的非標(biāo)準(zhǔn)化變式教學(xué)，不僅能有效提升學(xué)生的計(jì)算水平，還能培養(yǎng)其良好的實(shí)際應(yīng)用能力。

簡(jiǎn)明的文字和直觀的圖示是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要工具，二者除了可以單獨(dú)使用，還能完美融合在一起，從而讓數(shù)學(xué)知識(shí)變得更加連貫和系統(tǒng)。對(duì)于剛開始形成抽象思維的小學(xué)生而言，非標(biāo)準(zhǔn)化變式訓(xùn)練中對(duì)問題的多樣化呈現(xiàn)形式能使教學(xué)過程循序漸進(jìn)，能夠有效引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)的深層本質(zhì)。

三、調(diào)整構(gòu)架：由被動(dòng)變主動(dòng)，轉(zhuǎn)變學(xué)生理解模式

數(shù)學(xué)中的“構(gòu)架”有內(nèi)外之分，外部指的是教學(xué)進(jìn)程的安排，內(nèi)部則是指知識(shí)體系的構(gòu)建。非標(biāo)準(zhǔn)化變式中的教學(xué)結(jié)構(gòu)是將二者進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，目的是讓學(xué)生避免遵循一種預(yù)定的、被動(dòng)接受的學(xué)習(xí)模式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)更有創(chuàng)造性的知識(shí)探索。以蘇教版三年級(jí)下冊(cè)中“小數(shù)”的教學(xué)為例，教師可以先讓學(xué)生觀察購物小票中的數(shù)值，讓其了解小數(shù)與整數(shù)之間的不同，然后在黑板上畫出一個(gè)正方形來表示“1元”，并讓學(xué)生在上面標(biāo)記出“0.5元”，進(jìn)而幫助其理解小數(shù)的含義。最后，教師還可以在正方形上標(biāo)記刻度，讓學(xué)生借助測(cè)量工具來畫出不同數(shù)額，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)小數(shù)知識(shí)的理解。

1.利用反例凸顯，在對(duì)比辨析中觸摸知識(shí)

新知識(shí)之所以與原有知識(shí)不同，主要是因?yàn)樗肓伺c以前學(xué)過的內(nèi)容不同或更深層次的概念。但是，它與原有知識(shí)又保持著緊密的聯(lián)系，通常是在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展或深化。在使用購物清單中的金額開展小數(shù)的教學(xué)時(shí)，教師開展一些變式訓(xùn)練后，還要注重加入之前所學(xué)的整數(shù)內(nèi)容，讓學(xué)生在訓(xùn)練中嘗試主動(dòng)對(duì)既學(xué)知識(shí)進(jìn)行對(duì)比分辨，讓其學(xué)會(huì)對(duì)新概念進(jìn)行自主總結(jié)與提煉，進(jìn)而更好地掌握課堂核心內(nèi)容。這種反例變式的訓(xùn)練方式可以很好地幫助學(xué)生構(gòu)建自身的知識(shí)體系。

2.改變構(gòu)建方式，在原有體系上衍生新知

小數(shù)知識(shí)的變式除了和整數(shù)關(guān)聯(lián)，還可以和分?jǐn)?shù)建立聯(lián)系，讓學(xué)生深刻明白所有十進(jìn)制小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示。例如，用長(zhǎng)方形紙表示1元，然后要求學(xué)生用這張紙來展示0.6元，學(xué)生自然會(huì)想到把這張紙平均分成10個(gè)部分，并涂色其中的6個(gè)部分。這個(gè)動(dòng)手活動(dòng)很好地激活了學(xué)生之前學(xué)過的知識(shí)，比如[610]，從而自然而然地將小數(shù)和分?jǐn)?shù)聯(lián)系了起來。這種實(shí)踐性的變式訓(xùn)練方法提供了一個(gè)更加直觀的方式，使學(xué)生清晰明了地掌握小數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

3.轉(zhuǎn)換練習(xí)視角，在層層變式中擴(kuò)大視野

在實(shí)踐教學(xué)過程中，教師可以通過使用非傳統(tǒng)的教學(xué)方法將不同類型的模型（如貨幣、米制、數(shù)軸等）有機(jī)結(jié)合起來。盡管模型和表達(dá)方式有所不同，但小數(shù)的基本含義保持不變。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)學(xué)生通過自我探索發(fā)現(xiàn)“0.x等于[x10]”后，在后續(xù)的練習(xí)中會(huì)表現(xiàn)得更加出色，特別是練習(xí)與數(shù)軸相關(guān)的知識(shí)時(shí)，學(xué)生會(huì)自我糾正“小數(shù)一定小于1”的誤解，這對(duì)于其整體掌握數(shù)學(xué)知識(shí)有著很好的幫助?？傊ㄟ^改變傳統(tǒng)的、被動(dòng)的教學(xué)方法，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間引入創(chuàng)新的非標(biāo)準(zhǔn)化變式，教師能給學(xué)生提供更多觀察、推測(cè)、實(shí)踐、驗(yàn)證和總結(jié)的機(jī)會(huì)。這不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還有助于他們構(gòu)建自己的知識(shí)架構(gòu)體系。

四、調(diào)整策略：由套路至多元，拓展學(xué)生解題路徑

所謂“得法自然成，失法寸步難”，從教學(xué)的角度來看，選對(duì)方法對(duì)于提升學(xué)習(xí)效果有著非常關(guān)鍵的作用。以蘇教版四年級(jí)“平均數(shù)”單元教學(xué)為例，課程可以從測(cè)量全班學(xué)生的閱讀量開始，先讓學(xué)生探討哪個(gè)數(shù)字最能代表整體，進(jìn)而引入平均數(shù)的概念。接著通過圖解和算式來加深學(xué)生對(duì)平均數(shù)的理解。最終，通過不同類型的問題讓學(xué)生掌握平均數(shù)的變動(dòng)范圍。

1.情境變異，凸顯探索本質(zhì)

提前了解學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)是開展教學(xué)工作的關(guān)鍵一環(huán)，而“閱讀量”這一概念符合學(xué)生的認(rèn)知范圍，以此開展情境類活動(dòng)對(duì)于激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的渴求有很好的幫助。借助探索情境的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)變式條件進(jìn)行分析與選擇，進(jìn)而去除知識(shí)中的非核心因素，更加專注于知識(shí)的關(guān)鍵屬性，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維空間的拓展以及探究能力的提升。

2.方法變換，拓展計(jì)算領(lǐng)域

想要打破學(xué)生對(duì)平均數(shù)僅是“先加再除”的固有認(rèn)識(shí)，教師可以通過多樣化的教學(xué)手段進(jìn)行引導(dǎo)。例如，小組內(nèi)共有8名學(xué)生，其中4名學(xué)生分別閱讀了1本書，2名學(xué)生分別閱讀了2本書，剩余2名學(xué)生分別閱讀了4本書，平均每人讀了多少本？

常規(guī)思路：（1+1+1+1+2+2+4+4）÷8=2

其他思路：（4×1+2×2+2×4）÷8=2

在實(shí)際操作中使用各種數(shù)據(jù)類型幫助學(xué)生優(yōu)化計(jì)算方法，同時(shí)設(shè)計(jì)多樣的練習(xí)題，能讓他們明白計(jì)算也須個(gè)性化處理。計(jì)算方法的改進(jìn)當(dāng)然重要，但方法的誕生和篩選也是一個(gè)漸進(jìn)的過程。教師除了注重傳統(tǒng)的筆算教學(xué)，還應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生在巧算、口算和估算等方面的能力。

3.層次鋪墊，提升問題價(jià)值

問題解決的方法是多樣的。但不同解決方法對(duì)學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備的要求也各不相同。在教學(xué)中，可以針對(duì)不同的知識(shí)點(diǎn)和訓(xùn)練點(diǎn)，以多層次的問題鋪墊引導(dǎo)學(xué)生深入思考。通過多層的變式鋪墊，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、對(duì)問題的思考更加深刻。

解決問題的途徑有很多種，而學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備與學(xué)習(xí)能力也各有差異。在教學(xué)過程中，教師可以通過設(shè)計(jì)多級(jí)別的問題，促使學(xué)生更加有效地吸收和應(yīng)用知識(shí)。除了基礎(chǔ)計(jì)算，還可以加入結(jié)果預(yù)估和數(shù)據(jù)變動(dòng)兩個(gè)環(huán)節(jié)。先讓學(xué)生預(yù)估平均數(shù)，以引導(dǎo)他們思考平均數(shù)可能的范圍，然后改變單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，讓學(xué)生實(shí)際感受到數(shù)據(jù)變動(dòng)是如何影響平均數(shù)的。這種多層次的問題設(shè)計(jì)不僅加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)也能極大地拓展其思考寬度。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，非標(biāo)準(zhǔn)化變式的應(yīng)用為課堂帶來了更多新的可能性。非標(biāo)準(zhǔn)化變式訓(xùn)練有助于學(xué)生辨別知識(shí)非核心因素，進(jìn)而更加精準(zhǔn)地掌握知識(shí)核心特質(zhì)。這不僅有助于學(xué)生打破原有的思維局限，拓展學(xué)生的思維空間，還有助于其全面構(gòu)建知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 賈濤. 變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的實(shí)踐探究[J]. 數(shù)理化解題研究，2022（15）：50-52.

[2] 陳致霞. 變式練習(xí)在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用[J]. 新課程，2021（35）：12.

（責(zé)編 楊偲培）