邁克耳孫干涉儀與光學自相關(guān)測量

張朝暉

(北京大學 物理學院 基礎(chǔ)物理實驗教學中心，北京 100871)

19世紀末，邁克耳孫(A. A. Michelson)發(fā)明了用于測量微小長度、折射率和光波波長的干涉儀器,即邁克耳孫干涉儀，并與莫雷(E.W. Morley)合作，進行了著名的邁克耳孫-莫雷實驗(Michelson-Morley experiment)， 證明了光速與地球表面運動速度無關(guān). 該實驗引發(fā)了一系列的實驗及理論研究，最終否定了當時盛行的以太理論，確立了光速在真空中不變的基本事實，奠定了愛因斯坦狹義相對論的實驗基礎(chǔ). 由于創(chuàng)制了精密的光學儀器和利用該儀器所完成的光譜學和基本度量學研究，邁克耳孫于1907年獲得了諾貝爾物理學獎. 此后100多年，邁克耳孫的該發(fā)明得到了廣泛而深刻的應(yīng)用和發(fā)展，其中迄今最重大的科學成就是：科學家基于邁克耳孫干涉測量思想建造了激光干涉引力波天文臺(Laser interferometer gravitational-wave observatory，LIGO)，并于2016年探測到了愛因斯坦廣義相對論預(yù)言的引力波，即黑洞、中子星等天體在碰撞過程中產(chǎn)生的時空漣漪，其中3位貢獻最大的科學家(Rainer Weiss，Kip Stephen Thorne 和 Barry Clark Barish)因此獲得了2017年的諾貝爾物理學獎.

為狹義相對論和廣義相對論提供實驗支撐的裝置利用的是邁克耳孫干涉測量微小長度的原理，其基本光路如圖1所示.

圖1 邁克耳孫干涉儀的原理光路

(1)

(2)

(3)

其中，I0為入射光波的光強，γ(τ)為入射光波電場的歸一化自相關(guān)函數(shù)，其形式為

(4)

由此可見，在準直光波入射的條件下，邁克耳孫干涉儀如同1臺模擬計算入射光波自相關(guān)函數(shù)的機器，通過測量一系列延遲時間所引起的干涉光強，就可以計算出所有相應(yīng)的相關(guān)函數(shù)值.由于延遲時間τ與2束光波經(jīng)歷的光程之差z及光速c之間滿足τ=z/c，通過測量自相關(guān)函數(shù)值來反推相應(yīng)的時間延遲量就可以確定光程差，即進行微小長度的測量.對于引力波測量來說，時空漣漪引起的時空應(yīng)變及其微小以至于必須能夠在103km的尺度上探測到原子核大小光程差改變所引起的相關(guān)函數(shù)值的變化.

邁克耳孫干涉儀的自相關(guān)測量原理已經(jīng)發(fā)展成多種檢測技術(shù)和儀器設(shè)備. 傅里葉變換光譜儀(FTS)在原理上就是通過連續(xù)移動邁克耳孫干涉儀的1個平面鏡來測量入射光波的自相關(guān)信號，然后對該信號做快速傅里葉變換(FFT),得到入射光波的頻譜分布. 另外，光學相干層析(OCT)的成像技術(shù)在原理上則是將邁克耳孫干涉儀的1個平面鏡換成待測樣品，運用自相關(guān)測量來實現(xiàn)對生物樣品的三維斷面成像.

邁克耳孫干涉儀與光學自相關(guān)測量實驗期望學生在較高層次上全面理解邁克耳孫干涉儀的光學自相關(guān)測量原理，在較高水平上選擇性地完成綜合性的物理實驗，如傅里葉變換光譜(FTS)檢測，光學相干層析(OCT) 成像，等等. 作為實驗輔導材料，本文將提供理解和實施項目內(nèi)容的基本思路：首先從邁克耳孫干涉儀的基礎(chǔ)實驗入手，溫習邁克耳孫干涉的物理圖像和基本的實驗方法；在此基礎(chǔ)上，先嘗試理解邁克耳孫干涉儀用于測量微小長度的原始實驗和在引力波測量上的技術(shù)成就，然后進入邁克耳孫干涉儀用于自相關(guān)測量的原理學習，弄清楚FTS和OCT的實驗方法，形成利用教學型邁克耳孫干涉儀來探究FTS和OCT的實驗方案；最后是教學要求，明確教與學兩方面有效配合的具體方式. 文中插入了一些“思考與練習”的題目，旨在以問題為導向來加深學生對相關(guān)內(nèi)容的具體理解.

1 邁克耳孫干涉儀的基礎(chǔ)實驗

作為教學儀器，邁克耳孫干涉儀可以用來觀察各種干涉現(xiàn)象[1]，由于入射干涉儀的光波各種各樣，因此可以通過實驗來建立各種干涉類型的物理圖像. 在此基礎(chǔ)上的干涉測量是通過觀察干涉條紋的分布及變化來推算光程差，對微小長度的測量精度一般在光波長的量級上. 由于實驗內(nèi)容要求在教學型的邁克耳孫干涉儀上進行，作為預(yù)備實驗，學生需要首先熟悉邁克耳孫干涉儀的結(jié)構(gòu)和調(diào)節(jié)，以及相關(guān)的基礎(chǔ)實驗.

1.1 儀器結(jié)構(gòu)與調(diào)節(jié)

物理實驗教學普遍使用圖2所示的邁克耳孫干涉儀，相較于圖1，圖2中的分束鏡和補償鏡平行且與反射鏡M1移動的導軌方向成45°角，反射鏡M1和M2的背面均有調(diào)節(jié)其反射面取向的調(diào)節(jié)螺釘，并且反射鏡M2的精細調(diào)節(jié)可以通過擰動垂直和水平方向拉桿上的螺釘來實現(xiàn). 3個地腳螺釘調(diào)節(jié)導軌平面與實驗臺面平行.

轉(zhuǎn)動大轉(zhuǎn)輪帶動轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸拖動反射鏡M1的基座在導軌上平移. 反射鏡M1移動的距離可由干涉儀側(cè)面1 mm精度的直尺以及讀數(shù)窗里0.01 mm 精度的刻度轉(zhuǎn)盤和0.000 1 mm精度的微調(diào)轉(zhuǎn)輪共同確定. 如果僅單向轉(zhuǎn)動微調(diào)轉(zhuǎn)輪來移動反射鏡M1，反射鏡M1移動的距離是上述3個讀數(shù)之和，其精度可達0.000 1 mm,估讀到0.000 01 mm，即0.01 μm，因此可以進行可見光范圍(波長0.4～0.7 μm)的光波干涉測量. 由于從轉(zhuǎn)輪到反射鏡有多個環(huán)節(jié)的機械轉(zhuǎn)換配合，使用時不可避免地存在較大的回程差. 單向轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)輪是消除回程差的基本方法.

圖2 教學型邁克耳孫干涉儀

實驗開始前，需對干涉儀進行基本調(diào)節(jié)，然后再依據(jù)實驗內(nèi)容，在實驗臺上圍繞干涉儀搭建光源入射光路和干涉圖樣觀察光路. 干涉儀的調(diào)節(jié)基準是通過調(diào)節(jié)3個地腳螺釘使承載反射鏡M1平移的導軌平面平行于實驗臺面，并用水準儀檢驗. 后續(xù)調(diào)節(jié)的基本目標是使反射鏡M1和M2的反射面分別垂直于導軌平面，M1反射面的法線平行于M1的平移方向，M2反射面的法線垂直于M1的平移方向，從而使M1和M2分別與分束鏡的反射面構(gòu)成45°角. 實現(xiàn)該調(diào)節(jié)目標的有效方法是：激光入射干涉儀，交替調(diào)節(jié)干涉儀的2個反射鏡和激光器位置，使投射在反射鏡中心的光斑能原路返回到激光器的出光口，即自準直方法.

思考與練習1：

1)邁克耳孫干涉儀實現(xiàn)的是分振幅干涉，分束鏡面上鍍有的半透半反介質(zhì)膜是為了獲得最大干涉條紋對比度嗎？

2)補償鏡是與分束鏡同材質(zhì)、同厚度、同平行度和同平整度的平板玻璃. 試說明補償鏡在什么情況下起作用？補償鏡補償?shù)氖鞘裁?？這種補償效應(yīng)是如何體現(xiàn)在干涉條紋上的？

3)轉(zhuǎn)動大轉(zhuǎn)輪和微調(diào)轉(zhuǎn)輪，觀察反射鏡M1的移動，檢查毫米直尺、大轉(zhuǎn)輪、微調(diào)轉(zhuǎn)輪的示數(shù)，估算回程差的大小，并說明回程差產(chǎn)生的原因.

4)轉(zhuǎn)動大轉(zhuǎn)輪時，微調(diào)轉(zhuǎn)輪會跟著轉(zhuǎn)動；轉(zhuǎn)動微調(diào)轉(zhuǎn)輪時，大轉(zhuǎn)輪不會隨之轉(zhuǎn)動，分析其中的機械構(gòu)造和原理.

1.2 點光源照明的非定域干涉

由2個相干光源出射的光波在空間相遇，若光程差不超過其相干長度，就會在相遇處干涉，形成干涉條紋，該現(xiàn)象是典型的非定域干涉. 觀察點光源干涉圖樣的光路示意圖如圖3所示，反射鏡M1和M2垂直，氦氖激光經(jīng)會聚透鏡產(chǎn)生點光源，形成的準球面波入射干涉儀，這樣眼睛在觀察屏位置迎著光線看過去就會觀察到2個虛的點光源. 當2個虛點光源的連線與觀察屏垂直時，在觀察屏上可觀察到同心圓環(huán)形狀的干涉圖樣. 通過平移反射鏡M1增大光程差時，可觀察到圓環(huán)條紋從中心不斷吐出；減小光程差時，可觀察到圓環(huán)條紋在中心不斷被吞入. 微調(diào)反射鏡M2，使其相對于反射鏡M1的夾角偏離90°，移動反射鏡M1的位置，還可以在觀察屏上觀察到橢圓條紋、雙曲或者直條紋等.

圖3 觀察點光源干涉圖樣的光路示意圖

思考與練習2：

1)如果2個相干點光源各自發(fā)出理想球面光波，試描繪其非定域干涉在空間形成的干涉圖樣，并且根據(jù)光程差為波長的整數(shù)倍標出等光強面的級次.

2)仔細調(diào)節(jié)干涉儀，并將點光源放置在適當位置，直到觀察到圖4所示的干涉圖樣，畫出形成每個干涉圖樣的等效干涉光路示意圖.

3)利用產(chǎn)生同心圓環(huán)干涉圖樣的光路測量氦氖激光的波長. 如果條紋吞吐的判斷誤差不超過0.4個條紋，那么至少應(yīng)將反射鏡M1移動多少距離才能使測得波長的相對誤差不超過0.1%？

4)在圖3中放置會聚透鏡，用準直光波入射干涉儀，在保持反射鏡M1和M2垂直的條件下移動M1，觀測觀察屏上光強的變化情況，并用光探測器采集數(shù)據(jù). 思考：如何利用采集到的光強數(shù)據(jù)精確校準由干涉儀刻度示數(shù)給出的反射鏡M1的位移？

圖4 非定域干涉的典型干涉圖樣

1.3 擴展光源照明的定域干涉

在激光聚焦成的點光源S前放置毛玻璃，如圖5所示. 點光源發(fā)出的光束經(jīng)毛玻璃直接入射到干涉儀，粗糙毛玻璃上的每個顆粒散射出具有隨機相位的子波，被照明區(qū)域的散射光形成具有隨機相位的擴展光源，這時觀察屏上有光照但沒有任何干涉圖樣. 拿走觀察屏后，眼睛逆著光照的方向看過去，可觀察到同心圓環(huán)狀的干涉圖樣，并且毛玻璃離點光源S越遠，即距離干涉儀越近，擴展光源的面積越大，干涉圖樣越清晰. 當反射鏡M1和M2垂直時，眼睛左右、上下小幅度移動著觀察，圓環(huán)圖樣不發(fā)生吞吐現(xiàn)象，即為通常所說的等傾干涉. 放置會聚透鏡于觀察屏位置，可在透鏡后焦面上接收到同心圓環(huán)圖樣. 因此，等傾干涉圖樣定域在M1之后的無窮遠處. 微調(diào)反射鏡M2，使其相對于反射鏡M1的夾角偏離90°，連續(xù)移動M1，在此過程中可觀察到干涉圖樣由圓環(huán)條紋變成彎曲條紋再變成直條紋. 用會聚透鏡對觀察到的直條紋成像，由物像關(guān)系可以確定直條紋定域在反射鏡M1處. 進一步分析可知，直條紋是反射鏡M1和M2的虛像交匯所成對稱劈尖的等厚干涉條紋. 等傾干涉和等厚干涉均是擴展光源照明的結(jié)果，由于光源擴展，導致形成干涉圖樣的條件更為苛刻，即干涉圖樣只能出現(xiàn)在特定的區(qū)域，故將引起該現(xiàn)象的干涉稱之為定域干涉.

圖5 觀察擴展光源干涉圖樣的光路示意圖

普通光源如白熾燈、鈉燈、汞燈等都是擴展光源，用其發(fā)出的光直接入射干涉儀也可以實現(xiàn)等傾和等厚的定域干涉. 加上毛玻璃散射，光源的擴展性會增強，干涉圖樣的亮度會變得均勻且對比度也會提高. 在圖5所示的干涉光路中，如果用汞燈、鈉燈取代激光并經(jīng)濾光片濾光，以準單色光照射毛玻璃，也可通過干涉儀實現(xiàn)等傾干涉和等厚干涉. 如果用白光照射，可以看到白光等厚干涉的彩色直條紋，而白光的等傾干涉常因反射鏡面的微弱起伏呈現(xiàn)彎曲的干涉圖樣. 由于普通光源不像激光那樣容易聚焦成點光源，其干涉測量多用于擴展照明的等傾和等厚干涉.

思考與練習3：

1)對比圖3和圖5所示的激光干涉等效光路，圖3是點光源照明的非定域干涉，圖5是擴展光源照明的定域干涉，光路上的差別僅僅在于圖5所示光路多了1塊具有散射光作用的毛玻璃. 保持反射鏡M1與反射鏡M2垂直，觀察2種干涉的圓環(huán)圖樣隨光程差改變有無差異，并解釋其中的物理機制. 微調(diào)反射鏡M2，使其相對于反射鏡M1的夾角偏離90°時，觀察2種干涉圖樣隨光程差改變的情況，并解釋其原因.

2)白光如白熾燈，由連續(xù)寬譜的光頻成分構(gòu)成波包，波包的空間長度(即相干長度)很短，僅為1～2 μm,因此白光的干涉條紋只會出現(xiàn)在光程差為μm量級的干涉圖樣里. 由于光程差非常短，因此白光干涉常被用于確定干涉儀零光程差時反射鏡M1的位置. 請嘗試調(diào)出白光的等厚和等傾干涉條紋，確定從2個相反方向移動反射鏡M1達到零光程差的位置讀數(shù).

3)按圖6所示光路，先用白光定域干涉方法調(diào)整干涉儀的兩臂，使其等光程，且2個反射鏡面垂直，然后在反射鏡M1前平行放置厚度為d的平面玻璃板，并改用氦氖激光照明，觀察玻璃板后出現(xiàn)的干涉圖樣，以及移動M1時干涉圖樣的變化，給出測量玻璃板介質(zhì)對氦氖激光波長(633 nm)折射率的實驗方法，并嘗試用此方法測量玻璃板對鈉光燈、低壓汞燈中各譜線的折射率.

圖6 測量平板玻璃折射率的光路示意圖

2 邁克耳孫干涉儀的發(fā)明及在引力波測量上的應(yīng)用

從100多年前的邁克耳孫-莫雷實驗到現(xiàn)今的引力波探測，邁克耳孫干涉儀的實驗成就支撐著狹義相對論和廣義相對論的科學發(fā)現(xiàn). 從應(yīng)用的角度來看，其基本原理如圖1所示，即用單色準直光波入射邁克耳孫干涉儀，測量干涉場光強微弱變化對應(yīng)的微小長度.

2.1 邁克耳孫-莫雷實驗

19世紀末的物理學家普遍接受光的電磁波動學說，但卻認為光波應(yīng)像機械波那樣在介質(zhì)中傳播，猜測這種介質(zhì)看不見摸不著但應(yīng)靜止地充滿整個空間，并把該介質(zhì)稱為“以太”(Ether). 設(shè)想光波在靜止的以太參照系中以速度c傳播,那么按照經(jīng)典力學的相對運動原理，在運動的地球表面坐標系上，實際觀測到的應(yīng)是光波的相對速度c′，且該速度應(yīng)與光波在地表的傳播方向有關(guān). 邁克耳孫-莫雷實驗[2]的初衷是測量光波在以太介質(zhì)中的絕對速度，所用的實驗裝置為邁克耳孫干涉儀，如圖7(a)所示：各種光學元件安裝在1塊浮在水銀上且可平穩(wěn)轉(zhuǎn)動的沉重石板上. 調(diào)整好的光路如圖7(b)所示：光源a(鈉光燈)發(fā)出的光波被分束鏡b分成正交出射的透射光束和反射光束，透射光束經(jīng)補償鏡c和反射鏡d到達反射鏡e，然后原路返回到分束鏡；反射光束經(jīng)反射鏡d1到達反射鏡e1，然后原路返回到分束鏡，返回的2束光在分束鏡處合成1束光進入望遠鏡f. 如果按反射成像原理將鏡子的反射光路展開，得到的結(jié)果與圖1描述的光路完全一致，多個反射鏡的作用僅在于分別加大干涉儀兩臂的長度.

(a)實驗裝置

(5)

2.2 LIGO的邁克耳孫干涉儀

1916年，即廣義相對論場方程形成的第2年，愛因斯坦預(yù)言了引力波的存在，他發(fā)現(xiàn)線性化的弱場方程具有波動解：由震源質(zhì)量四極矩的時間變化產(chǎn)生以光速傳播的空間應(yīng)變橫波，即引力波，只是引力波的振幅會非常小. 同年，施瓦茲希爾德(Schwarzschild)發(fā)表了場方程的黑洞解. 1963年，科爾(Kerr)將黑洞解推廣到旋轉(zhuǎn)黑洞. 此后的理論研究形成了二元黑洞合并的模型和引力波的精確預(yù)測.

探測引力波的實驗始于20世紀60年代的共振質(zhì)量探測器. 干涉型探測器最早是在20世紀60年代初到70年代被提出，進入21世紀后，建造的各種干涉型探測器形成了全球網(wǎng)絡(luò). 2015年，LIGO成為首臺開始觀測的干涉型探測器，并首次直接觀測到瞬態(tài)引力波信號，該信號在35～250 Hz的頻率范圍內(nèi)向上掃描，峰值引力波應(yīng)變?yōu)?.0×10-21，其與廣義相對論預(yù)測的1對黑洞的激發(fā)、合并以及由此產(chǎn)生單個黑洞的衰減振蕩波形相匹配，證實了高擾動黑洞非線性動力學的廣義相對論.

由胡克定律的相關(guān)實驗可知，材料的應(yīng)變定義為ε=δL/L，是一維情況下長度L的相對改變量.同理，引力波應(yīng)變是時空漣漪引起空間幾何上的相對改變.在引力波經(jīng)過干涉儀的過程中，空間在某方向上收縮伴隨與其垂直方向上延伸，反之亦然.由ε=1.0×10-21可知，要想如同邁克耳孫-莫雷實驗預(yù)期測得0.4個條紋的變化，用邁克耳孫干涉儀測量引力波的臂長需長達109km，該長度超過了地球到太陽的距離(1.5×108km)，顯然無法做到.

圖8是LIGO的邁克耳孫干涉儀的示意圖，從其直觀構(gòu)造來看，值得引人關(guān)注的是：

1)正交的兩臂各包含1個長為L=4 km的法布里-珀羅腔，二者在引力波中的腔長分別為Lx和Ly. 準直入射的Nd∶YAG激光(波長為1 064 nm)在腔中經(jīng)過b=300次反射后，形成的光程差為z=2b(Lx-Ly).

2)輸入端的功率回收鏡在整個干涉儀中提供了額外的激光共振增強，使得20 W的激光輸入增加到700 W，再入射到分束器.

圖8 LIGO邁克耳孫干涉儀實驗裝置示意圖[3]

(6)

(7)

(8)

令式(7)和式(8)相等，可以得到可測的最小空間應(yīng)變?yōu)?/p>

(9)

(10)

3 基于邁克耳孫干涉儀的傅里葉變換光譜檢測

與廣泛應(yīng)用于可見光波段光譜檢測的光柵光譜儀相比，傅里葉變換光譜儀廣泛應(yīng)用于紅外，特別是中遠紅外波段光譜的檢測，這是因為在中遠紅外波段，傅里葉變換光譜儀的光譜分辨率更高，光譜探測范圍更大，并且技術(shù)上也更容易實現(xiàn)[2]. 在可見光波段，采用大面積全息光柵分光和大規(guī)模陣列光電探測器攝譜，使得光柵光譜儀因其快捷高效和高分辨而被廣泛應(yīng)用. 也正是因為涉及的高科技元素，光柵光譜儀具有技術(shù)復雜性和高成本的特點. 相比之下，傅里葉變換光譜儀的結(jié)構(gòu)簡單，在原理上就是帶有計算機數(shù)據(jù)采集和處理的邁克耳孫干涉儀[5]. 將傅里葉變換光譜儀在中遠紅外波段的優(yōu)勢引入到可見光波段，是值得關(guān)注的課題.

3.1 基本原理

如圖9所示的邁克耳孫干涉儀光路，準直光波入射，出射干涉光波經(jīng)會聚透鏡聚焦在光電探測器上，探測器接收到的光強存入電腦并在其屏幕上顯示.

圖9 傅里葉變換光譜測量的原理光路

入射的準直光波是所含各種頻率平面光波的線性疊加，其電場可以表示為

(11)

(12)

(13)

因此得到

(14)

(15)

由式(14)可知，Re [γ(z)]是以歸一化光譜強度為權(quán)重的所有余弦函數(shù)的線性疊加.由于僅在z=0處，不同周期的余弦函數(shù)才會同相位疊加，因此Re [γ(z)]僅在z=0附近區(qū)域不為零.基于光波自相關(guān)函數(shù)的定義，該不為零區(qū)域有效寬度的一半為光波波包的長度，即相干長度.

(16)

式(16)表明，可以通過實驗測量I(z)得到波包長度，亦即光波的相干長度.對式(14)和式(16)分別做傅里葉變換，得到

(17)

思考與練習4：

1)考慮氦氖激光(λ0=633 nm)準直入射邁克耳孫干涉儀，設(shè)定|A(k)|2=δ(k-k0),求Re [γ(z)].

2)考慮低壓汞燈黃光(雙線：λ1=576.96 nm，λ2=579.07 nm)準直入射邁克耳孫干涉儀，設(shè)定|A(k)|2=δ(k-k1)+δ(k-k2)，求Re [γ(z)],并作圖說明其特征.

3.2 實驗技術(shù)

圖10 傅里葉變換光譜測量的應(yīng)用光路

在教學型邁克耳孫干涉儀上進行上述測量的優(yōu)化方法所對應(yīng)的光路示意圖如圖10所示，構(gòu)造入射光模塊和接收光模塊，與干涉儀組合，搭建成傅里葉變換光譜系統(tǒng). 激光和待測光波聚焦到各自的入射孔，2個探測器經(jīng)A/D模數(shù)轉(zhuǎn)換電路接到計算機. 用電機驅(qū)動或者用手轉(zhuǎn)動干涉儀上的轉(zhuǎn)輪，通過計算機記錄Ic(z)和I(z)的序列數(shù)據(jù).最后，利用Ic(z)的測量數(shù)據(jù)反推光程差z，即可完成實驗的測量部分.

思考練習5：

1)寫出利用Ic(z)的測量數(shù)據(jù)反推Ic(z)和I(z)共同對應(yīng)光程差z的具體算法.能否在數(shù)據(jù)采集過程中實時完成該算法？

2)在采集數(shù)據(jù)的過程中保持反射鏡M1的單方向平移很重要，想想這是為什么？

3)嘗試按圖10所示的光路搭建實驗系統(tǒng)，測量白光、低壓汞燈、高壓汞燈的干涉光強數(shù)據(jù)，并確定每個干涉光強數(shù)據(jù)所對應(yīng)的光程差.

3.3 計算方法

式(17)定義的傅里葉變換需要轉(zhuǎn)換成離散求和的形式來進行，這里涉及到2個基本問題：a.如何用有限數(shù)量的離散函數(shù)值表征無限個連續(xù)函數(shù)值所包含的信息；b.如何高效計算大量數(shù)據(jù)求和的離散傅里葉變換. 前者要滿足抽樣定理的要求，后者要靠快速傅里葉變換[6]來完成. 為了方便且不失一般性，考慮如下形式傅里葉變換的離散化問題

(18)

(19)

(a)原函數(shù)f(x)圖像

(a)

(20)

(21)

其中m，n=0, 1, …,N-1. 式(20)～(21)即為離散傅里葉變換的求和形式. 由于用于傅里葉變換的數(shù)據(jù)量通常很大，直接求和的計算效率太低，因此一般采用快速傅里葉變換，即FFT. 在數(shù)據(jù)處理的編程過程中，只需掌握調(diào)用FFT函數(shù)的方法即可，不必了解其具體的算法.

思考與練習6：

1)考慮高壓汞燈黃光雙線(雙線：λ1=576.96 nm，λ2=579.07 nm)的傅里葉變換光譜測量，確定光強測量數(shù)據(jù)所對應(yīng)光程差的最小值和采樣間隔的最大值.

3)光強測量數(shù)據(jù)的白噪聲會如何影響光譜測量的最小分辨？周期性的相位和振幅噪聲會給光譜測量帶來什么影響？

4 基于邁克耳孫干涉儀的光學相干層析成像

寬譜光源發(fā)出光波的相干長度很小，例如白光的相干長度只有幾μm，這類光源稱為低相干光源，其光波的干涉稱為低相干干涉. 利用邁克耳孫干涉儀實現(xiàn)低相干干涉，只能在很小的光程差范圍內(nèi)看到干涉圖樣. 如圖13所示，將邁克耳孫干涉儀的反射鏡M2換成待測樣品M2′，則來自樣品不同深度層面的反射光波分別與來自反射鏡M1的光波干涉，得到樣品不同深度層面的干涉信號. 基于該思想，原位實時探測生命活體組織結(jié)構(gòu)技術(shù)即光學相干層析(OCT)斷面成像技術(shù)于上世紀八九十年代得到了較大發(fā)展[7]. 結(jié)合光纖、電子及計算機等高新技術(shù)，OCT已成為用于眼科檢查和內(nèi)窺鏡原位活檢的高端儀器. 作為教學實驗，近年來出現(xiàn)了一些初步的探索性工作[8-10]，但在層析成像的水平上還有諸多工作要做. 本文圍繞自由空間的邁克耳孫干涉儀，論述OCT層析成像的物理機制和基本實驗方法，引導學生探究層析成像的理論與技術(shù)問題.

圖13 自由空間光學相干層析原理光路

4.1 時域光學相干層析

時域光學相干層析是指在圖13所示光路中，通過移動反射鏡M1使其反射光波與樣品M2′不同深度界面反射的物光發(fā)生低相干干涉，通過測量在探測器上的干涉光強隨光程差改變的序列信號來解析樣品各個層面的位置及其振幅反射率.

(22)

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

思考與練習7：

3)如由題1)所述的低相干光波入射，以Re [γ(z)]的半高全寬為最小分辨尺寸，試利用式(26)討論可以分辨的待測物層間距.

4.2 頻域光學相干層析

在圖13所示的光路中，頻域光學相干層析與時域光學相干層析不同的是反射鏡M1保持在確定的位置不動，用光譜儀取代光探測器來接收干涉的光強信號.

如圖14所示，把式(23)表示的準直光波聚焦到光柵光譜儀的入射狹縫，經(jīng)譜儀內(nèi)部的凹面反射鏡再換成準直光波，并且以入射面與光柵柵線垂直的方式斜入射到光柵上.光柵以反射的方式將入射的準直光波按波長衍射成不同方向的單色準直光波，隨后的另一凹面反射鏡將不同方向的單色準直光波聚焦到譜儀的譜面上，并用放置在譜面上的探測器接收光譜的光強.

圖14 光柵光譜儀的光學傅里葉變換原理光路

根據(jù)夫瑯禾費衍射，譜面上的光場可表示為光柵表面反射光場的光學傅里葉變換.取光柵平面的法線為Z軸,光柵柵線方向為Y軸，則垂直于光柵柵線方向為X軸，XZ平面為準直光波的入射面.以θ角入射的準直光波在光柵面(x,y)光場的每個波矢k分量均增加相位因子eikxsin θ.因此，由式(23)得到投射在光柵上的光場為

(27)

(28)

其中，f為聚焦凹面鏡的焦距.設(shè)光柵的矩形衍射區(qū)域的長和寬分別為2Lx和2Ly，在照明區(qū)域H(x,y)=1，其他區(qū)域為零.光柵的振幅反射率是關(guān)于x的周期性函數(shù)，展成傅里葉級數(shù)為

其中k0=1/d，d為光柵常量.這樣可以得到

(29)

其中利用了sincx≈δ(x).由于通常的光柵光譜儀只采集1級光譜，因此譜面上的光強為

(30)

(31)

(32)

思考與練習8：

2)如果待測物是思考與練習7題2)中的玻璃片，試給出式(32)所示的待測物信息分布.如果是若干個這樣的玻璃片疊在一起，分析式(32)所示的待測物信息分布.

4.3 光學相干層析的實驗方法

由于實際待測樣品的復雜性，層狀反射的分析僅在樣品縱深方向周圍微小區(qū)域近似成立，因此，實際的光學相干層析測量需要使用顯微物鏡將準直光聚焦到樣品表面. 然而，聚焦的結(jié)果導致層狀反射的分析局限在物鏡景深的范圍內(nèi)，并且聚焦點越小，景深范圍也越小. 為了兼顧較大的層析深度，OCT一般采用數(shù)值孔徑較小的物鏡. 當物鏡將光波聚焦到樣品上一點時，可以通過時域或頻域OCT的數(shù)據(jù)采集，得到該點在縱深方向上成像的樣品信息，即“A-掃描”. 要獲得樣品的三維成像信息，還需要進行“B-掃描”，即在橫向的二維區(qū)域逐點進行A-掃描. 時域OCT的A-掃描是通過移動反射鏡M1來實現(xiàn)的，而頻域OCT只需要將反射鏡M1設(shè)置在固定的位置，僅做B-掃描即可，A-掃描的信息從光譜儀采集的光譜數(shù)據(jù)中提取. 這樣，頻域OCT比時域OCT的效率更高，應(yīng)用也更為廣泛.

圖15所示為基于教學型邁克耳孫干涉儀的OCT實驗原理光路. 值得注意的是，物鏡對平行光束的聚焦實際上是將平行光變換為以聚焦點為束腰的高斯光束，束腰的尺寸對應(yīng)于聚焦點的大小，能夠決定OCT成像的橫向分辨. 按照高斯光束的理論，束腰截面上各點的波矢平行，離開束腰截面朝兩邊各移動zR=πω02/λ的距離,其間的波矢與束腰上的波矢近似平行，因此OCT探測的成像深度為2zR. 顯然，數(shù)值孔徑大的物鏡引起束腰小的高斯光束，導致淺的成像深度，而選擇短的照明光波可以擴大層析深度.

由式(26)和式(32)已經(jīng)知道，OCT在深度方向上的最小分辨尺度僅取決于光源的自相關(guān)函數(shù)γ(z)的半高全寬(FWHM)，亦即取決于光源的譜強度分布函數(shù)|A(k)|2.選用寬譜的低相干光源，使得γ(z)的半高全寬遠小于成像深度，是發(fā)展OCT成像技術(shù)的基本方面.

圖15 自由空間光學相干層析的測量原理光路

思考與練習9：

1)利用圖15所示的光路，嘗試分別用時域和頻域的光學干涉層析成像方法，實現(xiàn)思考與練習8中題2)所述問題的實驗測量.

5 教學要求

5.1 實驗內(nèi)容

利用實驗室配備的實驗裝置：教學型邁克耳孫干涉儀、光源、光探測器、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、光譜儀、光學鏡片、層狀樣品等，選做下面2個內(nèi)容中的1個：

1)搭建傅里葉變換光譜采集系統(tǒng)，完成對鹵素燈、高壓汞燈及低壓汞燈的自相關(guān)函數(shù)檢測，并通過快速傅里葉變換完成各光源發(fā)光譜的計算.

2)搭建光學相干層析實驗系統(tǒng)，用蓋玻片制備層狀樣品，用鹵素燈為低相干光源，完成對自制層狀樣品斷面的時域和頻域OCT檢測，并進一步探討OCT斷面成像的理論與技術(shù)問題.

5.2 面談討論

關(guān)于搭建傅里葉變換光譜檢測裝置的問題：

1)實驗者分別展示測得激光與鹵素燈準直光，以及激光與高壓汞燈準直光經(jīng)過干涉儀出射的2對并行干涉光強曲線，討論實驗中可能存在的問題.

2)實驗者展示對測得光強數(shù)據(jù)做離散傅里葉變換的結(jié)果，分析反射鏡M1的非勻速移動對光譜測量的影響，討論利用激光的干涉光強特征，校準反射鏡M1非線性移動的數(shù)據(jù)處理方法.

3)實驗者展示用氦氖激光的干涉光強對反射鏡移動做線性化校準后，鹵素燈和高壓汞燈的干涉光強數(shù)據(jù)和離散傅里葉變換后的結(jié)果，討論自組傅里葉變換光譜儀的光譜分辨能力、影響因素及改進措施.

關(guān)于搭建光學干涉層析成像裝置的問題：

1)實驗者展示測得激光與鹵素燈光經(jīng)過干涉儀出射的并行干涉光強曲線、鹵素燈的自相關(guān)函數(shù)曲線和用光譜儀測得鹵素燈的光譜分布，討論實驗中可能存在的問題.

2)實驗者展示測得自制層狀樣品的單點時域和頻域OCT干涉曲線(A-掃描)，分析樣品各層的位置及振幅反射率，討論干涉信號的強度和信噪比問題.

3)實驗者展示測得自制層狀樣品在1條線上多個單點的時域和頻域OCT干涉曲線和綜合各點信息構(gòu)建的斷面像，討論在A-掃描基礎(chǔ)上進行B-掃描的技術(shù)問題及斷面像構(gòu)建的算法問題.

5.3 口頭報告和論文報告

關(guān)于口頭報告和論文報告，建議在以下方面做深入或擴展研究：

1)依據(jù)實驗數(shù)據(jù)，探討光譜測量精度、光譜分辨能力及信噪比等問題.

2)直接在自組傅里葉變換光譜儀的光路上加吸收樣品，研究樣品的吸收問題.

3)自制層狀樣品，探討OCT測量和斷面成像的理論與技術(shù)問題.

6 結(jié)束語

邁克耳孫干涉儀是大學物理實驗或普通物理實驗課程普遍開設(shè)的實驗項目，其實驗?zāi)康臑橐龑W生在掌握儀器調(diào)節(jié)的基礎(chǔ)上，觀察和探究各種光的干涉現(xiàn)象，學習和體驗干涉計量的技術(shù)和方法. 在此基礎(chǔ)上，開設(shè)“邁克耳孫干涉儀與光學自相關(guān)測量”的綜合實驗，將邁克耳孫干涉儀的原理深化到光學自相關(guān)測量，以此引導學生探究邁克耳孫干涉儀的原理在前沿科技的應(yīng)用，在更高的層次和更廣的領(lǐng)域?qū)⒒A(chǔ)物理實驗同前沿科技相聯(lián)系，開展科研模式的專題研究. 長期以來，我校堅持以科研引領(lǐng)實驗教學的理念，推動物理實驗的教學改革和團隊建設(shè)，探索研究型物理實驗教學的課程模式，形成了“基礎(chǔ)”與“創(chuàng)新”協(xié)同發(fā)展的基礎(chǔ)物理實驗課程體系[12-13]. 其中“綜合物理實驗”課程開設(shè)了一系列專題性的實驗項目，激勵學生以科研模式開展自主、開放、綜合的實驗研究. “邁克耳孫干涉儀與光學自相關(guān)測量”是該系列專題研究項目之一. 本文梳理了基于邁克耳孫干涉儀原理的若干重要的光學自相關(guān)測量問題，僅作為展開綜合實驗的背景材料，供學生參考.