第22屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽實(shí)驗(yàn)試題1的介紹與解答

惠王偉，王 槿，劉麗颯，宋 峰，孔勇發(fā)

(南開(kāi)大學(xué) a.物理科學(xué)學(xué)院；b.基礎(chǔ)物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300071)

第22屆亞洲物理奧林匹克競(jìng)賽(Asian Physics Olympiad, APhO)于2022年5月23日至31日由印度物理教師協(xié)會(huì)(Indian Association of Physics Teachers，IAPT)與印度德拉敦(Dehradun)的Graphic Era Hill大學(xué)共同組織，共有27個(gè)國(guó)家和地區(qū)的代表隊(duì)參賽. 競(jìng)賽采用線上虛擬仿真形式，共有2個(gè)實(shí)驗(yàn)題目，每個(gè)題目10分. 其中試題1為磁學(xué)黑盒子(Magnetic black box)[1]，內(nèi)容為利用智能手機(jī)傳感器研究磁鐵在無(wú)磁性空心管中的運(yùn)動(dòng)及空心管的材料. 本文將介紹實(shí)驗(yàn)試題1的內(nèi)容，并給出詳細(xì)解答.

1 試題介紹

智能手機(jī)使用基于霍爾效應(yīng)的磁力計(jì)來(lái)測(cè)量其所在位置的磁場(chǎng),該磁力計(jì)可以測(cè)得磁感應(yīng)強(qiáng)度3個(gè)方向的分量,磁力計(jì)的傳感器集成在手機(jī)的電路板上,不能從手機(jī)外面觀看.

圖1展示了半長(zhǎng)為d且磁矩為M的小條形磁鐵.條形磁鐵軸線方向上的P點(diǎn)和中垂線上的Q點(diǎn)處沿磁鐵軸向的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為Baxial和Bequatorial，具體表達(dá)式為

(1)

(2)

其中，μ0為真空中的磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7N/A2；rP和rQ分別為條形磁鐵中心到測(cè)量點(diǎn)P和Q的距離.在試題中,將磁鐵看成點(diǎn)偶極子(d?rP,rQ).

圖1 條形磁鐵示意圖

在考試入口界面，點(diǎn)擊”EQ1-Magnetic Black Box”(實(shí)驗(yàn)1-磁學(xué)黑盒子)鏈接進(jìn)入實(shí)驗(yàn)考試. 圖2為仿真程序的屏幕截圖，可以看到屏幕中的背景網(wǎng)格，該網(wǎng)格背景是豎直平面內(nèi)實(shí)驗(yàn)裝置所在區(qū)域. 實(shí)驗(yàn)區(qū)域內(nèi)共有4個(gè)物體:智能手機(jī)、藍(lán)(S極)紅色(N極)的磁鐵、深色的具有均勻壁厚的空心管、刻度尺，通過(guò)點(diǎn)擊“SHOW SCALE/HIDE SCALE”(顯示刻度尺/隱藏刻度尺)按鈕將刻度尺顯示或隱藏，背景網(wǎng)格邊長(zhǎng)為1 cm.

圖2 仿真程序的屏幕截圖

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖2中所有物品可以通過(guò)按住并拖動(dòng)鼠標(biāo)進(jìn)行移動(dòng). 智能手機(jī)、刻度尺和磁鐵均可在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)控制滑塊在面板右側(cè)，可通過(guò)拖動(dòng)滑塊來(lái)改變物體的方向. 為了更精細(xì)地控制物體，在點(diǎn)擊滑塊后可通過(guò)鍵盤上的方向鍵來(lái)旋轉(zhuǎn)物體.

智能手機(jī)內(nèi)部的磁力計(jì)可以測(cè)量其所在位置的磁場(chǎng). 磁力計(jì)在手機(jī)內(nèi)部的具體位置并沒(méi)有給出. 面板右側(cè)會(huì)根據(jù)磁力計(jì)的位置顯示Bw和Bl的值(Bw和Bl分別表示手機(jī)探測(cè)到的沿手機(jī)短邊方向和長(zhǎng)邊方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分量)，如圖2所示. 磁感應(yīng)強(qiáng)度分量Bw的正方向向右，磁感應(yīng)強(qiáng)度分量Bl的正方向向下.

1.2 測(cè)量方法

當(dāng)點(diǎn)擊“START MEASUREMENT”(開(kāi)始測(cè)量)時(shí),可以看到Bw和Bl隨時(shí)間變化的曲線. 點(diǎn)擊“RESET GRAPH”(重置圖形)按鈕會(huì)清空?qǐng)D像中所有記錄的數(shù)據(jù),當(dāng)鼠標(biāo)在圖像中的曲線上移動(dòng)時(shí),可以讀出數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)值,可以通過(guò)修改“Graph start time (ti)”(圖形開(kāi)始時(shí)間)和“Graph end time (tf)”(圖形結(jié)束時(shí)間)輸入框中的時(shí)間值來(lái)放大圖像中的某一部分.

如果手機(jī)暴露于強(qiáng)磁場(chǎng)中,有可能會(huì)被損壞. 為了避免此情況,若手機(jī)測(cè)量到的磁感應(yīng)強(qiáng)度超過(guò)6 500 μT,將停止測(cè)量,并且面板右側(cè)會(huì)顯示警告“Maximum Magnetic field exceeded”(超過(guò)最大磁感應(yīng)強(qiáng)度),當(dāng)磁鐵離手機(jī)足夠遠(yuǎn)時(shí),將恢復(fù)測(cè)量.

將鼠標(biāo)移到畫布上點(diǎn)擊任意位置,通過(guò)鍵盤上的上、下、左、右方向鍵可移動(dòng)磁鐵,對(duì)磁鐵更精細(xì)/粗略的移動(dòng)可以通過(guò)點(diǎn)擊“2X FINER MAGNET MOVEMENT/2X COARSER MAGNET MOVEMENT”(磁鐵2倍精細(xì)移動(dòng)/磁鐵2倍粗略移動(dòng))按鈕實(shí)現(xiàn),每點(diǎn)擊1次上述按鈕,移動(dòng)的精細(xì)/粗略程度會(huì)變成原來(lái)的2倍. 重力方向豎直向下,朝向屏幕底端,畫布底端的紅線表示地面. 實(shí)驗(yàn)中僅考慮屏幕中所顯示的物體,關(guān)于管子的更多信息將在B部分給出. 磁鐵放置于屏幕中任意位置后均會(huì)保持靜止,點(diǎn)擊“DROP”(下落)按鈕會(huì)釋放磁鐵使其開(kāi)始下落. 注意：僅在點(diǎn)擊“START MEASUREMENT”(開(kāi)始測(cè)量)按鈕后，再進(jìn)行上述操作,磁鐵才可以被釋放；點(diǎn)擊“RESET POSITION” (重置位置)按鈕會(huì)使磁鐵回到掉落前的位置；如果需要,可以將物體移動(dòng)到畫布之外.

在本實(shí)驗(yàn)中，將磁鐵視為點(diǎn)偶極子. 本題中無(wú)需計(jì)算誤差.

1.3 A部分

A.1 通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量出手機(jī)中磁力計(jì)的位置. 答題卡上的手機(jī)示意圖中有更精細(xì)的小網(wǎng)格，小網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為2 mm. 在手機(jī)示意圖上畫“?”來(lái)表示磁力計(jì)的位置. (1.0分)

A.2 畫出合適的線性圖，并通過(guò)線性圖得出磁鐵的磁矩大小. 在表格中記錄所用方法的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù). (2.3分)

1.4 B部分

在仿真程序屏幕上給出了空心且無(wú)磁性的管子,管子豎直放置,管壁厚度有限且均勻,為使磁鐵落入管中,磁鐵需被正確放置在管的中心軸線上,按下“DROP”(下落)按鈕，磁鐵在豎直平面被釋放,無(wú)法觀察管內(nèi)磁鐵的運(yùn)動(dòng),實(shí)驗(yàn)假設(shè)磁鐵在管中下落時(shí)不傾斜也不旋轉(zhuǎn). 管子由3部分組成:一段的材質(zhì)是木頭(W);另一段的材質(zhì)是鋁(Al),電導(dǎo)率為3.77×107Ω-1·m-1;還有一段的材質(zhì)是銅(Cu),電導(dǎo)率為5.96×107Ω-1·m-1,這3個(gè)分段不一定按照上述順序排列,假設(shè)磁鐵被豎直釋放時(shí)(沿y軸向下),磁鐵下降的動(dòng)力學(xué)方程為

(3)

其中，m為磁鐵的質(zhì)量,g為重力加速度(本題取g=9.8 m/s2),k為由管道中產(chǎn)生的渦旋電流導(dǎo)致的阻尼系數(shù)，木、鋁和銅的阻尼系數(shù)分別為0，kAl和kCu.按照以下步驟使磁鐵在管道中下落：

1)把手機(jī)、磁鐵和管子放在合適位置;

2)點(diǎn)擊“START MEASUREMENT”(開(kāi)始測(cè)量)按鈕;

3)點(diǎn)擊“DROP”(下落)按鈕.

磁力傳感器無(wú)法測(cè)量管道中因渦旋電流產(chǎn)生的微小磁場(chǎng). 當(dāng)磁鐵在管道中下落時(shí),屏幕上可以看到Bw和Bl隨時(shí)間變化的函數(shù)曲線.

B.1 根據(jù)屏幕上顯示的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的函數(shù)曲線,確定管道的3個(gè)不同材質(zhì)分段的順序,在表格中標(biāo)出各分段對(duì)應(yīng)的順序編號(hào)(序號(hào)順序從上到下:1表示頂部的分段,2表示中間的分段,3表示底部的分段). (0.3分)

B.2 確定磁鐵在鋁管中的最終速度,并根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制出線性擬合圖. 答題卡中已經(jīng)給出與模擬屏中相似的網(wǎng)格圖,在圖中畫出實(shí)驗(yàn)方案中的手機(jī)、管子和磁鐵的具體擺放位置和方向,用長(zhǎng)方形來(lái)表示手機(jī). 將用于畫圖的相關(guān)數(shù)據(jù)填入表中,算出管子中鋁質(zhì)分段的長(zhǎng)度,可以選擇是否使用作圖法測(cè)量管中鋁管部分的長(zhǎng)度,如果使用1幅圖或1組數(shù)據(jù)來(lái)確定長(zhǎng)度,均需使用表格中1列寫出相關(guān)數(shù)據(jù). (2.6分)

B.3 確定磁鐵在銅管中的最終速度,并根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制出線性擬合圖. 確定管中銅管部分的長(zhǎng)度,可以選擇是否使用作圖法對(duì)銅管進(jìn)行測(cè)量,如果使用1幅圖或1組數(shù)據(jù)確定長(zhǎng)度,均需使用表格中1列寫出相關(guān)數(shù)據(jù). (2.2分)

B.4 確定木管部分的長(zhǎng)度,可以選擇是否使用作圖法對(duì)木管進(jìn)行測(cè)量,如果使用1幅圖或1組數(shù)據(jù)確定長(zhǎng)度,均需使用表格中1列寫出相關(guān)數(shù)據(jù). (1.6分)

2 試題解答

A.1 沿著手機(jī)短邊方向和長(zhǎng)邊方向移動(dòng)磁鐵，觀察手機(jī)磁力計(jì)的變化，可以確定手機(jī)中磁力計(jì)的坐標(biāo). 測(cè)量結(jié)果如圖3所示.

A.2 根據(jù)式(1)，可以得到在軸線方向上距離條形磁鐵中心x(x?d)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(4)

圖3 磁力計(jì)的位置

圖4 A.2部分裝置示意圖

表1 A.2部分的測(cè)量數(shù)據(jù)

圖的關(guān)系曲線

求得直線斜率為4.00×10-7N·m2/A,磁矩為2.00 A·m2. 本題中，測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)少于8個(gè)，有效作圖面積小于坐標(biāo)紙的70%，結(jié)果超出要求范圍都會(huì)被扣分.

在B部分中，按照?qǐng)D6所示放置各個(gè)器件. 磁鐵和空心管在手機(jī)磁力計(jì)的正下方，磁鐵與磁力計(jì)的距離為x0.將磁鐵沿管子的軸線釋放，在其下落過(guò)程中，由于渦流阻尼的存在，經(jīng)過(guò)一段短暫的加速運(yùn)動(dòng)后，磁鐵將達(dá)到最終速度.

圖6 B部分裝置示意圖

考慮磁鐵在離磁力計(jì)原點(diǎn)x0處?kù)o止的情況.磁鐵沿著管道的軸線被釋放.在管道的導(dǎo)電段中，由于渦流阻尼的存在，經(jīng)過(guò)短暫的加速，磁鐵很快達(dá)到最終速度.在這種情況下，磁力計(jì)測(cè)得的磁場(chǎng)Bw隨時(shí)間t的變化為

(5)

即

(6)

B.1 按照?qǐng)D6所示裝置示意圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，即將手機(jī)旋轉(zhuǎn)90°，樣品管豎直，獲得磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的函數(shù)曲線如圖7所示，從曲線上可以看到3個(gè)不同的階段(AB，BC，CD). 也可以采用其他的替代方案進(jìn)行測(cè)量，例如手機(jī)長(zhǎng)邊與樣品管平行，測(cè)量沿手機(jī)長(zhǎng)邊的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bl隨時(shí)間的變化.

圖7 Bw-t的關(guān)系曲線

表2 不同材質(zhì)分段順序

表3 鋁管的測(cè)量數(shù)據(jù)

圖8 鋁管的關(guān)系曲線

圖8中曲線的斜率為6 cm/s,所以鋁管中磁鐵的最終速度為6 cm/s. 根據(jù)速度v的變化可以推斷出磁場(chǎng)在0.536 s開(kāi)始變化，所以這是磁鐵開(kāi)始下落的時(shí)間點(diǎn). 磁鐵很快就達(dá)到了最終速度. 速度又在1.040 s時(shí)發(fā)生突變，提示磁鐵此時(shí)移出了鋁管. 所以鋁管的長(zhǎng)度為3.024 cm.

表4 銅管的測(cè)量數(shù)據(jù)

圖9 銅管的關(guān)系曲線

表5 木管的測(cè)量數(shù)據(jù)

圖10 木管的關(guān)系曲線

3 討論與分析

小磁體在磁場(chǎng)中的下落過(guò)程分析是非常有趣的問(wèn)題，在第13屆APhO的理論試題“The drag on a falling magnet”以及基礎(chǔ)物理教學(xué)和實(shí)驗(yàn)中都涉及相關(guān)內(nèi)容. 智能手機(jī)的磁力計(jì)功能使得該實(shí)驗(yàn)得到推廣.

磁場(chǎng)的測(cè)量和磁力靈敏電流計(jì)自2020年春季南開(kāi)大學(xué)開(kāi)設(shè)為居家實(shí)驗(yàn)后，一直在大學(xué)基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)中開(kāi)展教學(xué)[2]. 實(shí)驗(yàn)分為4個(gè)模塊：

1)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，檢驗(yàn)手機(jī)中磁力計(jì)的位置；

2)地磁場(chǎng)合成強(qiáng)度測(cè)量；

3)地磁場(chǎng)分量測(cè)量；

4)探究磁場(chǎng)強(qiáng)度與距離的關(guān)系.

本屆APhO實(shí)驗(yàn)試題1的內(nèi)容設(shè)計(jì)非常接近居家實(shí)驗(yàn)的第1和第4部分. 居家實(shí)驗(yàn)中增加了對(duì)地球磁場(chǎng)的測(cè)量探究. 2019年第50屆國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽實(shí)驗(yàn)試題2為驗(yàn)證維德曼-夫蘭茲定律”[3]，內(nèi)容包括測(cè)量紫銅、黃銅和鋁3種金屬的熱導(dǎo)率和電導(dǎo)率，實(shí)驗(yàn)A部分與本次試題類似. 在2017年IPhO試題”平行偶極線磁勢(shì)阱”實(shí)驗(yàn)中，由于原裝儀器中的特斯拉計(jì)已經(jīng)損壞，中國(guó)隊(duì)選手采用手機(jī)磁力計(jì)進(jìn)行了替代測(cè)量，所以中國(guó)隊(duì)選手對(duì)于本題需要用到的基礎(chǔ)知識(shí)、裝置和方法并不陌生. 目前，仍然可以使用網(wǎng)絡(luò)端訪問(wèn)主辦方的官網(wǎng)進(jìn)行虛擬實(shí)驗(yàn).

中國(guó)隊(duì)選手在本題的最高得分為滿分10分，平均分為9.4分，整體水平位于所有隊(duì)伍前列. 本實(shí)驗(yàn)的評(píng)分點(diǎn)主要集中在解題方法闡述、數(shù)據(jù)測(cè)量、作圖、數(shù)據(jù)擬合和實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 中國(guó)隊(duì)選手失分的主要原因是數(shù)據(jù)測(cè)量出現(xiàn)問(wèn)題，導(dǎo)致個(gè)別選手的計(jì)算結(jié)果超出標(biāo)準(zhǔn)范圍.

本屆APhO的理論試題體現(xiàn)了理論與實(shí)驗(yàn)教學(xué)的高度融合，例如理論試題2“相變的力學(xué)模型(A mechanical model for phase transitions)”與2021年中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽(CUPT)第7題“珠子動(dòng)力學(xué)”模型相似，這充分體現(xiàn)了中國(guó)大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競(jìng)賽、物理奧林匹克競(jìng)賽等學(xué)科競(jìng)賽在物理教育，特別是大中銜接中的巨大潛力.

4 結(jié)束語(yǔ)

本屆APhO雖然采用了線上/虛擬仿真相結(jié)合的方式舉行，但實(shí)驗(yàn)內(nèi)容設(shè)計(jì)上接近于線下的居家實(shí)驗(yàn). 從2020年春季開(kāi)始，南開(kāi)大學(xué)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)團(tuán)隊(duì)一直致力于發(fā)展簡(jiǎn)單可行并可以與基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)相結(jié)合的系列居家實(shí)驗(yàn). 本屆亞賽采用的手機(jī)物理實(shí)驗(yàn)虛擬化，具有新意，為實(shí)驗(yàn)教學(xué)和理論教學(xué)提供了思路，同時(shí)減少了往年對(duì)于儀器的依賴. 可以看到借助于學(xué)科競(jìng)賽中的優(yōu)秀案例，利用居家實(shí)驗(yàn)、虛擬實(shí)驗(yàn)等形式，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)單一理論教學(xué)中物理圖像缺失. 中國(guó)隊(duì)選手目前在各個(gè)國(guó)際物理教育方面的學(xué)科競(jìng)賽均取得了優(yōu)異的成績(jī)，將學(xué)科競(jìng)賽的成果轉(zhuǎn)化到基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，需要實(shí)驗(yàn)和理論教師的合作和進(jìn)一步的教學(xué)研究與推廣.

致謝:感謝參與試卷翻譯等工作的南開(kāi)大學(xué)本科生志愿者王爍皓、王宸澤和鄧名豪！感謝參與奧賽培訓(xùn)、選拔與遠(yuǎn)程考試的各位老師！感謝中國(guó)科學(xué)技術(shù)協(xié)會(huì)、中國(guó)物理學(xué)會(huì)、天津市物理學(xué)會(huì)等單位和部門對(duì)賽事的支持！