基于APOS理論的數(shù)學概念形成教學方式
——以“復(fù)數(shù)的概念”教學實錄與反思為例*

董榮森

(江蘇省懷仁中學 214196)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自省級重點中學高二普通班，基礎(chǔ)相對來說比較好，具有一定的自主學習能力、邏輯推理能力、數(shù)學運算能力以及數(shù)學語言表達能力．

1.2 目標要求

(1)通過解方程遇到具體問題認識復(fù)數(shù)，理解引入復(fù)數(shù)的必要性；了解數(shù)系的擴充過程：自然數(shù)—整數(shù)—有理數(shù)—實數(shù)—復(fù)數(shù)．

(2)認識虛數(shù)單位，掌握復(fù)數(shù)概念，實部、虛部相關(guān)概念，理解兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，提升邏輯推理及數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)．

(3)類比有理數(shù)集和實數(shù)集的關(guān)系，認識實數(shù)集和復(fù)數(shù)集的關(guān)系，理解實數(shù)是復(fù)數(shù)的一種形式；通過從實數(shù)集到復(fù)數(shù)集的擴充過程和方法，提升抽象概括及邏輯推理素養(yǎng)．

2 設(shè)計理念

本節(jié)課的設(shè)計以杜賓斯基等人創(chuàng)立的APOS理論為基礎(chǔ)與依據(jù)，緊緊圍繞活動(Action)、過程(Process)、對象(Objcet)、圖式(Schema)等四個階段設(shè)計教學，選擇數(shù)學概念形成的教學方式(圖1)．即通過創(chuàng)設(shè)豐富典型的例證性情境，激發(fā)學生進行操作或活動，發(fā)現(xiàn)真問題(情境驅(qū)動、活動階段)；引導(dǎo)學生自主探究提出問題，抽象問題的本質(zhì)屬性，形成初步概念(主體活動、過程階段)；組織學生合作構(gòu)建，促進深度學習分析問題，對概念的深化與理解(立體互動、對象階段)；強化知識遷移，運用概念解決問題，形成智慧(智慧靈動、圖式階段)進行課堂教學，努力讓學生建構(gòu)復(fù)數(shù)的概念．

圖1

3 教學實錄

3.1 創(chuàng)設(shè)情境、發(fā)現(xiàn)問題(活動階段)

問題1負實數(shù)到底能不能開平方呢？即方程x2+a=0(a>0)有沒有解？

生1：在實數(shù)范圍內(nèi)不能開平方；在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解．

評析通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學文化情境，設(shè)置適合學生認知的問題引發(fā)其思考，引導(dǎo)其身臨其境地去感受數(shù)學家們勇于探究、勇于創(chuàng)新的精神，體會數(shù)系的每次擴充都與實際需求密切相關(guān)，感受人類理性思維在社會發(fā)展中的作用．

3.2 自主探究、提出問題(過程階段)

師：我們知道x2+1=0在實數(shù)集中無解，聯(lián)系從自然數(shù)集到實數(shù)集擴充的過程，你能給出一種方法，適當擴充實數(shù)集，使這個方程有解嗎？

活動1 理解數(shù)系的擴充是生產(chǎn)實踐與社會發(fā)展的需要．

師：通過預(yù)習與查閱資料，你能敘述一下數(shù)的發(fā)展史嗎？

生2：因為計數(shù)的需要，所以產(chǎn)生了自然數(shù)．

生3：為了表示具有相反意義的量引入負數(shù)，于是數(shù)集由自然數(shù)集擴充為整數(shù)集．

生4：為了測量與分配的需要，引入了分數(shù)，于是數(shù)集由整數(shù)集擴充為有理數(shù)集．

生5：第一次數(shù)學危機使人們發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，于是數(shù)集由有理數(shù)集擴充為實數(shù)集．

師：你遇到過在實數(shù)集范圍內(nèi)解不了的方程嗎?

生6：遇到過，如一元二次方程ax2+bx+c=0，當Δ=b2-4ac<0時，方程無解．

評析讓學生對數(shù)集擴充的歷史有所了解，感受數(shù)學的發(fā)展是生產(chǎn)實踐與社會發(fā)展的需要；讓學生從已有的學習經(jīng)驗中自主探究實數(shù)集擴充的必要性．

活動2 理解數(shù)系的擴充是數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需要．

師：在自然數(shù)集中，方程x+1=0有解嗎？

生7：沒有解，在整數(shù)集中有解．

師：在整數(shù)集中，方程2x-1=0有解嗎？

生8：沒有解，在有理數(shù)集中有解．

師：在有理數(shù)集中，方程x2=2有解嗎？

生9：沒有解，在實數(shù)集中有解．

師：在實數(shù)集中，方程x2+1=0有解嗎？

生10：在實數(shù)集中，方程x2+1=0無解，需要一個新的數(shù)集．

評析讓學生從求解方程的需要，理解數(shù)系擴充的必要性，從而自然引入虛數(shù)單位i．

活動3 引入新數(shù)——虛數(shù)單位i．

師：我們需要引入一個數(shù)，使它是方程x2+ 1=0的解．如何引入？談?wù)勀愕目捶ǎ?/p>

生11：可以引入虛數(shù)單位i，它的平方等于 -1，即i2=-1；它可以與實數(shù)進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘法運算律仍然成立．

師：把新引進的數(shù)i添加到實數(shù)集中，我們希望數(shù)i和實數(shù)之間仍然能像實數(shù)那樣進行加法和乘法運算，并希望加法和乘法都滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法滿足分配律．那么，實數(shù)集經(jīng)過擴充后，得到新的數(shù)集由哪些數(shù)組成呢？

生12：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)組成新的數(shù)集．

評析數(shù)系經(jīng)過擴充后要保證原來的運算律仍然成立，依據(jù)這個原則，新的數(shù)集的表達是一個很好的切入點．學生經(jīng)過抽象過程認識到虛數(shù)單位，為實現(xiàn)復(fù)數(shù)概念的構(gòu)建作鋪墊，體現(xiàn)了數(shù)學概念教學中螺旋上升的思維過程，得出對象概念，實現(xiàn)認識上的飛躍．

3.3 建構(gòu)概念、分析問題(對象階段)

活動4 理解復(fù)數(shù)的概念．

師：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)，其中的a,b分別叫做什么？

生13：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部．

師：形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)包括所有實數(shù)嗎？它還包括哪些你原來沒有遇到過的新數(shù)呢？

生14：包括所有實數(shù)，當b=0時，a+bi為實數(shù)；當b≠0時，a+bi為虛數(shù)，這是我們遇到的新數(shù)．

師：兩個復(fù)數(shù)相等的條件是什么？對于a,b,c,d∈R，a+bi=c+di得滿足什么條件？

生15：由a+bi=c+di得a=c，b=d．

評析通過以上問題促成學生對復(fù)數(shù)概念的準確理解；通過合作構(gòu)建，為抽象出的復(fù)數(shù)概念賦予形式化的定義及符號表示，并讓學生將復(fù)數(shù)主動納入數(shù)系中．

活動5 類比實數(shù)集，認識復(fù)數(shù)集．

師：復(fù)數(shù)集C與實數(shù)集R之間有什么關(guān)系？

生16：每個實數(shù)都是虛部為0的復(fù)數(shù)，所以實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集．

師：依據(jù)復(fù)數(shù)a+bi中a,b的取值，如何給復(fù)數(shù)分類？

生17：對于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)，當且僅當b=0時，復(fù)數(shù)a+bi是實數(shù)a；當b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)0．

評析類比實數(shù)集，更清楚地認識復(fù)數(shù)集，感受數(shù)集的再次擴充．復(fù)數(shù)概念的抽象，其中虛數(shù)、純虛數(shù)等概念容易混淆，細致的介紹說明可以幫助學生理解辨析，深刻理解復(fù)數(shù)的概念，有利于掌握復(fù)數(shù)的本質(zhì).將復(fù)數(shù)放在整個數(shù)系發(fā)展的歷史長河中去認識，能夠更加全面地認識復(fù)數(shù)概念，有利于下一階段在頭腦中更好地構(gòu)建復(fù)數(shù)圖式．

3.4 數(shù)學應(yīng)用、解決問題(圖式階段)

例1已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x,y∈R，求x與y．

方法規(guī)律：若a,b,c,d∈R，則a+bi=c+di?a=c,b=d．特別地，a+bi=0?a=b=0．

評析通過復(fù)數(shù)相等的運用，將復(fù)數(shù)的運算轉(zhuǎn)化為實部與實部、虛部與虛部的比較，實現(xiàn)了復(fù)數(shù)到實數(shù)的轉(zhuǎn)化，滲透轉(zhuǎn)化與化歸的思想．

跟蹤訓(xùn)練：(2x-1)i2+i=y-(3-y)i，其中x,y∈R，求x與y．

例2復(fù)數(shù)m=a+bi中實部a、虛部b滿足什么條件時，復(fù)數(shù)z=m+1+(m-1)i是：

(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？

師：因為m∈C，所以z=a+bi+1+(a+bi-1)i=(a+1-b)+(a+b-1)i是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m滿足的條件．

生20：設(shè)m=a+bi，則z=a+bi+1+(a+bi-1)i=(a+1-b)+(a+b-1)i．(1)當a+b-1=0時，復(fù)數(shù)z是實數(shù)；(2)當a+b-1≠0時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；(3)當a+1-b=0且a+b-1≠0時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．

方法規(guī)律：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解決問題，首先應(yīng)設(shè)m=a+bi，再結(jié)合已知條件將相關(guān)復(fù)數(shù)也變成標準形式，進而將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)的關(guān)系．

評析通過對實部和虛部的運算，加深對復(fù)數(shù)概念的理解和運用．設(shè)出復(fù)數(shù)也體現(xiàn)了方程思想，提升學生邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．

變式訓(xùn)練：復(fù)數(shù)z=m+1+(m-1)i滿足實部、虛部均大于1，求m的取值范圍．

例3已知x∈C，求方程x2+x+4=0的根．

方法規(guī)律：一元二次方程的根在數(shù)集擴充后仍然可以用求根公式來求，這是數(shù)系擴充后仍然成立的結(jié)論．

評析在實際應(yīng)用中體會引進虛數(shù)的必要性．隨著數(shù)系的擴充對方程的解有了新的認識，這便是擴充數(shù)集的意義；求根公式仍然適用，這也是數(shù)集擴充的基本思想．

變式訓(xùn)練：x∈C，方程x2+x+4=0的兩根為x1,x2，則x1+x2=-1，x1x2=4仍然成立嗎？只說結(jié)論，不必證明．

師：既然求根公式仍然可用，即根與系數(shù)的 關(guān)系也仍然成立，故x1+x2=-1，x1x2=4成立．

評析通過例題講解與變式訓(xùn)練，幫助學生記憶和構(gòu)建復(fù)數(shù)概念形成的知識網(wǎng)絡(luò)，有利于更好地形成概念圖式．當然這個圖式還需要在后續(xù)階段反復(fù)學習，以不斷完善、強化與穩(wěn)固．

4 回顧與反思

(1)活動階段：通過創(chuàng)設(shè)情境讓學生親身體驗，發(fā)現(xiàn)問題，感受概念產(chǎn)生背景

“活動階段”是概念引入階段，以學生已有的認知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，通過創(chuàng)設(shè)情境提出問題，讓學生參與各種“活動”主動構(gòu)建，親身體驗、感受概念的直觀背景和概念之間的關(guān)系．

在本節(jié)課的“活動階段”環(huán)節(jié)中，以學生已有的自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)等概念知識為基礎(chǔ)，認真分析復(fù)數(shù)概念的具體內(nèi)容以及其在數(shù)系中的位置，通過創(chuàng)設(shè)情境提出問題，設(shè)計合適的“活動”，讓學生參與各種“活動”主動構(gòu)建，親身體驗、感受復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的直觀背景和數(shù)系擴充的過程，了解引入復(fù)數(shù)的必要性，對于培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)具有舉足輕重的作用．在數(shù)系的擴充過程中體現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，也體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求，學生在活動階段中通過學習復(fù)數(shù)的基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用．

(2)過程階段：引導(dǎo)學生主動探究，提出問題，抽象出數(shù)學概念

“過程階段”是概念定義階段，應(yīng)該是讓學生對“活動”進行思考，通過一定的抽象得出概念所特有的性質(zhì)，從而對所授的概念形成一個較直觀的理解．

在本節(jié)課的“過程階段”教學環(huán)節(jié)中，提出問題：“解方程時實數(shù)集不夠用，怎么辦?”有學生會回答：“把實數(shù)集擴充”．于是繼續(xù)問：“你怎么想到的?怎么擴充?”接下來從方法論的角度啟發(fā)學生：“我們遇到新的問題怎么解決?人類解決問題最本原的方法是什么?實際上我們通常是從已有方法尋找未知方法，從已有知識尋找未知知識，從已經(jīng)解決的問題尋找解決新問題的方法！”接下來提問“你怎么想?”以引導(dǎo)學生找已知的知識和方法.找已經(jīng)解決的問題.啟發(fā)學生：有沒有遇見過類似的問題?把問題交給學生，先思考后交流，不僅僅要讓學生掌握復(fù)數(shù)的初步概念、定義、分類、相等的條件等知識，更重要的是理解復(fù)數(shù)這個數(shù)學概念建立的思想方法．

(3)對象階段：讓學生合作構(gòu)建，分析問題，深化對概念的理解

“對象階段”是概念分析階段，應(yīng)該是“活動”與“過程”的升華，將抽象出的概念賦予形式化的定義及符號表示，使其達到精致化，成為一個具體的“對象”，并由學生主動將其納入已有的概念體系，在以后的學習中以此為對象進行新的活動．

在“對象階段”環(huán)節(jié)中，教師給學生提供探究的線索，讓學生通過合作構(gòu)建來思考并分析問題：1)以往學習中有沒有遇見過類似的問題？2)如果遇見過，解決了什么問題？怎樣解決的？3)解決的過程有什么共同的特點(規(guī)律)？這些“線索”其實都是問題，而不是現(xiàn)成的線索；這些問題只提供了一個尋找線索的方法，真正的線索還需學生自己去尋找，而在尋找過程中所應(yīng)用的類比思想和對方法論的認識無疑使學習中的“結(jié)果與過程”“客觀與主觀”“靜態(tài)與動態(tài)”“外在與內(nèi)化”有機地結(jié)合到了一起，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗，為深入理解概念、提升數(shù)學素養(yǎng)奠定基礎(chǔ)．

(4)圖式階段：進行概念的運用，解決問題，強化知識遷移形成智慧

“圖式階段”是概念運用階段，是“對象”階段中對概念本質(zhì)和概念體系進一步理解，經(jīng)過長期的學習揭示概念本質(zhì)和實例化，與其他概念、規(guī)則、圖形等建立起聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式．在“圖式階段”環(huán)節(jié)中，通過應(yīng)用復(fù)數(shù)有關(guān)概念解決數(shù)學問題，讓學生進一步理解復(fù)數(shù)概念以及它與已學過的實數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系，在頭腦中建立起一定的概念圖式，以便在解決問題時能夠迅速調(diào)取．