關(guān)于2-扭自由素環(huán)上的右(θ,θ)-導(dǎo)子

◎武博匯 張 華

(1.吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130000 2.四平市第十四中學(xué)校，吉林 四平 136000)

環(huán)論是結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的重要分支,也是代數(shù)學(xué)中最為深刻的一部分.它是代數(shù)幾何和代數(shù)數(shù)論的基礎(chǔ),具有十分廣泛且豐富的內(nèi)容.

環(huán)上導(dǎo)子則是微分的代數(shù)形式的推廣,是近年來環(huán)論研究的熱點課題.導(dǎo)子即環(huán)R到自身的可加映射d,對于任意的x,y∈R,都有d(xy)=d(x)y+xd(y).

Posner證明了帶有非零中心化導(dǎo)子的素環(huán)必為交換環(huán).這一結(jié)論揭示了在素環(huán)或其特殊子集上具有特殊性質(zhì)的導(dǎo)子與環(huán)結(jié)構(gòu)的關(guān)系,鼓勵了許多學(xué)者深入討論在多個方向上對Posner定理加以推廣.

Bell和Kappe證明了:若素環(huán)R上的導(dǎo)子d在其非零右理想上成為同態(tài)或反同態(tài),則d=0.在1999年,Ashraf將Bell和Kappe的結(jié)果推廣到(θ,φ)-導(dǎo)子上.

隨著導(dǎo)子理論的不斷發(fā)展,大量推廣和衍生的導(dǎo)子涌現(xiàn)出來.把前人關(guān)于導(dǎo)子的結(jié)論推廣到這些衍生導(dǎo)子上是非常有意義的.Nadeem的結(jié)論推廣到素環(huán)的非零理想和廣義導(dǎo)子上,研究了素環(huán)非零理想上廣義導(dǎo)子成為同態(tài)或反同態(tài)的性質(zhì).本文研究了在2-扭自由素環(huán)非零理想上右(θ,θ)-導(dǎo)子d作為同態(tài)或反同態(tài)且d≠0，則R為可交換的.

設(shè)R為結(jié)合環(huán),對任意的a,b∈R，若由aRb=0,必有a=0或b=0,則稱R為素環(huán).

設(shè)R為結(jié)合環(huán),若由aRa=0,a∈R必有a=0,則稱R為半素環(huán).

環(huán)R是素環(huán)(或半素環(huán))，滿足若aRb=0，則a=0或b=0(或若aRa=0，則a=0).設(shè)環(huán)R是2-扭自由素環(huán)，任意取a∈R,若2a=0，則必有a=0.

對任意的x,y,z∈R,有：

[x,y]=xy-yx，

[xy,z]=x[y,z]+[x,z]y，

xy=xy+yx，

x(yz)=(xy)z-y[x,z]=y(xz)+[x,y]z，

(xy)z=x(yz)-[x,z]y=(xz)y+x[y,z]，

[[x,y],z]=[[x,z],y]+[x,[y,z]]，

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.

設(shè)R是環(huán),I是R的可加子群,若對任意r∈R,a∈I均有ra∈I,ar∈I，則稱I為R的理想.

若J是環(huán)R的可加子群,滿足jr∈U,j∈J,r∈R,則稱可加子群J是環(huán)R的Jordan理想.若U是環(huán)R的可加子群,滿足[u,r]∈U,u∈U,r∈R，則稱可加子群U是環(huán)R的Lie理想.

設(shè)d是R上的加性映射，若對任意的x,y∈R都有d(xy)=d(x)y+xd(y)，則稱加性映射d是環(huán)R上的導(dǎo)子.

設(shè)R是結(jié)合環(huán),g:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同構(gòu)，若對任意的x,y∈R,滿足d(xy)=d(x)θ(y)+φ(x)d(y),則稱g為R上的(θ,φ)-導(dǎo)子.

設(shè)F是環(huán)R上的可加映射且存在導(dǎo)子d，若對?x,y∈R,滿足F(xy)=F(x)y+xd(y),則稱可加映射F為R上的廣義導(dǎo)子，d為R上的伴隨導(dǎo)子.

設(shè)F是環(huán)R的加性映射，且存在(θ,φ)-導(dǎo)子d,若滿足任意的x,y∈R，有F(xy)=F(x)θ(y)+φ(x)d(y)，則稱F為R上的廣義(θ,φ)-導(dǎo)子,d是F的伴隨(θ,φ)-導(dǎo)子.

設(shè)R是環(huán)，若映射θ:R→R滿足:

(1)θ(x)∈R,x∈R,

(2)θ(x+y)=θ(x)+θ(y),x,y∈R，

(3)θ(xy)=θ(x)θ(y),x,y∈R,

則稱θ為R上的自同構(gòu).

設(shè)環(huán)R，θ是R上自同態(tài)，d是R→R上的可加映射，若滿足d(xy)=θ(x)d(y)+θ(y)d(x),x,y∈I，則稱d是R上的左(θ,θ)-導(dǎo)子.

根據(jù)左(θ,θ)-導(dǎo)子的定義，定義出右(θ,θ)-導(dǎo)子,即在相同條件下，?x,y∈R，滿足d(xy)=d(x)θ(y)+d(y)θ(x).本文主要把Nadeem的相關(guān)結(jié)果推廣到右(θ,θ)-導(dǎo)子上.

引理1：若一個素環(huán)R有一個非零理想是可交換的，則R是可交換的.

引理2:設(shè)R是素環(huán),J是R的非零Jordan理想，若a∈R且aJ=0或Ja=0，則a=0.

引理3:設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，J是R的非零Jordan理想,若aJb=0，則a=0或b=0.

定理1:設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，I為R的非零理想，θ是R上的自同構(gòu),d是R上的右(θ,θ)-導(dǎo)子,若滿足d(I)=0，則d=0.

證明由已知，可得:

d(I)=0.

(1.1)

即

d(ar)=0,a∈I,r∈R.

(1.2)

即

0=d(a)θ(r)+d(r)θ(a),a∈I,r∈R.

(1.3)

由(1.1)和(1.3)，可得:

d(a)θ(r)=0,a∈I,r∈R.

(1.4)

用θ-1作用到兩端,可得:

θ-1a(d(r))=0,a∈I,r∈R.

(1.5)

將(1.5)左乘θ-1(d(r))，可得:

θ-1(d(r))θ-1a(d(r))=0,a∈I,r∈R.

(1.6)

即

θ-1(d(r))θ-1I(d(r))=0,r∈R.

(1.7)

θ-1(d(r))=0,r∈R.

(1.8)

用θ作用(1.8)兩端，可得:

d(r)=0,r∈R.

即

d=0.

定理2：設(shè)R是特征不為2的素環(huán)，I是R的非零理想，θ是R上的自同構(gòu)，d是R上的右(θ,θ)-導(dǎo)子.

(ⅰ)若d在I上作為同態(tài)且d≠0,則R為可交換的.

(ⅱ)若d在I上作為反同態(tài)且d≠0,則R為可交換的.

證明(ⅰ)由d在I上滿足同態(tài)，可得：

d(u)d(v)=d(uv)

=d(u)θ(v)+d(v)θ(u),?u，v∈I.

(1.9)

在(1.9)中用uv換u，并結(jié)合(1.9)可得：

d(uv)d(v)=d(uv)θ(v)+d(v)θ(uv),

(1.10)

d(uv)d(v)=d(u)θ(v)d(v)+d(v)θ(u)d(v)，

(1.11)

d(uv)d(v)=d(v)d(v)θ(u)，

(1.12)

即

教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書4項“問題探討”的內(nèi)容，并啟發(fā)學(xué)生思考：遺傳物質(zhì)可能具有什么特點？教師隨機(jī)提問幾名學(xué)生，并在學(xué)生回答的過程中引導(dǎo)其完善答案：遺傳物質(zhì)應(yīng)具有信息性、傳遞性、復(fù)制性和變異性等特點。

θ(u)[d(v)-θ(v)]d(v)=0，?u，v∈I.

(1.13)

用θ-1作用到(1.13)兩端可得:

uθ-1((d(v)-θ(v))d(v))=0，?u,v∈I.

(1.14)

即

Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0，?v∈I.

(1.15)

將(1.15)左乘θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))，可得：

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))

=0,?v∈I.

(1.16)

由引理得

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0.

(1.17)

用θ作用到(1.17)兩端，可得：

[d(v)-θ(v)]d(v)=0，?v∈I.

(1.18)

即

d(v)d(v)-θ(v)d(v)=0，?v∈I.

(1.19)

亦即

θ(v)d(v)=0，?v∈I.

(1.20)

(d(v)d(v)=d(vv)=2θ(v)d(v))

Iθ-1(d(I))=0.

(1.21)

由R是素環(huán)可得:

d(I)=0.

(1.22)

易得

d(wr)=θ(w)d(r)+θ(r)d(w)

=θ(w)d(r)

=0，?w∈I，?r∈R.

(1.23)

故得到:

Iθ-1d(r)=0，?r∈R.

(1.24)

由R是特征不為2的素環(huán)得

d(r)=0.

故d=0.

因為d≠0，所以矛盾.

綜上,R是可交換的.

(ⅱ)由d在I上滿足反同態(tài)，有

d(v)d(u)

=d(uv)

=d(u)θ(v)+d(v)θ(u)

=d(v)θ(u)+d(u)θ(v)

=d(vu)

=d(u)d(v),?u,v∈I.

(1.25)

由d在I上滿足同態(tài)，有

d(u)d(v)=d(u,v)

=d(u)θ(v)+d(v)θ(u),?u，v∈I

(1.26)

在(1.26)中用uv換u，可得：

d(uv)d(v)=d(uv)θ(v)+d(v)θ(uv)，

(1.27)

d(uv)d(v)=d(u)θ(v)d(v)+d(v)θ(u)d(v)，

(1.28)

θ(uv)d(v)=d(v)d(v)θ(u)，

(1.29)

θ(u)[d(v)-θ(v)]d(v)=0，?u，v∈I.

(1.30)

用θ-1作用到兩端可得:

uθ-1((d(v)-θ(v))d(v))=0，?u,v∈I.

(1.31)

即

Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0，?v∈I.

(1.32)

將(1.32)左乘θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))，可得：

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))Iθ-1([d(v)-θ(v)]d(v))

=0,?v∈I.

(1.33)

由引理得：

θ-1([d(v)-θ(v)]d(v))=0.

(1.34)

用θ作用到(1.34)兩端，可得：

[d(v)-θ(v)]d(v)=0，?v∈I.

(1.35)

即

d(v)d(v)-θ(v)d(v)=0，?v∈I.

(1.36)

亦即

θ(v)d(v)=0，?v∈I.

(1.37)

用θ-1作用到(1.37)兩端可得:

Iθ-1(d(I))=0.

(1.38)

由R是素環(huán)可得：

d(I)=0.

(1.39)

易得

d(wr)=θ(w)d(r)+θ(r)d(w)

=θ(w)d(r)

=0，?w∈I，?r∈R.

(1.40)

又可得：

Iθ-1d(r)=0，?r∈R.

(1.41)

由R是特征不為2的素環(huán)得

d(r)=0,?r∈R.

故d=0.

因為d≠0，所以矛盾.

綜上,R是可交換的.

結(jié)語：本文主要研究了2-扭自由素環(huán)上非零理想上右(θ,θ)-導(dǎo)子d作為同態(tài)或反同態(tài)且d≠0，則R為可交換的.把Nadeem的相關(guān)結(jié)果推廣到右(θ,θ)-導(dǎo)子上，希望對以后研究右(θ,θ)-導(dǎo)子上關(guān)于同態(tài)和反同態(tài)的問題有幫助.