?2?4[u]-加性循環(huán)碼

耿 婕，吳化璋

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引言

自20 世紀(jì)50 年代以來，二進制循環(huán)碼一直被認(rèn)為是最重要的一類糾錯碼[1]。20 世紀(jì)90 年代以來，有很多關(guān)于有限環(huán)上循環(huán)碼的論文，讀者可以查閱文獻[2-5]等，以及其中的參考文獻。同時，?4上的循環(huán)碼及其結(jié)構(gòu)也得到了廣泛的研究[6-8]。最近，環(huán)?4被擴展到環(huán)?4[u]上，?4[u]中的循環(huán)碼和重根常循環(huán)碼[9-11]得到了研究。

一類將二進制線性碼與四進制線性碼結(jié)合起來的新型糾錯碼被稱為 ?2?4-加性碼[12-14]。?2?4-加性碼被定義為的子群。T.Abualrub等[15]引入了?2?4-循環(huán)碼，并確定了這類循環(huán)碼的生成多項式。最近,文獻[16-17]中介紹了一類新的加性循環(huán)碼:?2?2[u]-加性循環(huán)碼。文獻[18]討論了?p?p[u]-加性循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)并得到了它們的最小生成集。文獻[19]研究了?2?4[v]-加性循環(huán)碼及其對偶碼。

本文將?2?2[u]-加性循環(huán)碼推廣到?2?4[u]-加性循環(huán)碼，其中u2=0。首先討論?2?4[u]-加性碼及其對偶碼的一些性質(zhì)；然后研究環(huán)?2[x]∕＜xα-1 ＞×R[x]∕＜xβ-1 ＞中循環(huán)碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)和最小生成集，其中R=?4[u]。

1 預(yù)備知識

(1)C是一個加性碼，且

(2) 對于任意碼字u=(a0,a1,…,aα-1,b0,b1,…,bβ-1)∈C，它的循環(huán)移位

由Rα,β上的這種數(shù)乘運算，很容易得到下面的定理，這里省略它的證明。

定理1Rα,β是關(guān)于數(shù)乘*的R[x]-模。

類似[1]中關(guān)于循環(huán)碼的討論，將循環(huán)碼C中的碼字看作多項式或者向量。

定義2Rα,β的子集C叫做?2?4[u]-加性循環(huán)碼當(dāng)且僅當(dāng)C是Rα,β的子群，且對C中所有元素c(x)=(a0+a1x+…+aα-1xα-1,b0+b1x+…+bβ-1xβ-1)，有

2 ?2?4[u]-加性碼的對偶

根據(jù)內(nèi)積定義，C的對偶碼定義為

如果C?C⊥，碼C稱為自正交；如果C=C⊥，碼C稱為自對偶。利用上述對偶碼的定義，有下面的定理。

定理2若C是?2?4[u]-加性循環(huán)碼，則C⊥也是?2?4[u]-加性循環(huán)碼。

其中j=lcm(α,β)。

3 ?2?4[u]-加性循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)

本節(jié)中，C是?2?4[u]-加性循環(huán)碼。定義映射

顯然，φ是模同態(tài)，它的像Im(φ) 是R[x]∕＜xβ-1 ＞的子模，核ker(φ)是Rα,β的子模。此外，Im(φ)可被看作是環(huán)R[x]∕＜xβ-1 ＞的理想。根據(jù)文獻[20]，得到下面結(jié)論。

定 理3設(shè)Im(φ) 是?4[u] -循環(huán)碼，則Im(φ)=(g(x)+up(x),uq(x))，其中g(shù)(x),p(x),q(x)∈?4[x]∕＜xβ-1 ＞,q(x)|g(x)|(xβ-1),q(x)|。

定理4設(shè)Im(φ)=(g(x)+up(x),uq(x))是?4[u]-加性循環(huán)碼。若q(x)是?4[x]∕＜xβ-1 ＞上首一多項式，則deg(p(x))＜deg(q(x))。

引理2設(shè)Im(φ)=(g(x)+up(x),uq(x))是?4[u]-循環(huán)碼。若g(x)=q(x) 則Im(φ)=(g(x)+up(x)) 。此外，若q(x) 是?4[x]∕＜xβ-1 ＞上首一多項式，則(g(x)+up(x))|(xβ-1)。

定義集合 ：I={f(x)∈?2[x]∕＜xα-1 ＞|(f(x),0)∈ker(φ)}。顯然集合I是環(huán)?2[x]∕＜xα-1 ＞上的理想和循環(huán)碼。根據(jù)第一同構(gòu)定理，有

類似于[15]中對?2?4[u]-加性循環(huán)碼的討論，有下面結(jié)論。

推論2設(shè)C是?2?4[u]-循環(huán)碼,則

其中f(x),l1(x)∈?2[x]∕＜xα-1 ＞,q(x)|g(x)|(xβ-1),，并 且 deg(p(x))＜deg(q(x)),deg(li(x))＜deg(f(x))。

接下來確定Rα,β中循環(huán)碼的最小生成集，有如下結(jié)果。

定理 5設(shè)C=＜(f(x),0),(l1(x),g(x)+up(x)),(l2(x),uq(x))＞是?2?4[u] -循環(huán)碼。若deg(f(x))=t1,deg(g(x))=t2,deg(q(x))=t3,h(x)=(xβ-1)∕g(x)，則C的最小生成集是S=S1∪S2∪S3∪S4,其中

4 結(jié)束語

本文討論了?2?4[u]-加性碼及其對偶碼的一些性質(zhì)，這里u2=0 。主要研究環(huán)?2[x]∕＜xα-1 ＞×R[x]∕＜xβ-1 ＞中循環(huán)碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)和最小生成集，其中R=?4[u] 。后期將研究?2?4[u]-斜準(zhǔn)循環(huán)碼。