多渠道培養(yǎng)思維發(fā)散性 落實學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

［摘? 要］ 高中階段正值學(xué)生思維發(fā)展的飛躍期，教師必須抓住這個飛躍期，采用多種教學(xué)方法和教學(xué)手段來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，繼而實現(xiàn)“教”與“學(xué)”的可持續(xù)發(fā)展. 在培養(yǎng)發(fā)散性思維的過程中，教師應(yīng)遵循“以生為本”的教學(xué)理念，為學(xué)生提供一個自由的、廣闊的自我展示的舞臺，從而讓不同的學(xué)生獲得不同的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維品質(zhì).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)思維；思維品質(zhì)；發(fā)散性思維

在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生因為難以適應(yīng)高中階段的學(xué)習(xí)節(jié)奏而成績下滑，究其主因與初中的“講授”式教學(xué)息息相關(guān). 相比較而言，初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)在思維上有較大的差距. 在初中階段，學(xué)生可以依賴講授和模仿解決問題，但到了高中階段，學(xué)習(xí)內(nèi)容更加復(fù)雜、深刻，數(shù)學(xué)題目更加靈活多變，對思維能力提出了更高的要求. 因此，在高中階段，教師要重視學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng).

思維的發(fā)散性是思維品質(zhì)的重要組成部分之一，其建立于思維的廣闊性和深刻性的基礎(chǔ)上，又為思維的敏捷性和獨創(chuàng)性創(chuàng)造了條件. 周知，無論是生活還是學(xué)習(xí)，若想發(fā)展就需要打破常規(guī)，開拓創(chuàng)新，而這些都離不開發(fā)散性思維，所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng). 在實際教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去分析問題，用發(fā)展的眼光去看待問題，鼓勵學(xué)生提出解決問題的新思路、新想法、新方案，這樣既有利于問題的解決，又有利于學(xué)生的發(fā)展和核心素養(yǎng)的提升.

利用多種解法培養(yǎng)發(fā)散性思維

在教學(xué)過程中，教師要打破中規(guī)中矩的“講授”模式，為學(xué)生提供一個能夠平等交流的學(xué)習(xí)環(huán)境，充分發(fā)揮個體思維差異的優(yōu)勢，鼓勵學(xué)生從不同角度思考問題，尋求不同的方案解決問題，以此培養(yǎng)思維的靈活性，培養(yǎng)發(fā)散性思維.

例1 求證：=tanθ.

例1難度不大，但是證法靈活，在證明過程中教師預(yù)留充足的時間讓學(xué)生思考和交流，并鼓勵學(xué)生用不同的方法加以證明. 通過生生的積極交流和教師的耐心指導(dǎo)，學(xué)生得到了如下證明方法：

證法1（二倍角公式）：等式左===等式右.

證法2（萬能公式）：設(shè)tanθ=t，則等式左===t=等式右.

證法3（正切半角公式）：由tanθ==，利用合分比性質(zhì)，命題得以證明.

給出多種解法后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對過程進(jìn)行反思小結(jié)，這樣既讓學(xué)生理解和掌握證明三角形恒等式的基本方法，又拓展學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，讓學(xué)生的解題能力和思維品質(zhì)都得到較大程度的提升.

利用開放性問題培養(yǎng)發(fā)散性思維

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生面對一些開放性問題時常束手無策，出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因與教師的“教”息息相關(guān). 在課堂教學(xué)中，大多是教師提出問題，學(xué)生回答問題，這樣以“師問生答”為主流的教學(xué)模式影響了學(xué)生提出問題能力的提升，限制了學(xué)生思維能力的發(fā)展. 在教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個開放的學(xué)習(xí)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題和解決問題，以此提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

例2 已知sinα+sinβ=①，cosα+cosβ=②，由此你能得到什么結(jié)論？

教師讓學(xué)生獨立探究，然后分享各自的發(fā)現(xiàn).

生1：將①式和②式平方相加，可得cos（α-β）=-.

生2：將①式和②式相乘，再和差化積，得sin（α+β）［cos（α-β）+1］=. 結(jié)合生1的結(jié)論，可得sin（α+β）=.

生3：將①式和②式平方后作差，再和差化積，得2cos（α+β）［cos（α-β）+1］= -. 又cos（α-β）=-，代入可得cos（α+β）=-.

生4：由①÷②，再和差化積約去公因式，可得tan=，利用萬能公式可求sin（α+β），cos（α+β），tan（α+β）的值.

生5：由sin2α+cos2α=1消去α，得4sinβ+3cosβ=；同理，由sin2β+cos2β=1消去β，得4sinα+3cosα=.

……

從以上過程可以看出，學(xué)生通過各種手段處理已知信息，能有效鍛煉各自思維；通過對問題結(jié)論進(jìn)行發(fā)散，能有效激發(fā)學(xué)生的潛能，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.

[?]利用多個變式培養(yǎng)發(fā)散性思維

變式是培養(yǎng)發(fā)散性、創(chuàng)造性和深刻性思維的重要手段. 在教學(xué)中，通過變化已知、變化結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，應(yīng)用不同方法和不同知識解決問題，有利于提高學(xué)生的思維品質(zhì).

例如，已知等差數(shù)列的通項公式為a=a+（n-1）d，顯然該公式有四個變量，如果知道三個變量可利用解方程的思路求第四個量. 如“｛a｝為等差數(shù)列，a=1，d=-2，問-9是第幾項”“｛a｝為等差數(shù)列，a=1，a=22，求d”，等等. 解決問題后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生改編題目. 題目改編并不是隨意改值那么簡單，需要學(xué)生全面掌握變量的取值范圍、變量間的內(nèi)在聯(lián)系、公式適用條件等內(nèi)容，這樣才能確保問題是科學(xué)性的、合理性的，否則，若學(xué)生不進(jìn)行思考、辨析，只是信手拈來，可能鬧出笑話. 如有學(xué)生設(shè)計了這樣一個問題：“｛a｝為等差數(shù)列，a=1，d=-3，問-9是第幾項？”學(xué)生將原題中的“d=-2”改成“d=-3”，根據(jù)公式可求-9為項，顯然改編該題因忽視了變量的取值范圍而造成了錯誤. 但是，通過題目改編不僅能深化學(xué)生對等差數(shù)列公式的理解，而且能讓學(xué)生站在更高的角度看待問題，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力.

利用多種品質(zhì)培養(yǎng)發(fā)散性思維

各種思維品質(zhì)是相關(guān)溝通、相互聯(lián)系的，比如思維的發(fā)散性建立在思維的深刻性和廣闊性的基礎(chǔ)上，又服務(wù)于思維的敏捷性和獨創(chuàng)性，同時借助思維的發(fā)散性又能達(dá)到深化理解，培養(yǎng)思維的深刻性的目的，可見各種品質(zhì)彼此聯(lián)系，密不可分. 因此，教學(xué)中教師可以借助其他思維品質(zhì)的提高來培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.

1. 思維的深刻性

思維的深刻性集中表現(xiàn)在透過事物的現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，揭示規(guī)律. 數(shù)學(xué)知識間存在著一定的聯(lián)系，只有深刻地理解知識，認(rèn)清問題的本質(zhì)，才能理清問題的來龍去脈，從而靈活應(yīng)用相關(guān)知識解決問題.

例3 方程sinx=lgx的解有________.

學(xué)生習(xí)慣從方程的角度出發(fā)思考并解決該問題，而該問題由此出發(fā)無法求解，故學(xué)生常束手無策. 若解題時學(xué)生能夠換個角度進(jìn)行思考，會獲得柳暗花明的效果. 求解時可以將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=sinx與y=lgx圖像的交點問題，通過數(shù)形結(jié)合法能高效快速地解決問題. 在解決問題的過程中只有揭示其本質(zhì)，才能靈活地解決問題，思維發(fā)散性才有用武之地.

2. 思維的廣闊性

思維的廣闊性集中表現(xiàn)在全面考慮問題上. 解題時，學(xué)生要認(rèn)真地審題，抓住問題的方方面面，繼而合理調(diào)動和選擇與之相關(guān)的知識解決問題.

例4 已知拋物線在y軸上的截距為3，對稱軸為直線x=-1，在x軸上截得的線段長為4，求拋物線的方程.

解決該問題時，可以根據(jù)條件“截距為3”，列一般方程y=ax2+bx+c，再結(jié)合其他條件可解a，b的值，從而得到拋物線的方程；也可以根據(jù)條件“對稱軸為直線x=-1”，列頂點式方程，即y=a（x-h）2+k（a≠0），再結(jié)合其他條件求出a，k的值；還可以根據(jù)條件“x軸上截得的線段長為4”，列兩根式方程求解.

解題時，要處理好整體與局部的關(guān)系，利用發(fā)散性思維調(diào)動相關(guān)知識、技能，探尋多種解決問題的方案，以此提升思維品質(zhì).

3. 思維的敏捷性

思維的敏捷性集中表現(xiàn)在解決問題的速度和正確率上，具有這一品質(zhì)的學(xué)生往往能夠縮短運算和推理的過程，高效地解決問題.

例5 相鄰邊長為a和b的平行四邊形ABCD，繞a邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為V，繞b邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為V，則V：V=（? ）

A. a：b B. b：a C. a2：b2 D. b2：a2

若直接從一般平行四邊形的角度出發(fā)，求相應(yīng)幾何體的體積需要引入一個變量，即設(shè)相鄰兩邊的夾角為θ，于是有V=πab2sin2θ，V=πa2bsin2θ，V：V=b：a. 但由于本題是一個選擇題，解題時不妨從其特殊性出發(fā)，將平行四邊形看成矩形來處理，這樣可以簡化運算過程，提高解題效率.

4. 思維的獨創(chuàng)性

思維的發(fā)散性為思維的獨創(chuàng)性的發(fā)展提供了養(yǎng)料. 在日常教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生打破傳統(tǒng)和習(xí)慣，善于從問題的不同方面提出解決問題的方法和意見，巧妙地解決問題，以此發(fā)展思維的獨創(chuàng)性，提高思維的靈活性和變通性.

例6 求sin210°+sin250°+sin10°sin50°的值.

解法1：sin210°+sin250°+sin10°sin50°=1-（cos20°+cos100°）+sin10°sin50°=1-cos60°cos40°+（-cos60°+cos40°）=.

解法2：構(gòu)造對稱式，令x=sin210°+sin250°+sin10°sin50°，y=cos210°+cos250°+cos10°cos50°，則x+y=2+cos40°，x-y=-cos40°-，兩式相加得2x=，即原式=.

解法1為常規(guī)解法，解法2通過構(gòu)造對稱式靈活地解決了問題，方法獨特，簡捷有效. 在解題教學(xué)中，教師要鼓勵和啟發(fā)學(xué)生多角度、多渠道進(jìn)行聯(lián)想，這樣不僅可以得到巧妙的、獨特的解法，而且可以加深學(xué)生對知識的理解，有利于學(xué)生思維發(fā)散性的培養(yǎng)，提高其學(xué)習(xí)能力.

總之，教學(xué)中教師要多為學(xué)生提供一些機(jī)會去思考、去發(fā)現(xiàn)、去探索，通過“多解”“多變”等多種渠道培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，提升學(xué)生思維的品質(zhì).

作者簡介：繆葦偉（1986—） ，本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作.