淺析高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的運(yùn)用

王苑婷

摘? 要：在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題過程中，借用數(shù)形結(jié)合的方式可以將抽象的問題具體化，有效提升學(xué)生的解題效率。數(shù)形結(jié)合指的是解決問題時(shí)，結(jié)合直觀的圖像以及抽象的代數(shù)關(guān)系，對實(shí)際問題進(jìn)行研究，繼而轉(zhuǎn)化圖形特點(diǎn)和代數(shù)關(guān)系。高中階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要求學(xué)生有扎實(shí)的基本功、對原理理解透徹、能夠舉一反三運(yùn)用公式，還需要形成獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維。基于此，文章將對高中數(shù)學(xué)課堂中數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的運(yùn)用進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：高中函數(shù)學(xué)習(xí)；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)思維

一、高中數(shù)學(xué)課堂中數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的重要性

數(shù)形結(jié)合的解題策略為解決高中函數(shù)中的復(fù)雜問題找到了新的突破口。高中學(xué)生遇到的函數(shù)問題，最常見的就是理解不透題目的含義，還有一類題目只是將數(shù)字告知了學(xué)生，學(xué)生需要根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，這樣才能夠快速找到解決問題的思路。另外，有的題目只是給了函數(shù)圖像，需要學(xué)生將數(shù)據(jù)補(bǔ)充在圖形中。在遇到以上問題時(shí)，學(xué)生會無從下筆。一旦見到題目中給出明確的數(shù)據(jù)，學(xué)生最好能夠聯(lián)想與此相關(guān)的幾何圖形，這樣才能夠準(zhǔn)確把握含義并將題目中所給出來的數(shù)據(jù)添加到繪制的圖形中。借助數(shù)形結(jié)合的理念可以實(shí)現(xiàn)數(shù)量概念和幾何圖形之間的靈活轉(zhuǎn)化，這樣可以通過兩者之間的關(guān)系準(zhǔn)確地分析題目，數(shù)形結(jié)合的解題方案既可以讓老師在講授復(fù)雜的函數(shù)題目時(shí)掌握簡潔高效的教學(xué)方式，提升教學(xué)能力和效率。

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題的思路

（一）巧用直觀圖示，強(qiáng)化學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)知

數(shù)學(xué)概念是對事物本質(zhì)的反映，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，通過推理分析和想象加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，在高中函數(shù)知識中，數(shù)學(xué)概念能夠明確地反映數(shù)量關(guān)系，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)高中函數(shù)時(shí)一定重視符號以及文字，但是由于函數(shù)學(xué)習(xí)非?？简?yàn)邏輯思維能力，所以學(xué)生會感到難度較大，而且學(xué)生的想象力也達(dá)不到理想的水平，不能將數(shù)形結(jié)合滲透在函數(shù)教學(xué)中，因此可以用直觀真切的語言，將抽象的函數(shù)概念具體化，有效地加深學(xué)生對函數(shù)知識的理解，大大提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

（二）注重對函數(shù)的多語言表達(dá)，教會學(xué)生轉(zhuǎn)化的方法

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識中主要包含符號語言、函數(shù)的圖像語言以及函數(shù)的文字語言三種不同的表達(dá)形式，在一定程度上為學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識提供了便利條件，學(xué)生可以通過不同語言的相互轉(zhuǎn)化來加深對函數(shù)知識的理解。

（三）有效借助函數(shù)模型，深化學(xué)生的理解

教師除了用基本的函數(shù)形式和定義對學(xué)生進(jìn)行講授教學(xué)之外，還可以借助具體的函數(shù)模型加深學(xué)生對函數(shù)知識的理解，讓學(xué)生能夠從多維度分析函數(shù)的概念。函數(shù)模型的引入不僅可以幫助學(xué)生發(fā)展思維，還可以加固學(xué)生的記憶。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖像的變化規(guī)律，在此基礎(chǔ)上分析總結(jié)出函數(shù)圖像的性質(zhì)。

（四）借用多媒體技術(shù)，直觀呈現(xiàn)函數(shù)圖像

在高中函數(shù)教學(xué)過程中，教師一定要抓住多媒體技術(shù)這一重要的教學(xué)載體。多媒體教學(xué)可以借助圖像甚至是動畫的形式，為學(xué)生真切地呈現(xiàn)函數(shù)圖像的變化以及特征，這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以活躍課堂教學(xué)氛圍，最重要的是多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)的教學(xué)形式相比更加真切、更加直觀，并且還可以重復(fù)多次呈現(xiàn)，大大節(jié)省了教學(xué)成本，提升了教學(xué)效率。

三、高中數(shù)學(xué)課堂中數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的運(yùn)用

（一）以數(shù)解形

1. “解析幾何”中的數(shù)形結(jié)合思想

（1）解析幾何中的“圓”類問題

數(shù)形結(jié)合的解題思路可以快速解決圓類的函數(shù)問題。在傳統(tǒng)的解題步驟中，解析幾何原理問題時(shí)，主要通過圓之間的位置關(guān)系或者是圓與直線的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等展開，在判斷圓與直線位置關(guān)系時(shí)一般都要建構(gòu)直角坐標(biāo)系，這樣能夠幫助學(xué)生更清晰地觀察到直線和圓之間的位置關(guān)系，但是這樣的解題步驟很繁瑣。以數(shù)解行的思路用于判斷圓與直線的位置關(guān)系的話，可以通過計(jì)算圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)直線與圓心之間的距離超過了圓的半徑的話，那么直線就在圓外。

例1：當(dāng)曲線y=1+與直線y=k（x-2）+4有兩個(gè)相異的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為什么？

分析：曲線y=1+即為x2+（y-1）2=4，（1≤y≤3），表示以A（0，1）為圓心，2為半徑的上半圓，直線l：y=k（x-2）+4恒過定點(diǎn)B（2，4）。當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，滿足題意，將直線l繞點(diǎn)B按照順時(shí)針方向轉(zhuǎn)到切線PT時(shí)，也滿足題意。而M（-2，1），又KMB=。由=2，解得kMT=，所以，k的取值范圍為

分析：解決直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，先根據(jù)題意畫出合適的直線，然后將其旋轉(zhuǎn)找出符合題意的活動范圍。

（2）解決不等式之類的問題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題思路解決解析幾何中的不等式問題，主要是化解原來的不等式，一般是將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)曲線方程，然后再在數(shù)軸上呈現(xiàn)曲線方程，在計(jì)算的過程中要注意值域與定義域，然后幾個(gè)圖形的交集就是不等式的解集。

例2：+>4。

解析：把原式變形，可得>4-。y1=，y2=，將這兩個(gè)式子再次變形，可得x2+y=16（y1≥0）和（x-4）2+（y2-4）2=16（y2≤4）。觀察可知這兩個(gè)式子都是半圓，可以在直角坐標(biāo)系中呈現(xiàn)出來。所以，直角坐標(biāo)系中兩個(gè)半圓的重合部分就是不等式的解集。綜合分析可得原不等式的解集為0

（3）求函數(shù)的奇偶性問題

借助圖形的直觀性將函數(shù)奇偶性的數(shù)學(xué)概念形象化、簡單化，可以充分感知，在已知的條件下理解奇偶性的內(nèi)涵，解決數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)思想的目的。

例3：已知函數(shù)f（x）是在R上的奇函數(shù)，在x≥0時(shí)，? f（x）=x（1+x）。試求在x<0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式。

解析：若求x<0時(shí)的解析式，則-x>0，從而滿足所給的條件，所以f（-x）=（-x）［1+（-x）］=x（x-1），又函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，從而有f（-x）=-f（x），所以有f（x）=-x（x-1）。

此方法運(yùn)用奇函數(shù)的定義，根據(jù)解析式求出。

2. “立體幾何”中的數(shù)形結(jié)合思想

例4：已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為根號3，那么P到平面ABC的距離為（ ）。

分析：如圖2，過P點(diǎn)做平面ABC的垂線段PO，再做PE⊥CB，PF⊥CA可得OE⊥CB，OF⊥CA，在Rt△PCF中，由PC=2，PF=，可得出CF=1，同理在Rt△PCF中可得出CE=1，結(jié)合∠ACB=90°，可得出OE=OF=1，OC=，PO==，立體幾何能充分反映以數(shù)解形的思想，如角度、長度、面積、體積等，這些問題的考查與解答都離不開數(shù)形結(jié)合。

（二）數(shù)形結(jié)合

“數(shù)形結(jié)合”指利用函數(shù)解析式，作出函數(shù)的圖像，然后根據(jù)函數(shù)圖像的“圖像特征”得到具體的“代數(shù)關(guān)系”來解決數(shù)學(xué)問題。如題：已知a是常數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+（1-a）x2-ax+2的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖像如圖3所示，則函數(shù)g（x）=ax-2的圖像可能是（? ? ）

本題應(yīng)當(dāng)先對參數(shù)a的取值范圍進(jìn)行確認(rèn)，主要通過函數(shù)解析式以及二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行確定，根據(jù)取值將g（x）圖像畫出。畫圖像時(shí)，要跟指數(shù)函數(shù)性質(zhì)聯(lián)系起來，按照參數(shù)的取值對它的加減性進(jìn)行判斷，最后通過絕對值性質(zhì)轉(zhuǎn)換圖像。本題通過“代數(shù)關(guān)系”與“圖像特征”的互相轉(zhuǎn)換可以快速解決問題。

（三）以數(shù)輔形

“以數(shù)輔形”指依據(jù)函數(shù)所包含的代數(shù)關(guān)系，理解或得出函數(shù)的具體圖像特征。代數(shù)關(guān)系是解決問題的工具，通過對數(shù)的分析，來對形進(jìn)行研究，達(dá)到“形”的目的。形的模糊往往使用精確的數(shù)表達(dá)，如題：

例如圖4，在邊長為2的等邊三角形ABC中，一條和ab呈90度角關(guān)系的直線L由a點(diǎn)出發(fā)從左往右移動，把三角形ABC分為兩部分，假如線段AD=x。

（1）把直線L左邊圖形面積的函數(shù)解析式寫出來。

（2）在直角坐標(biāo)系中把函數(shù)圖像畫出來。

本題從平面圖形的面積出發(fā)，讓學(xué)生探究直線L左邊圖形的面積和線段AD的代數(shù)關(guān)系。通過圖形的形狀和平面圖形的面積公式得出相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系即函數(shù)解析式，并根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖像。正確解題思路是當(dāng)0

（四）數(shù)形結(jié)合思想滲透教學(xué)的啟發(fā)

1. 循序漸進(jìn)。數(shù)學(xué)思想方法一般以數(shù)學(xué)問題為載體，蘊(yùn)含在知識的形成過程中。如函數(shù)，從函數(shù)的概念到函數(shù)的應(yīng)用，都離不開數(shù)形結(jié)合思想。學(xué)生對思想方法的認(rèn)知從了解到應(yīng)用需要經(jīng)歷一個(gè)漫長的教學(xué)過程，只有循序漸進(jìn)地滲透，才能使學(xué)生真正地在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中掌握數(shù)學(xué)思想方法。

2. 注重變式教學(xué)。在教學(xué)實(shí)際中，不少教師為鞏固練習(xí)而時(shí)?？s短講解新課的時(shí)間，這樣容易導(dǎo)致學(xué)生建立題型與解題方法之間的聯(lián)系，很難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)。要想從中剝離出所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，變式教學(xué)就尤為重要。

3. 明確目標(biāo)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師和學(xué)生容易忽略數(shù)學(xué)思想是否掌握。如函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)，多數(shù)學(xué)生會將重點(diǎn)放在掌握函數(shù)的性質(zhì)上，卻沒有意識到數(shù)形結(jié)合方法的重要性。通過數(shù)形結(jié)合畫出圖像，能夠更直觀有效地研究性質(zhì)。因此，在教學(xué)過程中，不斷強(qiáng)調(diào)掌握數(shù)學(xué)思想方法也是重要的教學(xué)目標(biāo)。

數(shù)形結(jié)合與高中函數(shù)的有機(jī)融合不僅幫助學(xué)生將抽象復(fù)雜的題目變?yōu)橹庇^真切的圖像，還幫助學(xué)生迅速整理思路、確定解題方案，縮短解題時(shí)間。通過以數(shù)解形、以數(shù)輔形等方式，也能夠?qū)D形信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量信息。以數(shù)解形、以形助數(shù)，將圖形的直觀與數(shù)據(jù)的精確巧妙融合，既提升了教師的課堂教學(xué)質(zhì)量，也優(yōu)化了學(xué)生的解題思路和方式，為學(xué)生更好地掌握函數(shù)相關(guān)知識以及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)都起到了積極的推進(jìn)作用。

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