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    如何走出用完全平方公式因式分解的誤區(qū)

    2023-01-11 00:25:56臨夏縣河西鄉(xiāng)大莊中心小學(xué)劉自鵬
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年16期
    關(guān)鍵詞:小括號公因式因式

    ?臨夏縣河西鄉(xiāng)大莊中心小學(xué) 劉自鵬

    1 引言

    每年的中考命題有這樣一個熱點,它將完全平方公式和因式分解結(jié)合起來,體現(xiàn)整式乘法與因式分解之間的互逆關(guān)系,用完全平方公式進(jìn)行因式分解[1].本來這個知識點非常簡單,因為無論是完全平方公式,還是因式分解都非?;A(chǔ),然而學(xué)生在用完全平方公式進(jìn)行因式分解時極易出現(xiàn)錯誤,而且是層出不窮.基于此,筆者進(jìn)行這方面的避錯策略研究,希望能幫助學(xué)生有效緩解這一現(xiàn)象,幫助他們更好地掌握知識點.

    2 用完全平方公式因式分解易出現(xiàn)的誤區(qū)

    用完全平方公式進(jìn)行因式分解的基礎(chǔ)是完全平方公式,但是學(xué)生可能在這些基礎(chǔ)知識上存在掌握不牢固、解題不靈活等問題,導(dǎo)致他們在用完全平方公式進(jìn)行因式分解時經(jīng)常出錯.下面就是筆者在實際教學(xué)過程當(dāng)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生用完全平方公式進(jìn)行因式分解的幾種誤區(qū).

    2.1 公式不熟導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)不了多項式具備的特點

    例1把3ax2+12ay2+12axy分解因式.

    錯解:原式=3a·x2+3a·4y2+3a·4xy

    =3a(x2+4y2+4xy).

    分析:在學(xué)習(xí)了提公因式法因式分解后,學(xué)生能馬上發(fā)現(xiàn)公因式是3a并將之提取.然而,在提取公因式之后,雖然小括號中的多項式書寫正確,但學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)x2+4y2+4xy可以利用完全平方公式因式分解.導(dǎo)致錯誤的原因主要是學(xué)生在書寫小括號中的多項式后,受慣性思維的影響,認(rèn)為完全完全平方公式的形式是a2+2ab+b2,而不是a2+b2+2ab.

    正解:原式=3a·x2+3a·4y2+3a·4xy

    =3a(x2+4y2+4xy)

    =3a(x2+4xy+4y2)

    =3a[x2+4xy+(2y)2]

    =3a(x+2y)2.

    2.2 沒有注意到中間的一次項必須是積的2倍

    例2把9m2n2-3mn+4分解因式.

    錯解:原式=(3mn-2)2.

    分析:在學(xué)習(xí)整式的乘法時,很多學(xué)生認(rèn)為(a+b)2=a2+b2,這就導(dǎo)致他們極易忽略完全平方公式中的2ab這一項.完全平方公式的特點主要有三個:一是首項和尾項都可以寫成平方的形式;二是中間二次項是首項和尾項改寫成平方形式后兩個底數(shù)的乘積的2倍;三是完全平方式中間項的符號與多項式的一次項的符號相同.很明顯,本題解法中學(xué)生只記住了將首項和尾項改寫成平方形式,而沒有注意到中間二次項是首項和尾項改寫成平方形式后兩個底數(shù)的乘積的2倍.

    本題不能進(jìn)行因式分解,若需利用完全平方公式進(jìn)行因式分解,則應(yīng)將-3mn改成-12mn,因為這樣才符合完全平方公式的三個特點.

    2.3 沒有將因式分解進(jìn)行徹底

    例3把3x3-12x2y+12xy2分解因式.

    錯解:原式=3x(x2-4xy+4y2).

    分析:本題的公因式提取正確,小括號里面的多項式書寫也正確.然而,學(xué)生沒有繼續(xù)往下分解.在因式分解過程中,如果還可以繼續(xù)分解因式,那么一定要分解到不能再分解為止[2].需說明的是,這里的不能再分解為止,僅僅局限于有理數(shù)范圍內(nèi)[3].x2-4xy+4y2可以繼續(xù)分解,所以應(yīng)繼續(xù)分解下去.

    正解:原式=3x(x2-4xy+4y2)

    =3x(x-2y)2.

    2.4 首項有負(fù)號時變號出現(xiàn)錯誤

    例4把-2xy-x2-y2分解因式.

    錯解:原式=-(2xy+x2-y2).

    分析:在因式分解的過程中,時常會遇到首項有負(fù)號的情況,這時提出負(fù)號后,原來的每一項都要變號.然而,學(xué)生在解該題時明顯沒有變號,這是很多學(xué)生因式分解時易犯的錯誤,應(yīng)高度重視.

    正解:原式=-(2xy+x2+y2)

    =-(x+y)2.

    2.5 整體思想運用不夠靈活

    例5把a2-2a(b+c)+(b+c)2分解因式.

    錯解:原式=[a-2(b+c)]2.

    分析:整體思想是因式分解中非常重要的思想方法.本題中應(yīng)將b+c視為一個整體,且在分解因式的過程中將之放入小括號里面.

    正解:原式=[a-(b+c)]2

    =(a-b-c)2.

    2.6 一些非智力因素導(dǎo)致錯誤

    以上羅列的幾種致錯原因可以歸類為智力因素,而非智力因素也會導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)錯誤[4].常見的非智力因素有符號看錯、指數(shù)看錯、字母寫錯、少括號、缺少某一項等,如下面例6的錯解.

    例6把-4a2+12ab-9b2分解因式.

    錯解1:原式=-(4a2+12ab+9b2)

    =-(2a+3b)2.

    錯解2:原式=-(4a2+12ab-9b2)

    =-(2a+3b)2.

    錯解3:原式=(-2a-3b)2.

    錯解4:原式=-(4a2-3ab+9b2)

    =-[(2a)2-2×2a×3b+(3b)2]

    =-(2a-3b)2

    =(3b-2a)2.

    正解:原式=-(4a2-12ab+9b2)

    =-[(2a)2-2×2a×3b+(3b)2]

    =-(2a-3b)2.

    例7把x6-10x3+25分解因式.

    錯解1:原式=(x4)2-10x3+52

    =(x4+5)2.

    錯解2:原式=(x3)2-10x3+52

    =(x3+5)2.

    錯解3:原式=(x3)2-10x3+52

    =(x3+5)(x3-5).

    正解:原式=(x3)2-10x3+52

    =(x3-5)2.

    其實,這些錯誤完全可以在檢查中被輕易發(fā)現(xiàn),然而很多學(xué)生缺少檢查的習(xí)慣,在考試、演板之后沒有檢查便提交.

    3 教學(xué)實踐中的避誤策略

    首先,要讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真檢查的習(xí)慣.特別是代數(shù)類的計算,數(shù)字、字母、符號、指數(shù)特別多,極易在某個地方出錯.這時候,做完題后檢查顯得特別重要.

    例如,學(xué)生在解完題之后,教師可以提醒學(xué)生檢查.演板時,要求學(xué)生做完后再檢查.筆者的方法是,在草稿紙上用大號字寫“要檢查”三個字,并在檢查完成后將“要檢查”三個字打勾,演板時也是如此.通過筆者的嘗試,發(fā)現(xiàn)這樣的方法能有效幫助學(xué)生養(yǎng)成檢查的習(xí)慣,繼而降低致錯幾率.

    其次,對學(xué)生整體思想方法的培養(yǎng).關(guān)于整體思想方法的題目,在課本和練習(xí)冊中大量存在.教師可將之集中起來,專門開展一次以“整體思想方法”為主題的教學(xué),讓學(xué)生在課堂上觀察、嘗試和總結(jié).

    例如,對(x+y)2+6(x+y)+9這道題,教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察本題特點,然后嘗試“換元法”,讓學(xué)生認(rèn)識到整體思想的作用,促使學(xué)生將本題的結(jié)構(gòu)看得更清楚.如設(shè)x+y=m,則原式可轉(zhuǎn)化為m2+6m+9,通過觀察m2+6m+9發(fā)現(xiàn)可用完全平方公式,然后將m還原成x+y進(jìn)行因式分解.

    4 結(jié)語

    完全平方公式既是整式的乘法中非常重要的“工具”,也是因式分解中非常重要的公式方法.教師應(yīng)該在充分認(rèn)識學(xué)生易出錯的地方的前提下,為學(xué)生制定相應(yīng)的避誤方案,讓學(xué)生通過適當(dāng)訓(xùn)練以擺脫這些錯誤.當(dāng)然,習(xí)慣、方法等的培養(yǎng)需要更長的時間,所以教師需要更多的耐心指導(dǎo)學(xué)生糾正錯誤,幫助他們提高解決問題的能力.

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