“證偽”與初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)化

?江蘇省泰州市海軍中學(xué) 楊金寶

1 引言

英國現(xiàn)代哲學(xué)家卡爾·波普爾在其重要的哲學(xué)著作《猜測與反駁》中曾提出，科學(xué)需要不斷地提出猜想、證偽，然后再提出猜想、證偽…….波普爾認(rèn)為，衡量一門理論的科學(xué)性的標(biāo)準(zhǔn)就是它的“可證偽性”[1].在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生證明(證實(shí))，更需要引導(dǎo)學(xué)生“證偽”，將“求是與證偽”相結(jié)合.只有引導(dǎo)學(xué)生主動質(zhì)疑、反思、批判，以及找茬、挑錯，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生證偽.只有引導(dǎo)學(xué)生證偽，才能引導(dǎo)學(xué)生“去偽”“存真”.

2 構(gòu)造反例，提升學(xué)生質(zhì)疑力

初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中總是喜歡證明，而不喜歡證偽.這一方面是由數(shù)學(xué)學(xué)科的相對真理性造成的；另一方面是由學(xué)生習(xí)慣接受性學(xué)習(xí)狀態(tài)所造成的.當(dāng)下，初中生不關(guān)心、不實(shí)踐證偽的表現(xiàn)形態(tài)主要有三種：其一，“無偽可證”；其二，“有偽不證”；其三，“證偽不實(shí)”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要改變教師控制課堂的格局，創(chuàng)設(shè)學(xué)生自由質(zhì)疑的良好氛圍.同時，要提升教師組織學(xué)生“證偽”學(xué)習(xí)的能力.要發(fā)掘證偽資源，開展證偽活動，充分發(fā)揮證偽的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)功能，不斷研發(fā)證偽的方式.

波普爾認(rèn)為，“證偽”的過程就是一個人“提出假設(shè)”“實(shí)施證偽”，并再次提出新的假設(shè)的過程.“證偽”不是簡單地承認(rèn)，也不是簡單地否決，而必須是以相應(yīng)的證據(jù)來證明.波普爾深刻地指出：“一種嚴(yán)格的經(jīng)驗(yàn)總是要力圖找到一種反駁、一種反例.”從某種意義上來說，“證偽”是另一種意義上的“證明”“證實(shí)”.“構(gòu)造反例”是學(xué)生數(shù)學(xué)“證偽”的一種重要方法.比如教學(xué)“全等三角形的判定”(人教版八年級上冊)這部分內(nèi)容時，首先讓學(xué)生提出猜想:怎樣的兩個三角形全等？這時，學(xué)生會提出各種猜想.對于這些猜想，不僅要引導(dǎo)學(xué)生證明，更要引導(dǎo)學(xué)生證偽.筆者在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，對于每一個判定法則，都讓學(xué)生以小組為單位舉反例.不僅如此，對于能夠舉出反例的小組，我們給這一小組“加星”，用以肯定學(xué)生的反駁思維.這種舉措，激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，發(fā)掘了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性.每一個學(xué)生都力圖舉出成功的反例.實(shí)踐證明，在“三邊對應(yīng)相等”“兩邊及其夾角對應(yīng)相等”“兩角及其夾邊對應(yīng)相等”“兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等”等猜想中，學(xué)生沒有舉出反例，而在“兩邊及其一邊對角”的猜想中，學(xué)生成功地舉出了反例，進(jìn)而有效地證明了這個猜想的“謬誤性”.

構(gòu)造反例不僅是一種有效的學(xué)習(xí)方法，更是證偽思想方法的重要組成部分.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生“舉反例”，鼓勵學(xué)生“舉反例”，讓“舉反例”成為學(xué)生數(shù)學(xué)思考的常態(tài)，成為學(xué)生數(shù)學(xué)探究的常態(tài).如此，這種“舉反例”證偽的思想方法就能融入到學(xué)生的心靈之中，內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

3 比較分析，提升學(xué)生鑒別力

俗話說，“有比較才有鑒別”.一個數(shù)學(xué)概念的形成，往往是不斷地分析、比較、嘗試錯誤的結(jié)果.證偽的過程教學(xué)，讓學(xué)生相信一切數(shù)學(xué)定理、法則都是一種猜想，因而就會對相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行辨析，從而避免了學(xué)生將相關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識“教條化”的傾向.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生比較，不僅讓學(xué)生認(rèn)識到“正確的結(jié)論”，更要讓學(xué)生認(rèn)識到“錯誤”“偽”在什么地方？為什么“偽”？什么時候不“偽”？等等.通過正反比較分析，不僅有助于學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的相對正確性，更能讓學(xué)生感悟到自己收獲了什么.

比如教學(xué)“一次函數(shù)”(人教版八年級下冊)這部分內(nèi)容時，教師出示了多種變式的圖象引導(dǎo)學(xué)生判斷，其中有“連續(xù)性函數(shù)”和“非連續(xù)性函數(shù)”的比較.對于“非連續(xù)性函數(shù)”，很多學(xué)生一開始都認(rèn)為這樣的圖象對應(yīng)的不是函數(shù).為此，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的定義入手，學(xué)生深刻感受、體驗(yàn)到非連續(xù)性函數(shù)也是函數(shù).在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生從正反兩個方面舉例進(jìn)行比較.于是，有學(xué)生畫出了更多的連續(xù)性的函數(shù)圖象和非連續(xù)性的函數(shù)圖象；有學(xué)生畫出了x確定一個值，y不是唯一的值與之相對應(yīng)的圖象；等等.通過正反兩個方面的比較、分析，讓學(xué)生深刻感受、體驗(yàn)到函數(shù)的“映射性”，深刻認(rèn)識到“在y是x的函數(shù)中，x每確定一個值，y就隨之有一個唯一確定的值與之相對應(yīng)”.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“比較分析”有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行證偽.任何一個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)都有它的前因后果，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角去分析、比較，是培養(yǎng)學(xué)生證偽能力、證偽素養(yǎng)的重要方式.

證偽的方法很多.通過比較分析，有助于讓學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”，可以讓學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的大腦”.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷地鼓勵學(xué)生進(jìn)行分析比較，勇于反思、剖析自己，幫助學(xué)生養(yǎng)成“比較分析”的習(xí)慣，并落實(shí)到思考、探究之中，從而不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 逆向思考，提升學(xué)生反思力

在“證偽”的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，通過逆向思考識錯辨因、激疑啟思.在逆向思維的過程中，教師要注重啟迪學(xué)生的創(chuàng)新思維.當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中受到了經(jīng)驗(yàn)、習(xí)慣等的支配而不能全面地、正確地分析問題，或者難以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)探究中的一些缺陷、不足時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生逆向思考等，進(jìn)而提升學(xué)生的反思力.在數(shù)學(xué)史上，最為典型的逆向思考就是俄國著名數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基用一個與非歐幾何的第五公設(shè)相矛盾的命題來代替它，竟然得到了系列邏輯上毫無矛盾的結(jié)論.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考.

比如教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”(人教版八年級上冊)這部分內(nèi)容時，學(xué)生遇到了這個命題的判斷——“求證：在一個三角形中最多有一個鈍角”.這個命題證明，學(xué)生展開正向思考是沒有辦法完成的.而逆向思維就能讓學(xué)生從反面證明原命題的正確性.筆者在教學(xué)中，首先引導(dǎo)學(xué)生反設(shè)“假設(shè)一個三角形中有兩個或者三個鈍角”；接著引導(dǎo)學(xué)生歸謬“三角形的內(nèi)角和就一定大于180°了，而這就與三角形的內(nèi)角和定理相矛盾”；再次引導(dǎo)學(xué)生去偽存真，即“原假設(shè)不成立，也就是說一個三角形中不可能有兩個或者三個鈍角，或者說一個三角形中有一個或者沒有鈍角”，進(jìn)而推翻假設(shè)，證明命題.顯然，逆向思考是借助于“證偽”的力量、方法、技巧等來證明，或者說是另一種形式的“證明”，這種證明方式也就是“反證法”.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引入、設(shè)計一些適合于學(xué)生逆向思考的例子，引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行逆向思考.借助于逆向思考，有效地提升學(xué)生的證偽能力.

數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開證偽，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同樣也離不開證偽.證偽有助于學(xué)生更加全面、深刻地理解數(shù)學(xué)知識.正如著名科學(xué)哲學(xué)史家拉卡托斯所說，“非形式、準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)的發(fā)展，并不是依靠知識的積累的數(shù)目，而是依靠思辨與批評、證明與反駁之邏輯對猜想的持續(xù)不斷的改進(jìn)”.通過逆向思考展開證偽，有助于學(xué)生逐步走向證實(shí)、逼近證實(shí).

5 追根究源，提升學(xué)生的探究力

錯誤往往是與真理相伴相生的.作為教師，不能粗暴地對待學(xué)生的錯誤，而應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的錯誤作為載體、媒介，引導(dǎo)學(xué)生反思錯誤，正確地對待錯誤.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要把握學(xué)生頭腦中的迷思概念和相異構(gòu)想，并且要弄清楚這些迷思概念和相異構(gòu)想所產(chǎn)生的土壤.引導(dǎo)學(xué)生證偽，要讓學(xué)生自覺追問自身迷思概念和相異構(gòu)想所產(chǎn)生的原因.只有這樣，才能引導(dǎo)學(xué)生消除誘發(fā)錯誤的根源，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生有效地糾錯.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能讓學(xué)生停留在淺層次的“證偽”上，而是要引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)探究力.

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往是讓學(xué)生去證明一個定理、法則的誕生過程，是證實(shí)知識的真理性.而“證偽”則是去證明一個定理、法則等是“錯誤”的.證實(shí)需要學(xué)生不斷地驗(yàn)證，需要學(xué)生從各個方面去展開驗(yàn)證，而證偽則只需要學(xué)生從某一個方面、某一個層面去推翻，就能有效地證明.比如教學(xué)“一次函數(shù)”(人教版八年級下冊)時，學(xué)生遇到了這樣一道習(xí)題：一次函數(shù)y=kx+b(-1 949≤x≤2 015)，相應(yīng)的函數(shù)值取值范圍為“-2 015≤y≤1 949”，那么這個函數(shù)的解析式是什么？面對這樣的問題，很多學(xué)生都直接采用待定系數(shù)法，即將“x=-1 949，y=-2 015”和“x=2 015，y=1 949”代入y=kx+b，進(jìn)而求出系數(shù)k.面對學(xué)生片面性的思維、探究，筆者沒有直接批評、說教，而是引導(dǎo)學(xué)生追本溯源，從一次函數(shù)的增減變化等視角進(jìn)行思考，從而促進(jìn)學(xué)生的自悟自得、自悟自糾，形成對一次函數(shù)整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)知.在這個基礎(chǔ)上，學(xué)生對一次函數(shù)自變量的值與函數(shù)值進(jìn)行對應(yīng)討論，從而優(yōu)化了問題解決的思路，明晰了問題解決的路徑.

追根溯源能讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的證偽性.“證偽”有助于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度思考.從某種意義上說，任何一個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的誕生都有它的前因后果，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識的本源視角去認(rèn)知，有助于培養(yǎng)學(xué)生的證偽能力.通過追本溯源式的證偽，能有效地啟發(fā)、點(diǎn)撥學(xué)生，從而讓學(xué)生“茅塞頓開”“豁然開朗”[3].

6 結(jié)束語

數(shù)學(xué)證偽不是一個新話題，卻又是一個新話題.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要增強(qiáng)自身的證偽意識，更要引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)證偽意識，提升學(xué)生的證偽能力，讓學(xué)生從無意識、零碎的、不規(guī)范的證偽走向有意識、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性、規(guī)范性的證偽.“證偽”的思想、方法等有待教師進(jìn)行系統(tǒng)地研究.通過“證偽”教學(xué)，有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).