深入研究一節(jié)教材 精心設(shè)計導學方案
——以青島版“二次函數(shù)”的概念為例

?山東沂南第四中學 李樹臣?山東威海高區(qū)一中 韓 燕

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(簡稱《課標(2011年版)》)提出的提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)目標的落實，是通過每一節(jié)課堂教學逐步實現(xiàn)的.因此，教師應(yīng)研讀每一節(jié)教材，把握每一節(jié)教材的編寫意圖，設(shè)計好教學方案，才能保證每一節(jié)課的教學質(zhì)量.

據(jù)了解，很多老師的教案沒有體現(xiàn)出教材的編寫意圖，導致教學出現(xiàn)了“偏差”.這部分老師對教材研究的“力度”不夠，若長此以往，將很難保證實現(xiàn)《課標(2011年版)》的理念.

本文中以《課標(2011年版)》下青島版“二次函數(shù)”一節(jié)課的研究和教學設(shè)計為例，旨在說明教師首先應(yīng)認真研讀教材，把握教材編寫的意圖，才能編寫出符合教材要求的導學方案.

2 研讀教材的收獲

數(shù)學教材凝聚了編寫者的心血，他們在編寫過程中，認真學習、反復推敲《課標(2011年版)》的每一條理論要求，耐心打磨教材中的每一句話(一個字)，在比較、斟酌中篩選教材中的每一個例題、練習題.

課堂教學的主要依據(jù)是教材.教師在教學前應(yīng)反復閱讀，認真研讀，充分理解教材的編寫意圖.這對于指導教學具有現(xiàn)實意義.

教師只有反復研讀每一節(jié)(課)教材，才能把握教材的編寫意圖，明確教材的主要內(nèi)容，從而確定教學目標，找出教學重點和難點，設(shè)計出切實可行的教學方案.

青島版教材九下“5.3二次函數(shù)”主要內(nèi)容有5個問題、一個例題、兩個練習和6個習題.通過研究，可以把其分為三個主要環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)1：二次函數(shù)的建立.

整個二次函數(shù)的建立過程分三個層次：

第一層次：問題情境導入.

教材在二次函數(shù)概念引入前，設(shè)計了三個問題：(1)用鐵絲圍矩形問題；(2)小球沿光滑斜坡滾動問題；(3)企業(yè)產(chǎn)值問題.

要求學生分別寫出這三個問題中變量之間的函數(shù)表達式.

編寫意圖:初中階段學生主要學習一次函數(shù)(正比例函數(shù))、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，在學習前面兩類函數(shù)時已經(jīng)有了下述認知：(1)函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型；(2)函數(shù)是聯(lián)結(jié)兩類對象的橋梁；(3)函數(shù)是“圖形”.對函數(shù)內(nèi)容的呈現(xiàn)過程如圖1所示.

教材在這個基礎(chǔ)上，安排了“二次函數(shù)”的內(nèi)容，本節(jié)“沿襲”學習前面兩類函數(shù)的研究過程.《課標(2011年版)》對“二次函數(shù)”的第一條要求是“通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義”.結(jié)合《課標(2011年版)》提出的“現(xiàn)實性”要求，教材從“貼近學生的現(xiàn)實”出發(fā)，精心選取了上面的三個問題，其中問題(1)和(3)取材于“生活現(xiàn)實”，問題(2)取材于物理學科.

三個問題立足于學生的“生活現(xiàn)實”，有助于學生從“現(xiàn)實情境”中抽象出數(shù)學知識，進一步感悟“數(shù)學與生活”的關(guān)系，加深對模型思想的認識.這種設(shè)計符合“認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法予以解決”的《課標(2011年版)》要求.

第二層次：抽象本質(zhì)特征.

教材在這個階段的文字敘述很簡練，僅有三行字，形成了第(4)個問題：

經(jīng)過整理，以上三個問題中的函數(shù)表達式分別是：

①y=x2+30x；②S=2t2；③W=1 200x2+2 400x+1 200.

觀察這些函數(shù)表達式，你發(fā)現(xiàn)它們具有什么共同特征？

設(shè)計意圖：史寧中教授指出“抽象是從許多事物中舍棄個別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程，是形成概念的必要手段”.抽象能力是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，抽象能力是在學生經(jīng)歷抽象的過程中形成和發(fā)展起來的.這個層次的意圖就在于培養(yǎng)學生從三個表達式的眾多屬性中抽象出“共同特征”的能力，從而發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

第三層次：引入二次函數(shù)概念.

一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).

你能分別說出上述三個二次函數(shù)表達式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項嗎？

設(shè)計意圖：數(shù)學概念的教學既是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)，又是數(shù)學學習的核心.其根本任務(wù)是準確地揭示概念的內(nèi)涵與外延，使學生在思考問題、進行推理論證時能有據(jù)可依，并能創(chuàng)見性地解決問題.數(shù)學概念都有非常精確的含義，在第二個層次中，學生對三個二次函數(shù)表達式的本質(zhì)特征有了認識后，教材及時給出了二次函數(shù)的定義.這里采用的是“形式定義”法，這種定義雖然能從其中分離出概念的內(nèi)涵，按規(guī)則作外延分類，但又不是從內(nèi)涵或外延出發(fā)而構(gòu)造相應(yīng)的模式，它的著眼點在于被定義概念的本質(zhì)結(jié)構(gòu).

環(huán)節(jié)2：二次函數(shù)中自變量的取值范圍.

教材在這個環(huán)節(jié)設(shè)置了第(5)個問題：

(5)你能說出二次函數(shù)y=ax2+bx+c中變量x的取值范圍嗎？你能分別說出問題(1)(2)(3)中自變量取值的范圍嗎？

設(shè)計意圖：在引入二次函數(shù)定義后，明確自變量的取值范圍對學生理解二次函數(shù)以及后面利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題也具有積極的意義.另外，二次函數(shù)是用數(shù)學式子給出的，在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式中，每個字母符號都具有自己的意義.單就二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=ax2+bx+c來說，自變量x的取值范圍是沒有限制的，x可以取任意實數(shù).但對于從實際問題中抽象出來的具體二次函數(shù)表達式y(tǒng)=ax2+bx+c中的自變量必須確保實際問題有意義，這就客觀導致了自變量的取值不能“自由任性”，要受到一定的限制，這是學生學習中容易出現(xiàn)問題的地方.基于上面兩點，教材給出了問題(5)，學生通過思考、討論問題(5)可以達到上面的目的.

圖2

例題如圖2，從半徑為15的圓形鐵片上，挖去一個半徑為x的圓.寫出剩余部分的面積y與x之間的函數(shù)表達式，并指出自變量x可以取值的范圍.

設(shè)計意圖：這是一個實際問題，設(shè)計這個題目的目的是讓學生進一步明確二次函數(shù)與數(shù)學的關(guān)系，學會建立二次函數(shù)表達式，體會建立函數(shù)模型的過程，并且加深對自變量取值是有限制條件的認識.

3 二次函數(shù)的教學方案

有了上面對教材的研究，可以將“二次函數(shù)”這一課的宏觀教學方案設(shè)計如下：

(一)學習目標.

(1)結(jié)合具體情境，通過用表達式表示簡單實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系，體會二次函數(shù)的意義.

(2)經(jīng)歷二次函數(shù)概念的形成過程，體會二次函數(shù)也是一種數(shù)學模型.

(3)會把一個二次函數(shù)化成一般形式.

(二)重點難點.

重點：理解二次函數(shù)的有關(guān)概念，能應(yīng)用二次函數(shù)的相關(guān)知識解決簡單的問題.

難點：將簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的模型.

(三)教學過程要點.

(1)回顧函數(shù)的概念，到目前我們學了哪些函數(shù)？你能說出它們的概念嗎？

(2)自主探究.

思考下列問題，并與同學們交流.

①把一根長為60 cm的鐵絲，圍成一個矩形.寫出矩形的面積S(單位：cm2)與它的一邊長x(單位：cm)之間的函數(shù)表達式.

圖3

②一個小球由靜止開始，沿圖3所示的光滑斜坡向下滾動，經(jīng)過5 s到達斜坡的底部.實驗測得小球滾動的距離s(單位：m)與時間t(單位：s)對應(yīng)的數(shù)據(jù)如表1所示：

表1 小球滾動的距離與時間對應(yīng)表

分析表1中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)回答下面問題：

(ⅰ)當t增加時，s怎樣變化？

(ⅱ)s與t之間的函數(shù)表達式可能為.

③某企業(yè)去年的產(chǎn)值為1 200萬元.如果三年內(nèi)該企業(yè)年產(chǎn)值平均每年的增長率為x，你能寫出明年該企業(yè)年產(chǎn)值y(單位：萬元)與x之間的函數(shù)表達式嗎？

(3)抽象歸納.

觀察下面三個函數(shù)表達式，它們有什么共同特征？

①y=x2+30x；②S=2t2；③W=1 200x2+2 400x+1 200.

(4)給出二次函數(shù)概念.

(5)例題講解.

講解例題時，可引導學生列出函數(shù)表達式，再由x表示小圓半徑，從而得到x>0.另一方面，由于小圓圓心可以與大圓的圓心重合，此時要使小圓在大圓內(nèi)，x應(yīng)滿足x<15.

(6)嘗試應(yīng)用.

①分別說出下列二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.

(ⅰ)y=-x2+58x-112；(ⅱ)y=πx2.

②當系數(shù)a，b，c滿足什么條件時，函數(shù)y=ax2+bx+c是二次函數(shù)？一次函數(shù)？正比例函數(shù)？

③已知正方形的邊長是3，當邊長增加x時，面積增加y，寫出y與x之間的函數(shù)表達式.

4 兩點啟示

從前面的敘述看，只要在教材研讀方面下了功夫，把握了教材的編寫意圖，編寫教學方案就顯得很輕松，更重要的是這樣編寫出的教學方案才是有實效的.通過對青島版“二次函數(shù)”一課的教學研究，我們至少有以下兩點體會.

(1)加大研讀教材的力度.

首先，教師要樹立正確的“教材觀”.數(shù)學教學必須以教材為藍本，以教材為根本.要正確理解目前流行的“不是教教材，而是用教材教”“要創(chuàng)造性地使用教材”等“時髦”觀點.教學中教師一定要重視教材，研讀教材，不能脫離教材.有些老師企圖用所謂的“導學案”代替教材是很荒唐的做法.

其次，通過研讀教材正確把握教材的編寫意圖，這是教師編寫教學方案的基礎(chǔ)，只有這樣才能確保編寫的教學方案是針對教材的，確保教學真實有效，提高教學質(zhì)量.

(2)概念教學應(yīng)貫穿于課堂教學的始終.

數(shù)學概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式.數(shù)學概念是重要的數(shù)學基礎(chǔ)知識，是構(gòu)成數(shù)學教材的基本結(jié)構(gòu)單位，正是因為這些數(shù)學概念的存在，才形成了數(shù)學教材的知識結(jié)構(gòu).

曹才翰老先生說過，“概念是思維的細胞，數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”.數(shù)學教學必須做到“概念明確”，因為在教學中只有明確概念，才能把握概念的本質(zhì)屬性.數(shù)學公式、定理和方法都是反映數(shù)學對象和概念間關(guān)系的，學生只有建立起了正確明晰的概念，才能牢固地掌握基礎(chǔ)知識，進行命題推理.

數(shù)學概念貫穿于數(shù)學教學的始終，新授課離不開數(shù)學概念，復習課更是離不開概念，而一個個的數(shù)學知識點就是靠概念“串連”在一起的.通過復習欲達到系統(tǒng)掌握知識的目的，只要把本單元所涉及的概念串連起來就能“再現(xiàn)”教材的知識結(jié)構(gòu).所以，從數(shù)學教學的形式和內(nèi)容上看，數(shù)學概念教學始終與課堂教學并存.

概念教學是培養(yǎng)學生思維能力的起始階段和基本出發(fā)點，學生在深入理解數(shù)學概念的過程中能使自己的抽象思維得到發(fā)展.可見，數(shù)學概念教學的質(zhì)量，直接影響到學生思維能力的形成，關(guān)系到其思維能力的發(fā)展.所以，我們要把數(shù)學概念的教學融入到教學的全程之中.