基于4f系統(tǒng)的光學(xué)圖像加密與解密

盛天爽，蔡樂(lè)雨，許 諾，潘永華，丁劍平

(南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京 210093)

由于光具有高速、高并行度和多密鑰自由度(振幅、相位、偏振)的特點(diǎn)，因此光學(xué)信息加密成為信息安全領(lǐng)域的重要研究課題．目前有許多基于光學(xué)原理的信息加密的報(bào)道[1，2]，其中對(duì)于光學(xué)圖像的加密則具有重要的實(shí)際意義．自從1995年雙隨機(jī)相位編碼方法實(shí)現(xiàn)光學(xué)圖像加密[3]被首次提出之后，大量的改進(jìn)方法相繼被發(fā)明．但是這些方法都屬于對(duì)稱加密范疇，并且由于加密系統(tǒng)的線性特點(diǎn)，這些加密方法的安全性較低．為解決這一問(wèn)題，2010年P(guān)eng等人首次提出非對(duì)稱光學(xué)加密系統(tǒng)[4]，利用在雙隨機(jī)相位編碼過(guò)程中引入相位裁剪操作，使加密結(jié)果僅保留光強(qiáng)信息，實(shí)現(xiàn)了加密與解密密鑰的不一致性．這一方法在現(xiàn)有的攻擊手段下都顯示出很高的安全性．

然而，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)解密過(guò)程中會(huì)遇到解密相位掩膜密鑰在光路中難以精確放置的問(wèn)題，這使得光學(xué)解密的效率很低，阻礙了光學(xué)加密的實(shí)用化進(jìn)程．因此對(duì)于圖像加密的研究大多停留在計(jì)算機(jī)仿真階段[1,5]，有關(guān)光學(xué)實(shí)驗(yàn)的報(bào)道很少．本文基于4f系統(tǒng)設(shè)計(jì)了“對(duì)稱-非對(duì)稱混合加密”方法，將光學(xué)實(shí)驗(yàn)與計(jì)算機(jī)處理有機(jī)結(jié)合，降低了實(shí)驗(yàn)的難度．結(jié)果表明該加密方法具有良好的安全性，且在密度小于0.4的椒鹽噪聲干擾下具有較高的魯棒性．

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 阿貝成像原理

阿貝成像原理可以利用4f系統(tǒng)解釋．4f系統(tǒng)是由兩個(gè)焦距為f的全同薄透鏡L1和L2組成的光學(xué)系統(tǒng)，其中L1的后焦面與L2的前焦面重合，此平面稱為傅里葉平面．4f系統(tǒng)的輸入面為透鏡L1的前焦面，輸出面為L(zhǎng)2的后焦面．在相干光照射下，4f系統(tǒng)成像可以分為二次衍射．第一次衍射發(fā)生在輸入面s到傅里葉面s′，通過(guò)物的衍射光在L1后焦面上形成夫瑯禾費(fèi)衍射圖；第二次衍射發(fā)生在傅里葉面s′到L2的后焦面s″，將傅里葉面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖上各點(diǎn)發(fā)出的球面波在輸出面上相干疊加得到最終倒立等大的實(shí)像[6]．該過(guò)程本質(zhì)就是兩次傅里葉變換.

(1)

(2)

其中g(shù)(x,y)是輸入面光場(chǎng)復(fù)振幅分布，G(fx,fy)是對(duì)應(yīng)的空間頻譜，fx和fy是x和y方向的空間頻率，而h(x″,y″)是輸出面上光場(chǎng)復(fù)振幅分布，其滿足h(x″,y″)=g(-x,-y)．

1.2 Lee型迂回相位編碼

本實(shí)驗(yàn)對(duì)明文圖像在頻域進(jìn)行加密．在4f系統(tǒng)傅里葉面上放置特定的相位掩膜作為密鑰進(jìn)行空間濾波，則最終在4f系統(tǒng)的輸出面上可獲得模糊的密文．自行設(shè)計(jì)加密相位函數(shù)(密鑰)后利用Lee型迂回相位編碼方法制作其對(duì)應(yīng)的計(jì)算全息圖，然后加載在位于傅里葉面上的空間光調(diào)制器上．Lee型迂回相位編碼的思想是生成一個(gè)特殊的光柵，使得該光柵特定的衍射級(jí)次能夠受所設(shè)置的相位函數(shù)調(diào)制．利用Lee型迂回相位編碼制作計(jì)算全息圖的基本原理如下[7]：

對(duì)復(fù)函數(shù)exp[iφ(x,y)]選取特定個(gè)數(shù)的抽樣點(diǎn)均勻抽樣，每個(gè)抽樣點(diǎn)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上一個(gè)向量，如圖1(a)所示．在空間光調(diào)制器(SLM)上選取4×4共16個(gè)像素點(diǎn)稱為宏像素．如圖1(b)所示．將宏像素沿x軸方向分解成四個(gè)部分，分別對(duì)應(yīng)延遲相位0、π/2、π、3π/2，而宏像素y軸方向則保持不變．抽樣點(diǎn)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的向量可分解為

f(a,b)=f1(a,b)r++f2(a,b)j++f3(a,b)r-+

f4(a,b)j-

(3)

其中，r+、j+、r-、j-對(duì)應(yīng)復(fù)平面的基矢量，滿足

r+=e0,j+=eiπ/2,r-=eiπ,j-=ei3π/2

(4)

投影長(zhǎng)度f(wàn)1、f2、f3、f4是非負(fù)實(shí)數(shù)．因此對(duì)于一個(gè)抽樣點(diǎn),只要在宏像素的兩列中使用投影長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的灰度等級(jí)表示即可．對(duì)每個(gè)抽樣點(diǎn)進(jìn)行如上操作，最終在SLM上可制得一幅完整的計(jì)算全息圖．

圖1 Lee型迂回相位編碼

(5)

其中fx是x方向的空間頻率．顯然，負(fù)一級(jí)衍射光的復(fù)振幅分布受到了相位函數(shù)exp[iφ(x,y)]的調(diào)制，通過(guò)空間濾波方法可以將其單獨(dú)保留．

1.3 對(duì)稱-非對(duì)稱混合加密原理

在信息安全領(lǐng)域中有兩種普遍運(yùn)用的加密密碼，分別是對(duì)稱加密和非對(duì)稱加密．對(duì)稱加密過(guò)程中發(fā)送方的加密密鑰和接收方的解密密鑰相同．而在非對(duì)稱加密的過(guò)程中，發(fā)送方利用一個(gè)公開(kāi)的公鑰對(duì)明文進(jìn)行加密，而接收方則利用一個(gè)與之不同的非公開(kāi)的私鑰對(duì)密文進(jìn)行解密．在本實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，將兩種加密方法相結(jié)合，稱之為“對(duì)稱-非對(duì)稱混合加密”，以下對(duì)該方法的原理進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹．

令f為明文，F(xiàn)T(·)為傅里葉變換算子，IFT(·)為逆傅里葉變換算子，PT(·)為相位裁剪操作算子，PR(·)為相位保留操作算子．例如F=FT(f)=|F|exp(i2πφ)，則PT(F)=|F|，PR(F)=exp(iφ)．根據(jù)這一方法，本文設(shè)計(jì)了如圖2(a)所示的加密流程．加密者選定加密相位密鑰K，則密文g可以通過(guò)如下的加密方法得到

g(x,y)=PT[IFT[K(u,v)·FT[f(x,y)]]]

(6)

同時(shí)，加密過(guò)程中也產(chǎn)生了解密所需的密鑰P：

P(x,y)=PR[IFT[K(u,v)·FT[f(x,y)]]]

(7)

解密流程如圖2(b)所示，包含如下兩步操作：

g2(u,v)=FT [g(x,y)·P(x,y)]

(8)

f(x,y)=PT[IFT[g2(u,v)·K(u,v)*]]

(9)

顯然，密鑰K既用于加密明文，又在解密過(guò)程中決定解密密鑰K*，因此K對(duì)應(yīng)于對(duì)稱加密過(guò)程中的密鑰．而解密過(guò)程中另一密鑰P與K不同，此處K與P分別對(duì)應(yīng)非對(duì)稱加密過(guò)程中的公鑰與私鑰．至此本方法實(shí)現(xiàn)了將對(duì)稱加密和非對(duì)稱加密的結(jié)合．

圖2 方案流程

值得注意的是，本方法中的密鑰P伴隨加密過(guò)程產(chǎn)生，因此需要通過(guò)額外的安全通道傳輸給接收方．在實(shí)驗(yàn)中采用Arnold置亂方法[7]對(duì)密鑰P進(jìn)一步加密以提高密鑰傳輸?shù)陌踩裕聦?shí)上密鑰P是一個(gè)矩陣，對(duì)其中的每一個(gè)元素pij規(guī)定如下的置亂規(guī)則：pi′j′=pij，其中下標(biāo)符合的變換關(guān)系為

(10)

式(10)中a和b參數(shù)可在通信雙方的保密傳輸協(xié)議中進(jìn)行規(guī)定．N為P矩陣的階數(shù)(若P不為方陣則可根據(jù)需要添零成為方陣)．接收方可通過(guò)式(11)所示的下標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系將置亂后的矩陣P還原，獲得正確的解密密鑰P為

(11)

2 加密與解密實(shí)驗(yàn)

本文設(shè)計(jì)了如圖3(a)所示的實(shí)驗(yàn)光路對(duì)加密原理進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)實(shí)物圖如圖3(b)所示．在一套透鏡焦距為200 mm的4f系統(tǒng)的輸入面處放置第一個(gè)振幅型空間光調(diào)制器，加載簡(jiǎn)單的黑白二值圖像作為物體，圖像選為1 024 px×728 px的黑色背景，其中央有一白色“光”字，尺寸為64 px×64 px．綜合考慮空間頻率和空間光調(diào)制器的像素個(gè)數(shù)，本文選擇的加密函數(shù)K為周期性二元函數(shù):

K(x,y)=2πsin(1 750x)cos(1 750y)

(12)

在函數(shù)exp[iK(x,y)]的相位調(diào)制下，加密所得密文會(huì)在x和y兩個(gè)方向呈現(xiàn)出較大程度的扭曲，因此可以充分隱藏明文信息．本實(shí)驗(yàn)利用1.2節(jié)介紹的Lee型迂回相位編碼原理，將該函數(shù)制作成計(jì)算全息圖，并加載在位于傅里葉面的第二個(gè)振幅型空間光調(diào)制器上．以上兩個(gè)空間光調(diào)制器像素均為1 024 px×728 px(像素大小26×26 μm2)，位于輸出面上的CCD相機(jī)像素是1 024 px×1 280 px(像素大小5.6×5.6 μm2)，當(dāng)物體大小選擇合適時(shí)總可以在CCD相機(jī)上接收到完整的密文．由(5)式可知負(fù)一級(jí)衍射圖樣是最終所需的加密結(jié)果，但兩次透鏡的傅里葉變換作用導(dǎo)致其最終是倒立像．為此，將CCD相機(jī)接收?qǐng)D像設(shè)置成自動(dòng)旋轉(zhuǎn)圖像180°，如圖4所示得到的白框內(nèi)衍射圖樣即為加密結(jié)果．另外，為了防止零級(jí)像將明文泄露，實(shí)際實(shí)驗(yàn)中在每臺(tái)空間光調(diào)制器前后各加了一個(gè)偏振片，如圖3(b)所示，通過(guò)旋轉(zhuǎn)偏振片到合適的角度可以將零級(jí)像消去．由于CCD相機(jī)只能接收到光強(qiáng)信息，且光強(qiáng)正比于復(fù)振幅分布的強(qiáng)度的平方，所以相位剪裁的操作可以自動(dòng)完成．為了將相位保留生成解密密鑰P，可以對(duì)原始輸入圖像利用式(5)進(jìn)行計(jì)算，從而獲得相位分布．由于得到的P矩陣為1 024×728階矩陣，為了滿足1.3節(jié)介紹的Arnold置亂的要求，必須對(duì)P矩陣補(bǔ)零使之成為方陣后再進(jìn)行Arnold置亂，最終完成加密流程．

實(shí)驗(yàn)光路圖

圖4 加密前后對(duì)比

為了解決實(shí)驗(yàn)時(shí)共軛密鑰K*所對(duì)應(yīng)的相位掩膜難以在光路中精確放置問(wèn)題，本文自行設(shè)計(jì)了解密程序,使得解密操作可由計(jì)算機(jī)精確執(zhí)行，大幅度提高了解密效率和質(zhì)量．該計(jì)算機(jī)程序不僅可對(duì)密鑰P進(jìn)行恢復(fù)，而且可自動(dòng)過(guò)濾出CCD接收?qǐng)D片中正一級(jí)加密圖樣．通過(guò)圖5所示的濾出的一級(jí)密文可知其基本隱藏了明文信息．將密文圖像強(qiáng)度信息結(jié)合利用式(11)，恢復(fù)后的密鑰P所代表的相位分布就可以重建出一級(jí)衍射光場(chǎng)．之后計(jì)算機(jī)可以結(jié)合K*和P，并根據(jù)(8)、式(9)對(duì)重建的復(fù)振幅進(jìn)行計(jì)算，最終獲得解密像．圖5所示的解密結(jié)果表明其與明文高度相似，但是其亮度不及明文，具體原因是一級(jí)衍射場(chǎng)分配到的能量小于入射光總能量，因此光強(qiáng)有所下降．另外，由于程序解密計(jì)算的原理完全基于解密相位掩膜精確放置的理想解密光路，因此解密難度降低而且不會(huì)引入環(huán)境噪聲．

圖5 解密前后對(duì)比

3 性能分析

原始明文與解密結(jié)果之間的相似度可以通過(guò)兩幅圖像的相關(guān)度定量表示．相關(guān)度CC的定義是

(13)

(14)

其中0≤α≤1，rand(-2π,2π)代表(-2π,2π)區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)．正確度α反應(yīng)了假想的竊密者在竊聽(tīng)時(shí)對(duì)密鑰引入的隨機(jī)噪聲，正確度越高則噪聲越?。?/p>

圖6 CC值與K*密鑰正確度關(guān)系

另外，本文還證明了使用密鑰P可使加密方法的安全性進(jìn)一步提高．假設(shè)竊密者同時(shí)截獲了加密圖片和被加密的密鑰P，但由于未知保密傳輸協(xié)議中的置亂參數(shù)而無(wú)法將密鑰P正確恢復(fù)，此時(shí)如果竊密者使用強(qiáng)力攻擊破譯置亂參數(shù)，其解密結(jié)果如圖7(a)所示．而圖7(b)(c)分別表明竊密者沒(méi)有截獲密鑰P而直接對(duì)密文進(jìn)行強(qiáng)力攻擊，和竊密者只通過(guò)密鑰K進(jìn)行解密時(shí)都無(wú)法獲得正確的解密結(jié)果．同時(shí)通過(guò)計(jì)算可得這些解密結(jié)果與明文之間的相關(guān)度CC值都非常低，這進(jìn)一步證明了對(duì)稱-非對(duì)稱混合加密方法具有很高的安全性．

置亂參數(shù)錯(cuò)誤 強(qiáng)力攻擊 只使用密鑰K解密圖7 錯(cuò)誤解密結(jié)果

考慮到實(shí)際傳輸時(shí)密文會(huì)因受到干擾而引入噪聲，在這種情況下能否正確還原出明文考驗(yàn)的是加密方案的魯棒性．本文利用計(jì)算機(jī)模擬方法在密文中加入椒鹽噪聲，噪聲密度從0至0.45每隔0.05取一個(gè)值，隨后利用正確的解密方法進(jìn)行解密，利用式(13)計(jì)算不同椒鹽噪聲密度影響下的解密結(jié)果和原始圖像之間的相關(guān)度．最終用折線將數(shù)據(jù)點(diǎn)連接，得到圖8．結(jié)果表明在密度低于0.4的椒鹽噪聲影響下，解密結(jié)果與明文之間的相關(guān)度均超過(guò)0.8，說(shuō)明本加密方法在較低噪聲下具有較高的魯棒性．

圖8 椒鹽噪聲影響下的加密方案魯棒性測(cè)試

最后需要指出的是，對(duì)密鑰K改進(jìn)可以進(jìn)一步提升加密安全性．例如將K設(shè)置為隨機(jī)相位函數(shù)．理論上同樣可以利用該隨機(jī)相位函數(shù)對(duì)應(yīng)的計(jì)算全息圖對(duì)明文圖像的頻譜進(jìn)行相位調(diào)制，這會(huì)使得CCD接收到的加密圖案更接近白噪聲，從而提高加密的安全性．但是這種隨機(jī)衍射會(huì)導(dǎo)致加密圖像向空間各個(gè)方向散射，使得無(wú)法通過(guò)CCD接收到完整的加密圖像．解決該問(wèn)題的方法是換用純相位調(diào)制型空間光調(diào)制器直接對(duì)頻譜進(jìn)行相位調(diào)制．由于目前受器材限制，無(wú)法對(duì)此進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證．如果條件允許，這不乏是一種更安全的加密手段．

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于4f光路設(shè)計(jì)了一套對(duì)稱-非對(duì)稱混合加密系統(tǒng)．該系統(tǒng)有K與P兩幅密鑰．首先通過(guò)Lee型迂回相位編碼生成密鑰K對(duì)應(yīng)的計(jì)算全息圖，并將其放置于4f系統(tǒng)的傅里葉面上對(duì)明文圖像進(jìn)行頻域加密，最終使用CCD相機(jī)接收加密密文．與此同時(shí)利用相應(yīng)公式對(duì)明文計(jì)算生成密鑰P，并通過(guò)Arnold置亂操作對(duì)密鑰P進(jìn)行加密從而實(shí)現(xiàn)保密傳輸．利用自行編寫(xiě)的計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行解密操作，大幅度提升解密的效率和質(zhì)量．實(shí)驗(yàn)表明該加密方法具有較高的安全性，同時(shí)也證明了本方案在密度小于0.4的椒鹽噪聲干擾下具有較好的魯棒性．同時(shí)本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)也為光學(xué)加密實(shí)驗(yàn)方面的研究開(kāi)辟了新的思路．