關(guān)于隨機(jī)誤差處理的一點(diǎn)討論

張智明

(1. 廣東理工學(xué)院 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心，廣東 肇慶 526100；2. 華南師范大學(xué) 廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510006)

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課是理工類專業(yè)大學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后的第一門實(shí)驗(yàn)課，基礎(chǔ)性強(qiáng)，涉及的專業(yè)和人數(shù)較多. 狹義地講，它能幫助學(xué)生加深對物理學(xué)本身的理論和原理的理解. 廣義地講，它對培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和學(xué)風(fēng)、較強(qiáng)的動手能力、細(xì)心的觀測能力以及對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的歸納、整理和分析能力等具有不可替代的作用. 基于此，《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》教材在科學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性、在邏輯上的自洽性就顯得非常重要. 然而，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少教材中存在著這樣或那樣的問題. 本文旨在討論其中的一些問題.

1 存在的問題

為了下面的敘述方便，先引入若干相關(guān)概念.設(shè)待測物理量為X，其真值為x0.在相同的條件下對物理量X做多次(N次)重復(fù)測量(即所謂的等精度測量)，測得一組值{xk}(k=1,2,…,N)(稱為測量列).在這個測量列中，第k次測得值xk的誤差為

δk=xk-x0

(1)

X的算術(shù)平均值為

(2)

下面列舉一些在《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》教材[1-5]中關(guān)于隨機(jī)誤差處理的一些問題.

問題1:在許多《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》教材中有如下表述：測量列{xk}的隨機(jī)誤差由下列標(biāo)準(zhǔn)方差描述:

(3)

但未解釋為什么要用這個量來描述.

(4)

當(dāng)用殘差vk代替誤差δk時，標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的表達(dá)式變?yōu)?稱為貝塞爾公式)

(5)

(6)

許多教材中既沒有給出公式(5)和(6)的證明，也沒有引用相關(guān)文獻(xiàn).

問題3:在許多《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》教材中有如下表述：最常見的一種隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布(高斯分布)，其概率分布函數(shù)的表達(dá)式為

(7)

其中誤差δ和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ分別為

δ=x-x0

(8)

(9)

[注：式(9)即為式(3)，但為了討論方便，這里重寫了一遍].式(8)中的x為物理量X在連續(xù)變化情況下的測量值.顯然，由式(7)到式(9)的表述是不自洽的，因?yàn)槭?7)和式(8)是連續(xù)變量(x連續(xù)變化)的形式，而式(9)是離散變量(xk不連續(xù)變化)的形式.

下面將依次給出對問題1的回答,給出式(5)和式(6)的證明,給出問題3的自洽描述.

2 對問題1的回答

如上所述，對測量列{xk}(k=1,2,…,N)，第k次測得值xk的誤差δk由式(1)描述.對隨機(jī)誤差，xk可以等于、大于、或小于x0，從而δk可以等于零，也可正可負(fù)、可大可小，是完全隨機(jī)的，因此，當(dāng)測量次數(shù)N足夠大時，可以合理地認(rèn)為，誤差{δk}的平均值：

(10)

(11)

3 式(5)的證明

式(1)和式(4)相減可得

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

由式(14)得

(17)

(18)

將式(18)代入式(16)得

(19)

利用方差的定義式(11)，上式變?yōu)?/p>

于是得

(20)

4 式(6)的證明

首先介紹誤差傳遞公式[6-8]：設(shè)F是多個自變量{xk}的函數(shù)F({xk})，則F的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(21)

其中σxk是每個自變量xk的標(biāo)準(zhǔn)偏差.這就是誤差傳遞公式.

(22)

(23)

這正是式(6).該式表明，適當(dāng)增加重復(fù)測量的次數(shù)，可以減小測量誤差.

5 關(guān)于問題3的討論

現(xiàn)在考慮在測量列{xk}(k=1,2,…,N)中有相等測得值的情況.設(shè)在N個測得值中有M(M≤N)個不同的測得值xj(j=1,2,…,M)，且xj出現(xiàn)nj次，則算術(shù)平均值可寫為

(24)

(25)

(26)

當(dāng)測量次數(shù)N→∞時，過渡到測得值x連續(xù)變化的情況(連續(xù)變量情況).定義測得值x的概率分布函數(shù)(概率密度)p(x)為測得值落在x附近單位區(qū)間的概率，則測得值落在區(qū)間x→x+dx的概率為p(x)dx.顯然，概率分布函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件：

(27)

在連續(xù)變量情況下，誤差、算術(shù)平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)偏差分別定義為

δ(x)=x-x0

(28)

(29)

(30)

(31)

現(xiàn)在回到問題3.相關(guān)內(nèi)容[式(7)到式(9)]的自洽表述應(yīng)該如下[式(32)到式(35)]：最常見的一種概率分布是所謂的正態(tài)分布，也稱為高斯分布，其函數(shù)形式為

(32)

或

(33)

其中

δ(x)=x-x0

(34)

(35)

表1給出了連續(xù)變量情況和離散變量情況下的若干對應(yīng)公式，以供參考.

表1 離散變量和連續(xù)變量情況下的若干對應(yīng)公式

6 結(jié)束語

本文討論了在《大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)》教材中用于描述隨機(jī)誤差的若干概念的物理意義，給出了用于隨機(jī)誤差處理的若干公式的證明，糾正了一些教材中關(guān)于正態(tài)分布的不自洽表述.