關(guān)于縱波能量的分析

周 越，張國(guó)鋒

(1. 北京林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，北京 100083；2. 北京航空航天大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100191)

根據(jù)振動(dòng)方向和傳播方向的關(guān)系，機(jī)械波可分為橫波和縱波. 橫波的振動(dòng)方向與傳播方向相垂直，在介質(zhì)中產(chǎn)生交替出現(xiàn)的波峰和波谷，與波形曲線一致，比較清晰直觀；縱波的振動(dòng)方向與傳播方向相平行，在介質(zhì)中產(chǎn)生交替出現(xiàn)的密部和疏部. 與橫波相比，縱波的振動(dòng)傳播過(guò)程比較抽象，僅靠靜態(tài)的圖像不易講清楚. 縱波的能量是學(xué)生疑問(wèn)較多的內(nèi)容，例如，直觀上密部中的能量密度要比疏部中的大，而在普通物理教材中給出的能量密度分布以半波長(zhǎng)為周期，并未體現(xiàn)介質(zhì)密度變化的影響；再如，在縱波中有一半的體積元運(yùn)動(dòng)方向是和能流方向相反的. 本文詳細(xì)討論了縱波中的能量密度分布和能流的成因，以澄清這些疑問(wèn).

1 教材中對(duì)簡(jiǎn)諧波能量的處理

普通物理教材在討論機(jī)械波的能量問(wèn)題時(shí)，一般考慮一列平面簡(jiǎn)諧行波：

y=Acos(ωt-kx+φ)

(1)

在介質(zhì)中取一個(gè)體積元dV，當(dāng)波通過(guò)體積元傳播時(shí)，體積元在平衡位置附近振動(dòng)，因而具有動(dòng)能：

(2)

由于各體積元的振動(dòng)相位不同，會(huì)使介質(zhì)發(fā)生形變，因而具有彈性勢(shì)能[1]：

(3)

對(duì)于固體中傳播的機(jī)械縱波，Y表示楊氏彈性模量.將式(1)代入式(2)和式(3)，并利用Y=ρu2和k=ω/u等關(guān)系，可得

(4)

因此單位體積介質(zhì)包含的波動(dòng)能量即能量密度可表示為

(5)

波的傳播伴隨著能量在介質(zhì)中的流動(dòng)，這一特性可以由能流描述.由式(5)可知，介質(zhì)中的能量分布是整體向x軸正方向平移的，且速度就是簡(jiǎn)諧波的波速u.如果取一個(gè)垂直于波傳播方向的截面S，則在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)S的能量是體積Sudt內(nèi)所包含的波動(dòng)能量.因此，單位時(shí)間內(nèi)垂直通過(guò)S的能量即能流可以表示為

P(x,t)=w(x,t)Su

(6)

2 縱波的能量密度按實(shí)際空間位置的分布

根據(jù)式(5)，能量密度在空間中呈周期分布，周期是簡(jiǎn)諧波波長(zhǎng)的一半. 但如果考察介質(zhì)中體積元的分布和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以發(fā)現(xiàn)在縱波中能量密度的實(shí)際分布并非如此. 如圖1，取一個(gè)整周期的波形，波形曲線如下方所示. 平衡位置位于a、c、e的體積元在最大位移處，無(wú)形變且振動(dòng)速度為0，因此無(wú)波動(dòng)能量；平衡位置位于b、d的體積元恰好經(jīng)過(guò)平衡位置，振動(dòng)速度和形變均最大，波動(dòng)能量取極大值.但由于縱波的振動(dòng)方向與傳播方向平行，體積元實(shí)際位置和平衡位置的x坐標(biāo)一般并不相同.例如，平衡位置在a、c、e的體積元實(shí)際上分別位于a’、c’和e’處，a’、c’和e’才是真正能量密度零點(diǎn).因此，相鄰兩個(gè)能量密度零點(diǎn)間距不是λ/2，而是λ/2-2A和λ/2+2A相間排列.此外，縱波的傳播會(huì)產(chǎn)生交替分布的密部和疏部，a、c間的介質(zhì)被壓縮到a’、c’之間，對(duì)應(yīng)于密部；c、e間的介質(zhì)被拉伸到c’、e’之間，對(duì)應(yīng)于疏部.如果將最大位移處的體積元視為密部和疏部的邊界，每個(gè)密部和疏部包含相等的波動(dòng)能量，但密部的總體積小于疏部，這說(shuō)明密部比疏部中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(即振動(dòng)相位相差π的體積元)應(yīng)具有更大的能量密度. 總之，要想精確地描述介質(zhì)中能量密度的分布情況，必須考慮體積元實(shí)際位置與平衡位置的差別以及介質(zhì)中的密度分布.

圖1 波形曲線與體積元的實(shí)際位置

首先考慮密度變化的影響，在介質(zhì)中垂直于波的傳播方向隔離出原長(zhǎng)為dx的一個(gè)薄片，其左側(cè)和右側(cè)截面平衡位置的坐標(biāo)分別為x和x+dx.當(dāng)波通過(guò)這段介質(zhì)時(shí)，左側(cè)和右側(cè)截面處的位移分別是y和y+dy.這時(shí)，原長(zhǎng)dx的介質(zhì)薄片長(zhǎng)度變?yōu)閐x+dy，如果忽略垂直方向的形變，則該處介質(zhì)的密度為

(7)

對(duì)于線性波，不會(huì)出現(xiàn)后方的體積元追上前方體積元的情況，這要求kA<1.將式(5)中的ρ用式(7)代替，可得

(8)

式(8)表示平衡位置為x的體積元所在位置的能量密度.

平衡位置為x的體積元在t時(shí)刻的實(shí)際位置是

x′=x+Acos(ωt-kx+φ)

(9)

可以把x表示為x′和t的函數(shù)

x=f(x′,t)

(10)

f(x′,t)的意義是，在t時(shí)刻位于x′處的體積元的平衡位置坐標(biāo).f(x′,t)無(wú)法用解析法表示，但從式(9)不難得出，f(x′,t)是關(guān)于t的周期函數(shù)，且周期等于簡(jiǎn)諧波的周期T.利用式(10)可以把能量密度表示為x′和t的函數(shù)，即

(11)

w′(x′,t)即能量密度按實(shí)際位置的分布，其在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)的曲線如圖2中實(shí)線所示，窄而高的峰對(duì)應(yīng)于密部的能量密度分布，寬而低的峰對(duì)應(yīng)于疏部的能量密度分布，兩個(gè)峰寬度與高度的比例關(guān)系取決于A/λ.作為比較，w(x,t)的分布曲線以虛線表示，其兩個(gè)峰的寬度和高度均相等.當(dāng)A<<λ時(shí)，f(x′,t)≈x′，kA<<1，式(11)過(guò)渡到式(5).因此，式(5)實(shí)際是在振幅遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)的條件下對(duì)縱波能量密度分布的近似表示.

圖2 能量密度的空間分布(A=0.1λ)

3 縱波的能流

在介質(zhì)中，各體積元的振動(dòng)狀態(tài)在空間中以u(píng)的速度傳播，波動(dòng)能量也應(yīng)以相同的速度傳播.如果把ωt-kf(x′,t)+φ=const.看作x′關(guān)于t的隱函數(shù)，不難證明dx′/dt=u.因此式(6)仍然成立，只需將w(x,t)替換為式(11)中的w′(x′,t)，即

P(x′,t)=w′(x′,t)Su=

(12)

P(x′,t)在一個(gè)周期內(nèi)隨時(shí)間的變化曲線如圖3中實(shí)線所示.由能流的定義可知，P(x′,t)的變化規(guī)律與圖2中能量密度分布曲線以波速u向右平移時(shí)，在某一x′處被截得的值變化規(guī)律相同.

下面具體分析能流的組成和成因.要維持波在介質(zhì)中的傳播，波源一側(cè)必需有持續(xù)的能量輸入.在波傳播的過(guò)程中，介質(zhì)的每個(gè)體積元將對(duì)下游的體積元做功，這產(chǎn)生了向下游傳播的能流.如在x′處取一垂直波傳播方向的截面S，則由做功產(chǎn)生的能流等于截面S左側(cè)對(duì)右側(cè)介質(zhì)的功率：

P1(x′,t)=F(x′,t)v(x′,t)

(13)

平衡位置為x的介質(zhì)對(duì)右側(cè)單位面積介質(zhì)的作用力，可以表示為[2]

(14)

則對(duì)于坐標(biāo)為x′的垂直截面S，此作用力為

F(x′,t)=-YSkAsin[ωt-kf(x′,t)+φ]

(15)

在該截面處，體積元的振動(dòng)速度為

v(x′,t)=-ωAsin[ωt-kf(x′,t)+φ]

(16)

這里應(yīng)特別指出的是

(17)

式(17)右側(cè)給出的是出現(xiàn)在x′處(不同的)體積元的位移隨時(shí)間的變化率，而不是位于x′的體積元在時(shí)刻t的振動(dòng)速度.將式(15)和式(16)代入式(13)可得

P1(x′,t)=YSωkA2sin2[ωt-kf(x′,t)+φ]

=ρω2A2Susin2[ωt-kf(x′,t)+φ]

(18)

由于對(duì)截面右側(cè)介質(zhì)的作用力總是與其振動(dòng)方向一致，因此P1(x′,t)≥0.P1(x′,t)在一個(gè)周期內(nèi)隨時(shí)間的變化如圖3中虛線所示，包含寬窄不同的兩個(gè)峰，較窄的峰為截面處于密部時(shí)產(chǎn)生.由于密度的寬度較疏部窄，在一個(gè)周期中截面處于密部的時(shí)間小于半個(gè)周期.但是，截面處于密部和疏部中心時(shí)截面兩側(cè)相互作用力和截面處介質(zhì)的振動(dòng)速度大小都是相等的，相應(yīng)地相互作用的功率也相等，因此兩個(gè)峰具有相同的高度.

圖3 能流的時(shí)間分布(A=0.1λ)

文獻(xiàn)[2]、[3]中認(rèn)為P1(x′,t)就是通過(guò)介質(zhì)的全部能流，其實(shí)也是在波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于振幅時(shí)的一種近似.對(duì)于縱波，體積元的運(yùn)動(dòng)方向與截面S垂直，在平衡位置附近振動(dòng)的過(guò)程中可能穿過(guò)截面，其所攜帶的能量也會(huì)穿過(guò)截面，這同樣對(duì)能流有貢獻(xiàn).在S處，由體積元自身運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的能流為

P2(x′,t)=w′(x′,t)Sv(x′,t)

(19)

代入式(8)和式(16)可得

(20)

P2(x′,t)的曲線如圖3中的點(diǎn)橫線所示，由于體積元可以從任何一側(cè)穿過(guò)截面，因此P2(x′,t)既可為正，也可為負(fù).由圖1可以看出，當(dāng)截面S位于密部時(shí)，體積元從左向右穿過(guò)截面，P2(x′,t)為正；截面S位于疏部時(shí)則相反.由于密部的寬度比疏部小，在簡(jiǎn)諧波的一個(gè)周期中P2(x′,t)為正的時(shí)間小于半個(gè)周期.但密部中的體積元具有較大的能量密度，在一個(gè)周期中從兩個(gè)方向穿過(guò)截面的體積元攜帶的總能量相等.因此P2(x′,t)只會(huì)改變能流的瞬時(shí)值，而對(duì)平均能流沒(méi)有影響.P2(x′,t)對(duì)瞬時(shí)能流影響的大小取決于A/λ，如波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于振幅，由于|P2(x′,t)|∝A3而|P1(x′,t)|∝A2λ，因此|P2(x′,t)|<<|P1(x′,t)|，這時(shí)可以近似地把P1(x′,t)作為通過(guò)介質(zhì)的能流.

介質(zhì)中總的能流等于兩種機(jī)制產(chǎn)生的能流之和：

P(x′,t)=P1(x′,t)+P2(x′,t)=

(21)

這樣再次證明了式(12).可以看到，雖然體積元自身的運(yùn)動(dòng)可以產(chǎn)生一個(gè)向x軸負(fù)方向傳播的能流，但其絕對(duì)值小于同一時(shí)刻由體積元間做功產(chǎn)生的能流，因此總的能流恒為非負(fù)，在任意時(shí)刻能量輸運(yùn)的方向均與平面簡(jiǎn)諧波的傳播方向一致.

4 縱波的平均能量密度和平均能流

簡(jiǎn)諧波能量密度和能流都隨時(shí)間周期性變化，在不關(guān)注瞬時(shí)值時(shí)一般可在簡(jiǎn)諧波的一個(gè)周期內(nèi)求其平均.一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)截面的能量等于底面為S，高為λ的柱體包含的波動(dòng)能量.結(jié)合圖1可以看到，實(shí)際位置間距為λ的兩個(gè)體積元，其平衡位置間距也是λ，不受介質(zhì)壓縮和拉伸的影響.因而在計(jì)算一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)的總能量時(shí)，利用式(11)與式(5)得到的結(jié)果是相同的，相應(yīng)地兩者的平均值也相同.下面直接對(duì)式(11)求平均來(lái)驗(yàn)證這一結(jié)論.由于S和u都不是時(shí)變的，故有

(22)

其中T=2π/ω.定義

(23)

可以證明

(24)

由定積分的性質(zhì)可得

(25)

注意到g(x′,t)的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)均以T為周期，當(dāng)t=0和t=T時(shí)等值，因此

(26)

與由式(5)和式(6)式導(dǎo)出的平均能量密度和平均能流相同.

5 總結(jié)

對(duì)縱波而言，普通物理教材中給出能量密度和能流是在振幅遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)時(shí)的近似表達(dá)式，當(dāng)振幅較大時(shí)應(yīng)考慮介質(zhì)壓縮和拉伸引起的密度變化，以及體積元實(shí)際位置和平衡位置間的差異；能量密度和能流在一個(gè)周期內(nèi)的平均值不受這些因素的影響.在縱波中能流有兩個(gè)來(lái)源：其一是介質(zhì)中體積元之間的功；其二是攜帶波動(dòng)能量的體積元自身的運(yùn)動(dòng)，后者可能與波的傳播方向相反，但在介質(zhì)中總的能流總是指向波的傳播方向.