整式概念學(xué)習(xí)中常見錯誤例析

?湖南省長沙市特殊教育學(xué)校 陳賽蘭

整式分為單項式與多項式，對單項式與多項式的有關(guān)概念，教材中都作了嚴(yán)格的界定.但由于學(xué)生對概念的內(nèi)涵理解不透徹、不到位，導(dǎo)致做題時出錯；抑或?qū)Ω拍畹耐庋铀奶厥鈱ο罅私獠粔?，認(rèn)識不足，導(dǎo)致做題時出錯.以下筆者結(jié)合實(shí)例，作一分析！

1 在區(qū)分單項式和多項式時出錯

單項式與多項式只有一字之差，但意義卻完全不同.單項式是數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式，它包括三種類型：單獨(dú)的數(shù)字；單獨(dú)的字母；數(shù)與字母的乘積.單獨(dú)的數(shù)字可以看作字母指數(shù)為0的單項式，單獨(dú)的字母可以看作系數(shù)是1或-1的單項式.當(dāng)整式里的單項式不止一個時，這時的整式就稱為多項式，多項式實(shí)際上是多個單項式的組合體.

錯解：單項式有②⑥；多項式有③⑤.

正解：單項式的有①④⑥；多項式的有②③.

例2下列判斷錯誤的是( ).

B.2 020是單項式

C.-a不是單項式

錯解：AD.

正解：C.

評注：正確理解單項式與多項式的概念是解決問題的前提條件.在區(qū)分單項式與多項式時，應(yīng)著重觀察整式中是否含有加號或減號，若含有則是多項式，若沒有則是單項式.

2 在確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時出錯

在合并同類項時，參與運(yùn)算的是幾個同類項的系數(shù)，不變的是字母與字母的指數(shù).而同類項也是單項式，所以確定單項式的系數(shù)很重要，它是正確合并同類項的前提.單項式的次數(shù)是單項式的一個重要特征，其對于多項式次數(shù)的確定至關(guān)重要.

錯解：①4；②6.

例4已知(m-3)x3y|m|+1是關(guān)于x，y的七次單項式，則m2-2m+2=.

錯解：5或17.

剖析：單獨(dú)的一個數(shù)也是單項式，如數(shù)0，它的系數(shù)是0，次數(shù)也是0；15，它的系數(shù)是15，次數(shù)是0.既然例4中的單項式的次數(shù)不是0，那么就必須保證字母的存在.保證字母存在需要滿足單項式的系數(shù)不能為0，并且所有字母的指數(shù)和不為0.根據(jù)題意，可得3+|m|+1=7且m-3≠0，解得m=-3.所以m2-2m+2=9+6+2=17．

正解：17.

評注：在確定單項式的系數(shù)時，先要把式子寫成乘積的形式，然后再找數(shù)字因數(shù)；在確定單項式的次數(shù)時，只關(guān)注其中的字母，然后把字母的指數(shù)相加即可.

3 在確定多項式的項時出錯

多項式的項是指其中的每一個單項式，弄清多項式里的每一項尤為重要.在進(jìn)行多項式的升降排列時，需要對多項式的某些項重新調(diào)整位置，只有理清了每一項，才不會出錯；在整式的加減運(yùn)算中，去括號及合并同類項，都需要變動其中某一項的位置，這也要求學(xué)生知道多項式的每一項.

例5多項式2a-3a2b3+4ab2-16的最高次項是，常數(shù)項是.

錯解：最高次項是5,常數(shù)項是16.

剖析：多項式的項是指多項式中的每一個單項式，每個單項式都包括它系數(shù)的正負(fù)號，所以例5中的多項式的最高次項是-3a2b3，而5是最高次項的次數(shù).常數(shù)項是-16，不能丟掉它前面的符號.

正解：最高次項是-3a2b3，常數(shù)項是-16.

例6關(guān)于多項式-x3y+xy-7，下列說法錯誤的是( ).

A．是四次三項式 B．最高次項系數(shù)是-1

C．不含二次項 D．常數(shù)項是-7

錯解：AD.

剖析：多項式的項是指多項式中的每一個單項式，每個單項式都包括它系數(shù)的正負(fù)號.所以例6中的多項式由三項組成，分別是-x3y，+xy，-7.其中-x3y是最高次項，它的系數(shù)是-1，次數(shù)是4；+xy是二次項，系數(shù)是+1，次數(shù)是2；-7是常數(shù)項.

正解：C.

評注：注意“最高次項”“最高次項的次數(shù)”“最高次項的系數(shù)”這幾個名詞的不同,它們主語分別是“項”“次數(shù)”“系數(shù)”，前面的文字是主語修飾詞.雖然研究的是同一項，但所關(guān)注的要素不同.

4 在確定多項式的次數(shù)時出錯

多項式的次數(shù)是指在多項式中，比較各單項式項的次數(shù)，將次數(shù)最高的項的次數(shù)作為多項式的次數(shù).多項式的次數(shù)是多項式的重要內(nèi)容，當(dāng)我們說某個多項式是幾次幾項式時，首先要確定它的次數(shù)；在確定整式方程是幾次方程時，實(shí)際上也是依據(jù)多項式次數(shù)的概念進(jìn)行定義的.

例7若m，n均為自然數(shù)，且m

錯解：n=4.

剖析：π是圓周率，是一個常數(shù)，所以-πn+2也是一個常數(shù).多項式中常數(shù)項因為不含字母，所以它的次數(shù)為0，從而常數(shù)項的次數(shù)最低.因為m

正解：n=5.

例8已知關(guān)于x，y的多項式x4+(m+2)xny-xy2+3．

(1)當(dāng)m，n為何值時，它是五次四項式？

(2)當(dāng)m，n為何值時，它是四次三項式？

錯解：(1)n=4，m為任意實(shí)數(shù)；(2)m，n均為任意實(shí)數(shù).

剖析：(1)多項式x4+(m+2)xny-xy2+3中，第一、二、三、四項的次數(shù)分別是4，(n+1)，3，0，要使這個多項式的次數(shù)為5，則n+1=5，解得n=4.但是第二項的系數(shù)是m+2，當(dāng)它為0時，則不合題意，因此m+2≠0，即m≠-2.(2)要把原來的四項式變?yōu)槿検?，必須讓其中的一項?，觀察多項式可以發(fā)現(xiàn)，第一、三、四項都不可能為0，只有第二項有這個條件，因為它的系數(shù)是m+2.因此，當(dāng)m+2=0時，即m=-2，多項式變?yōu)槿検?，此時n為任意實(shí)數(shù).

正解：(1)n=4，m≠-2.

(2)m=-2，n為任意實(shí)數(shù).

評注：在確定多項式的次數(shù)時，只觀察含字母的項，在含字母的項中，次數(shù)最高的項的次數(shù)就是所求多項式的次數(shù).特別注意的是“π”也表示一個數(shù)，只不過它是我們將來要學(xué)習(xí)的無理數(shù).它不是字母.

“人非圣賢，孰能無過”！在新知識的學(xué)習(xí)過程中，由于學(xué)生對問題的認(rèn)識角度及側(cè)重點(diǎn)不同，因此犯一些錯誤也是正常的.隨著錯誤的糾正，學(xué)生對知識的認(rèn)識會更加深刻，同時，也提高了自身的思辨能力.人生不就是在不斷的犯錯糾錯中成長起來的嗎？