ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)的應(yīng)用

甘述鴻

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，則有ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）.

巧用上面的結(jié)論解與一元二次方程和二次函數(shù)有關(guān)的問題可化繁為簡，化難為易，現(xiàn)舉例說明.

一、求方程中待定的常數(shù)的值

例1若方程（x-a）（x-8）-1=0有兩個整數(shù)根，求a的值.

解設(shè)方程的兩個整數(shù)根分別為x1，x2，

則有（x-a）（x-8）-1=（x-x1）（x-x2），

令x=8，

解得x1=7，x2=9或x1=9，x2=7，

所以（x-a）（x-8）-1=（x-7）（x-9），

再令x=9，則9-a-1=0，

解得a=8.

練習(xí)：已知方程x2-（2a+1）x+2（4a-7）=0，當(dāng)兩個實(shí)數(shù)根都大于3時，求a的取值范圍.

二、用于證明

例2如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根之比為2∶3，求證：6b2=25ac.

證明設(shè)方程的兩根分別為x1=2k，x2=3k，由結(jié)論得

ax2+bx+c=a（x-2k）（x-3k）=ax2-5akx+6ak2，

∴b=-5ak，c=6ak2，

6b2=6（-5ak）2=150a2k2，

25ac=25a·6ak2=150a2k2，

∴6b2=25ac.

三、用于分解因式

例3閱讀下面材料：

若設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根分別為x1，x2，那么由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-ba，x1x2=ca.∵ba=-（x1+x2），ca=x1x2，∴ax2+bx+c=ax2+bax+ca=a[x2-（x1+x2）x+x1x2]=a（x-x1）（x-x2）.于是，二次三項(xiàng)式就可以分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）.

（1）請用上面的方法將多項(xiàng)式4x2+8x-1分解因式.

（2）判斷二次三項(xiàng)式2x2-4x+7在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否能利用上面的方法因式分解，并說明理由.

（3）如果關(guān)于x的二次三項(xiàng)式mx2-2（m+1）x+（m+1）（1-m）能用上面的方法分解因式，試求出m的取值范圍.

分析（1）令多項(xiàng)式等于0，得到一個一元二次方程，利用公式法求出方程的兩解，代入ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）中即可把多項(xiàng)式分解因式;

（2）令二次三項(xiàng)式等于0，找出其中的a，b及c，計算出b2-4ac，發(fā)現(xiàn)其值小于0，所以此方程無解，故此二次三項(xiàng)式不能利用上面的方法分解因式;

（3）因?yàn)榇硕稳?xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三項(xiàng)式等于0，得到的方程有解，即b2-4ac大于或等于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍.

解（1）令4x2+8x-1=0，

∵a=4，b=8，c=-1，b2-4ac=64+16=80>0，

∴x1=-2+52，x2=-2-52，

則4x2+8x-1=4x--2+52x--2-52.

（2）二次三項(xiàng)式2x2-4x+7在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能利用上面的方法分解因式，理由如下：

令2x2-4x+7=0，

∵b2-4ac=（-4）2-56=-40<0，

∴此方程無解，

則此二次三項(xiàng)式不能用上面的方法分解因式.

（3）令mx2-2（m+1）x+（m+1）（1-m）=0，

∵此二次三項(xiàng)式能用上面的方法分解因式，即有解，

∴b2-4ac=4（m+1）2-4m（m+1）（1-m）≥0，

化簡得（m+1）[4（m+1）+4m（m-1）]≥0，

即4（m+1）（m2+1）≥0，

∵m2+1≥1>0，∴m+1≥0，解得m≥-1，又m≠0，

則m≥-1且m≠0時，此二次三項(xiàng)式能用上面的方法分解因式.

本題要求學(xué)生弄清二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式的前提是令二次三項(xiàng)式等于0時，得到的方程有解，即根的判別式大于等于0，此時可根據(jù)閱讀材料中的方法進(jìn)行分解因式.學(xué)生做第三問求m的范圍時應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個隱含條件.

四、用于求二次函數(shù)解析式

例4有一個二次函數(shù)的圖像，三名學(xué)生分別說出了它的一些特點(diǎn)：

甲：對稱軸是直線x=4;

乙：與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù);

丙：與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為3.

請你寫出滿足上述全部特點(diǎn)的一個二次函數(shù)解析式.

分析設(shè)所求解析式為y=a（x-x1）（x-x2），且設(shè)x1

解∵拋物線的對稱軸是直線x=4，

∴x2-4=4-x1，即x1+x2=8.①

∵S△ABC=3，∴12（x2-x1）·|ax1x2|=3，

即x2-x1=6ax1x2.②

由①②兩式可得x2=4+3|ax1x2|，x1=4-3|ax1x2|.

∵x1，x2是整數(shù)，ax1x2也是整數(shù)，∴ax1x2是3的約數(shù)，則可取值為±1，±3.

當(dāng)ax1x2=±1時，x2=7，x1=1，a=±17.

當(dāng)ax1x2=±3時，x2=5，x1=3，a=±15.

因此，所求解析式為y=±17（x-7）（x-1）或y=±15（x-5）（x-3），

即y=17x2-87x+1或y=-17x2+87x-1或y=15x2-85x+3或y=-15x2+85x-3.