鋼筋混凝土梁彎曲開裂后有效剛度計(jì)算

谷守經(jīng)，張志華

（天津市政工程設(shè)計(jì)研究總院有限公司，天津 300392）

鋼筋混凝土具有良好的材料整體性、耐火性、耐久性且施工簡便，所以許多橋梁都采用鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)。橋梁在正常使用過程中所發(fā)生的損傷主要是由混凝土或鋼筋性能退化引起的，其中混凝土的開裂[1]是造成結(jié)構(gòu)損傷的主要原因，研究如何準(zhǔn)確評(píng)價(jià)混凝土結(jié)構(gòu)開裂后的使用性能[2]，具有重要意義?；陴そY(jié)滑移理論、無滑移理論、綜合理論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)開裂混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究及理論推導(dǎo)[3～6]，提出多種關(guān)于混凝土結(jié)構(gòu)荷載裂縫的計(jì)算公式[7～8]，在各自的研究范圍內(nèi)，理論值計(jì)算結(jié)果均與試驗(yàn)值吻合較好，極大簡化了混凝土結(jié)構(gòu)荷載裂縫的計(jì)算方法[9～10]。但大部分研究的是平均剛度計(jì)算公式，不能準(zhǔn)確描述每個(gè)梁截面的剛度變化。本文針對(duì)鋼筋混凝土受彎開裂情況，基于基本假設(shè)，建立開裂截面平衡方程，求解截面有效慣性矩，提出精確計(jì)算開裂截面有效剛度的計(jì)算公式并將理論推導(dǎo)計(jì)算值與現(xiàn)行規(guī)范計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所提出公式準(zhǔn)確性。

1 理論推導(dǎo)

1.1 基本假設(shè)

1.1.1 本構(gòu)關(guān)系

鋼筋應(yīng)力

式中：fyk為屈服強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；Es為鋼筋彈性模量；εs為鋼筋應(yīng)變；εy為鋼筋屈服應(yīng)變；εcu為鋼筋極限拉應(yīng)變。

在混凝土梁截面開裂后，考慮受拉區(qū)混凝土的作用，混凝土單軸受拉/受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系采用我國混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[11]推薦本構(gòu)曲線。見圖1。

圖1 混凝土單軸受拉/受壓時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

式中：dc為混凝土單軸受壓損傷演化參數(shù)；dt為混凝土單軸受拉損傷演化參數(shù)；ε為混凝土應(yīng)變；Ec為鋼筋彈性模量。

1.1.2 平截面假設(shè)

梁的正截面在受力發(fā)生彎曲變形后，仍保持平截面，平行于梁中和軸的各縱向纖維應(yīng)變與其到中和軸的距離成正比，鋼筋與其同一水平線的混凝土應(yīng)變相等。

1.1.3 應(yīng)力狀態(tài)

鋼筋和混凝土受壓區(qū)應(yīng)力均未達(dá)到應(yīng)力曲線峰值，受拉區(qū)邊緣混凝土已達(dá)到峰值拉應(yīng)變。

1.2 建立計(jì)算方程

當(dāng)荷載達(dá)到開裂彎矩以后，截面受壓區(qū)合力

式中：xc為受壓區(qū)高度；b為矩形截面寬度。受壓區(qū)合力至中性軸的距離

梁截面受拉區(qū)合力

式中：h為矩形截面高度；As為受拉區(qū)配筋面積。

梁截面受拉區(qū)合力至中性軸的距離

式中：h0為矩形截面有效高度。

建立平衡方程

式中：M為截面所受彎矩；?c為受壓區(qū)混凝土邊緣壓應(yīng)變；xt為受拉區(qū)混凝土屈服應(yīng)變位置至中性軸的距離；?tr為混凝土屈服拉應(yīng)變；?t為受拉區(qū)混凝土邊緣拉應(yīng)變。

根據(jù)式（8），計(jì)算63種不同配筋率、混凝土強(qiáng)度、高寬比的鋼筋混凝土梁正截面M/Mcr-Ie/I0；Mcr為截面開裂彎矩；Ie為開裂截面有效抗彎慣性矩；I0為未開裂截面抗彎有效慣性矩。見表1和圖2-圖4。

圖2 C30混凝土開裂后截面M/Mcr-Ie/I0計(jì)算曲線

圖4 C50混凝土開裂后截面M/Mcr-Ie/I0計(jì)算曲線

表1 截面計(jì)算數(shù)據(jù)

圖3 C40混凝土開裂后截面M/Mcr-Ie/I0計(jì)算曲線

1.3 限值計(jì)算

由以上計(jì)算結(jié)果可知，混凝土梁在達(dá)到開裂彎矩時(shí)，截面慣性矩已經(jīng)發(fā)生衰減[12]，在受拉鋼筋屈服之后，截面有效慣性矩逐漸趨于穩(wěn)定，故本文規(guī)定當(dāng)M=Mcr時(shí)，截面剛度為開裂后有效慣性矩上限值Imax；當(dāng)受拉區(qū)鋼筋屈服時(shí)，截面剛度為開裂后有效慣性矩下限值Imin。上限值與混凝土截面高寬比及配筋率有關(guān)，與混凝土強(qiáng)度無關(guān)；下限值與混凝土強(qiáng)度及配筋率有關(guān)，與截面高寬比無關(guān)。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，建立限值計(jì)算基本公式，式中計(jì)算參數(shù)由擬合確定。

上限值截面有效慣性矩，當(dāng)M=Mcr時(shí)，截面有效慣性矩

式中：a1與截面高寬比有關(guān),a1=0.56(b/h-0.5)+0.12；b1為計(jì)算常數(shù)，取b1=0.77。

當(dāng)Imax/I0＞0.85時(shí)，取Imax=0.85。

根據(jù)式（9）計(jì)算不同截面開裂后的有效慣性矩上限值Imax，見圖5。

圖5 M=Mcr時(shí)Imax/I0與配筋率計(jì)算關(guān)系

下限值截面有效慣性矩

式中：計(jì)算參數(shù)a2和b2與混凝土強(qiáng)度有關(guān)，見表2。

表2 Imax計(jì)算參數(shù)取值

根據(jù)式（10）計(jì)算不同截面開裂后的Imin，見圖6。

圖6 鋼筋屈曲時(shí)Imin/I0與配筋率計(jì)算關(guān)系

1.4 混凝土開裂后M/Mcr-Ie/I0關(guān)系計(jì)算

鋼筋混凝土梁開裂后，截面有效慣性矩在Imax和Imin之間變化，截面有效慣性矩衰減速率與截面配筋率有關(guān)，對(duì)圖2-圖4的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行擬合，建立梁截面M-Ie的曲線公式。

式中：n與截面配筋率有關(guān)；Ie為截面有效抗彎慣性矩。

根據(jù)式（11）計(jì)算面開裂后的M/Mcr-Ie/I0，見圖7。

圖7 混凝土開裂后截面M/Mcr-Ie/I0計(jì)算曲線

2 算例

進(jìn)行撓度計(jì)算時(shí)，鋼筋混凝土簡支梁長L取6 m，進(jìn)行四點(diǎn)彎曲加載，梁截面取不同高寬比、配筋率、混凝土強(qiáng)度的參數(shù)。見圖8和表3。

圖8 四點(diǎn)彎矩加載計(jì)算

表3 截面計(jì)算參數(shù)

計(jì)算時(shí),未達(dá)到開裂彎矩的梁截面有效剛度B0取0.85EcI0。

采用本文提出的公式與4種規(guī)范[12～15]計(jì)算公式及有限元模擬值進(jìn)行對(duì)比，由計(jì)算結(jié)果可知，在鋼筋混凝土梁荷載達(dá)到開裂彎矩以后，推導(dǎo)計(jì)算撓度值與規(guī)范計(jì)算撓度值極為接近，說明本文推導(dǎo)公式計(jì)算結(jié)果與實(shí)際相符，可應(yīng)用到實(shí)際工程中。見圖9。

圖9 彎矩-撓度

3 結(jié)論

1）鋼筋混凝土梁所受荷載在達(dá)到開裂荷載以前，截面抗彎剛度已經(jīng)發(fā)生了退化。荷載達(dá)到開裂荷載時(shí)，受拉區(qū)縱向鋼筋配筋率相同時(shí)，其有效抗彎剛度剛度上限值（M=Mcr）與截面高寬比有關(guān)，截面b/h越大，其剛度比值Imax/I0越大；剛度下限值（受拉區(qū)鋼筋屈服時(shí)）與混凝土強(qiáng)度有關(guān)，混凝土強(qiáng)度越高，其剛度比值Imin/I0越小。

2）鋼筋混凝土梁在達(dá)到開裂荷載以后，其有效抗彎剛度值與配筋率有關(guān)，相同截面尺寸條件下，受拉區(qū)縱向鋼筋配筋率越大，其有效抗彎剛度值越大。

3）鋼筋混凝土梁開裂后，隨荷載的進(jìn)一步增大，抗彎剛度在前期下降迅速，而后期下降逐漸平緩直至趨于穩(wěn)定；截面有效剛度下降速率與受拉區(qū)縱向鋼筋配筋率有關(guān)，配筋率越高，剛度下降速率越慢。

4）利用本文提出鋼筋混凝土梁開裂后有效剛度計(jì)算公式進(jìn)行四點(diǎn)彎曲算例分析，結(jié)果證明了本文提出計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，所以采用本文計(jì)算方法所得數(shù)據(jù)可作為實(shí)際工程計(jì)算的參考。