關(guān)于矩陣乘法教學(xué)設(shè)計(jì)的一些思考①

張海艷， 李卿擎， 吳素琴

陸軍炮兵防空兵學(xué)院 基礎(chǔ)部，合肥 230031

《教育部關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見》(教高〔2019〕8號(hào))中指出： “課程目標(biāo)堅(jiān)持知識(shí)、 能力、 素質(zhì)有機(jī)融合，培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力和高級(jí)思維． 課程設(shè)計(jì)增加研究性、 創(chuàng)新性、 綜合性內(nèi)容，加大學(xué)生學(xué)習(xí)投入，科學(xué)‘增負(fù)’，讓學(xué)生體驗(yàn)‘跳一跳才能夠得著’的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)”． 因此我們要積極探索教學(xué)的新方法，創(chuàng)新教學(xué)模式，提高本科教育質(zhì)量，培養(yǎng)符合新時(shí)代要求的大學(xué)生． 對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，要實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)，必須推行數(shù)學(xué)教學(xué)改革，增加數(shù)學(xué)教學(xué)難度，拓展數(shù)學(xué)教學(xué)深度，把數(shù)學(xué)課堂變成啟迪智慧的場(chǎng)所．

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)在源源不斷地產(chǎn)生各種結(jié)構(gòu)的海量數(shù)據(jù)[1]，其中包含了大量的非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，對(duì)這些數(shù)據(jù)的處理離不開矩陣?yán)碚摚?矩陣運(yùn)算是線性代數(shù)課程教學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)之一，而矩陣乘法又是矩陣?yán)碚撝凶钪匾倪\(yùn)算之一． 多數(shù)教師在講授這部分內(nèi)容時(shí)會(huì)直接給出矩陣乘法的公式，然后再解釋公式的含義． 有許多文獻(xiàn)對(duì)矩陣乘法的教學(xué)方法做了探討． 文獻(xiàn)[2]介紹了發(fā)生教學(xué)法的理論基礎(chǔ)和在矩陣運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用． 文獻(xiàn)[3]從實(shí)際生活背景引入，講解了矩陣乘法的理論部分． 文獻(xiàn)[4]也從實(shí)際應(yīng)用背景出發(fā)，詳細(xì)地分析了矩陣乘法的運(yùn)算法則和特征． 文獻(xiàn)[5]主要從行和列的角度對(duì)矩陣乘法進(jìn)行了拓展． 文獻(xiàn)[6]分別從數(shù)學(xué)角度和圖形學(xué)角度討論了矩陣乘數(shù)，矩陣乘向量和矩陣乘矩陣． 文獻(xiàn)[7]從不同維度的空間變換探討了矩陣乘法不滿足乘法交換律的問題． 文獻(xiàn)[8]從實(shí)例出發(fā)解釋了矩陣乘法規(guī)則的自然性和科學(xué)性． 為培養(yǎng)學(xué)生知其然、 知其所以然的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神，本文基于發(fā)生教學(xué)法，從矩陣乘法定義的歷史背景(即知識(shí)發(fā)生的源頭)講起，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)一般矩陣乘法定義的來源，理解矩陣乘法的本質(zhì)． 通過比較和舉反例，得出矩陣乘法的運(yùn)算性質(zhì)，特別地，從本質(zhì)出發(fā)讓學(xué)生深刻理解為什么矩陣乘法不滿足交換律，讓學(xué)生知其然并知其所以然． 通過矩陣乘法將線性方程組寫成矩陣方程的形式，啟發(fā)學(xué)生在解決問題時(shí)要抓住事物的本質(zhì)． 最后通過學(xué)生們熟悉的圖像編輯軟件，引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用[9]，加深同學(xué)們對(duì)矩陣乘法和矩陣?yán)碚搹?qiáng)大運(yùn)用的認(rèn)識(shí)．

1 教學(xué)策略

矩陣作為數(shù)學(xué)工具之一，在現(xiàn)代科學(xué)中的應(yīng)用日益突出，在機(jī)器學(xué)習(xí)、 圖像處理、 無人駕駛、 電子工程等方面有著非常重要的應(yīng)用[10]． 矩陣源起于數(shù)的思想，是數(shù)的拓展，即數(shù)陣． 矩陣與數(shù)類似，可以進(jìn)行運(yùn)算． 然而，矩陣乘法與數(shù)乘相比，過程比較復(fù)雜，初學(xué)者不理解為什么要這樣定義． 在教學(xué)中，教師可以通過矩陣乘法被創(chuàng)造的過程講起，帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟知識(shí)的創(chuàng)造過程，促使學(xué)生對(duì)知識(shí)理解得更加深刻和透徹．

教師通過知識(shí)的發(fā)生過程了解人類是如何獲得某些認(rèn)識(shí)的，從而對(duì)學(xué)生應(yīng)該如何領(lǐng)悟這些認(rèn)識(shí)做出更好的再創(chuàng)造，這種方法稱為發(fā)生教學(xué)法． 發(fā)生教學(xué)法借鑒歷史引入主題，保護(hù)學(xué)生獵奇的天性，通過引導(dǎo)學(xué)生重現(xiàn)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和創(chuàng)新精神． 布魯納發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，只有學(xué)生自己親自發(fā)現(xiàn)的知識(shí)才是真正屬于他自己的東西． 教學(xué)目的不該是學(xué)生記住教師和教科書上所陳述的內(nèi)容，而是要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生卓越的智力． 這樣學(xué)生就好比得到了打開知識(shí)大門的鑰匙，可以獨(dú)立前進(jìn)了．

2 教學(xué)過程

2.1 追根溯源

矩陣加法的定義要求必須是兩個(gè)同型矩陣才可以施行，只需將對(duì)應(yīng)位置上的元素相加，即可得到兩矩陣的和矩陣． 在定義矩陣乘法時(shí)，同學(xué)們自然地會(huì)想到(1)式的定義方法

(1)

即將兩個(gè)同型矩陣對(duì)應(yīng)位置上的元素相乘，得到它們的乘積矩陣． 歷史上的確有人曾經(jīng)這樣定義矩陣的乘積，這種乘積稱為矩陣的Hadamard乘積[11]．

如今，Hadamard乘積在算法中經(jīng)常使用，然而在當(dāng)時(shí)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這種定義方法缺乏實(shí)際的應(yīng)用背景和理論價(jià)值，沒有被推廣開來． 歷史有其偶然也有其必然，現(xiàn)在廣泛應(yīng)用的矩陣乘積被稱為一般的矩陣乘積，它是由英國(guó)數(shù)學(xué)家阿瑟·凱萊在研究線性變換的復(fù)合時(shí)提出來的． 矩陣乘積的這一定義推動(dòng)了矩陣?yán)碚摰目焖侔l(fā)展． 目前，矩陣乘積是矩陣?yán)碚撝凶钪匾倪\(yùn)算之一．

矩陣的創(chuàng)立是用來解線性方程組問題的，與線性方程組關(guān)系非常密切的一類問題即是線性變換問題． 凱萊在研究線性變換的復(fù)合時(shí)，將線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣之間的運(yùn)算關(guān)系定義為矩陣乘法．

一般矩陣乘法的由來：

1) 線性變換的本質(zhì)

由變量x1，x2，…，xn到變量y1，y2，…，ym的線性變換

的本質(zhì)是一個(gè)由實(shí)數(shù)空間Rn到實(shí)數(shù)空間Rm的映射，即多維空間上的映射，可見這個(gè)映射可以將n維空間中的元素映射到m維空間當(dāng)中． 高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)過數(shù)集上的映射以及映射的復(fù)合，學(xué)生自然會(huì)想知道線性變換的復(fù)合是什么樣的．

2) 矩陣乘法的定義

根據(jù)

(2)

(3)

計(jì)算可得由變量x1，x2到z1，z2的線性變換

(4)

線性變換(4)是先做線性變換(3)，再做線性變換(2)的結(jié)果，即是線性變換(2)與(3)的復(fù)合，稱為(2)與(3)的乘積． 由于線性變換與其系數(shù)矩陣是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，3個(gè)線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣分別為A，B和C，此時(shí)稱矩陣C是矩陣A與B的乘積，記作C=AB[12]．

2.2 理論探究學(xué)習(xí)

2.2.1 小組討論，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

通過讓學(xué)生觀察，總結(jié)出矩陣C中元素與A和B中元素之間的關(guān)系為

(5)

根據(jù)(5)式的運(yùn)算規(guī)則，分組討論，共同解決以下問題：

1) 是否任意兩個(gè)矩陣都能施行乘法運(yùn)算?

2) 請(qǐng)確定乘積矩陣C中元素的構(gòu)成和C的形式．

通過學(xué)生分享討論結(jié)果，使學(xué)生掌握矩陣能相乘的條件，即左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)． 相乘的計(jì)算方法為左行右列法——矩陣乘積元素cij等于左矩陣的第i行與右矩陣的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和． 乘積矩陣的行列數(shù)——左矩陣的行數(shù)為乘積矩陣的行數(shù)，右矩陣的列數(shù)為乘積矩陣的列數(shù)等． 最后共同總結(jié)出矩陣乘法的一般定義：

定義1設(shè)A=(aij)是一個(gè)m×p矩陣，B=(bij)是一個(gè)p×n矩陣，C=(cij)，如果

則稱矩陣C=(cij)m×n為矩陣A與矩陣B的乘積，記作C=AB．

傳統(tǒng)的教學(xué)理念認(rèn)為學(xué)生知識(shí)、 技能的獲得均來于教師，所以教師在授課時(shí)往往不考慮學(xué)生的感受，將知識(shí)與技能滿堂灌． 近年來一直在提倡應(yīng)以學(xué)生為主體、 教師為主導(dǎo)的方式進(jìn)行教學(xué)[13]． 通過學(xué)生課堂上討論并分享討論結(jié)果的方式，充分發(fā)揮學(xué)生在課堂上的主體作用，增加學(xué)生在發(fā)現(xiàn)知識(shí)過程中的學(xué)習(xí)投入和情感投入，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)機(jī)． 學(xué)生在討論中碰撞出知識(shí)的火花，一步步打開真理的大門，深刻掌握知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，提高語言表達(dá)能力和知識(shí)講授能力，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的勇氣和自信心．

2.2.2 做比較，總結(jié)規(guī)律

在學(xué)習(xí)矩陣加減法時(shí)，我們是通過與實(shí)數(shù)的加減法比較[14]引出的，其運(yùn)算規(guī)律與實(shí)數(shù)的加減法運(yùn)算規(guī)律較為一致，由此繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律又是如何？是否仍然和實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)律一致？引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律．

表1 數(shù)的乘法與矩陣乘法之間的聯(lián)系與區(qū)別

2.2.3 舉反例，溯本求源

在說明矩陣乘法一般不滿足交換律和消去律時(shí)，最直接的方法就是舉反例．

例1設(shè)

計(jì)算AC，AB和BA．

由AC=O，可以進(jìn)一步說明矩陣相乘不滿足消去律．

從計(jì)算結(jié)果中可知，AB≠BA，即矩陣乘法不滿足交換律． 矩陣乘法的這一特點(diǎn)與數(shù)的乘法有很大的區(qū)別，為什么會(huì)有這樣的結(jié)果呢？這里從矩陣乘法的本質(zhì)來說明：

例1中矩陣A所對(duì)應(yīng)的線性變換為平面上任意一個(gè)向量關(guān)于x軸的投影變換，即

B所對(duì)應(yīng)的線性變換為繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換，即

下面考慮A與B所對(duì)應(yīng)的線性變換對(duì)平面R2中任意向量復(fù)合作用后的效果，不妨取R2中的一個(gè)元素p=(2，3)(p在平面中可以代表向量)．

AB所對(duì)應(yīng)的復(fù)合線性變換作用于p，指先將向量p繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再對(duì)得到的向量p1向x軸作投影，變換后的結(jié)果為p2=(-3，0)(見圖1)；

圖1 p2=(-3，0)

BA所對(duì)應(yīng)的復(fù)合線性變換作用于p，指先對(duì)向量p作x軸的投影，得到向量p3，再繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，結(jié)果為p4=(0，2)(見圖2)．

圖2 p4=(0，2)

因此線性變換復(fù)合的順序不一樣，結(jié)果也往往不一樣，所以，矩陣乘法運(yùn)算一般不滿足交換律． 此處，AB稱為A左乘B，BA可稱為A右乘B． 矩陣乘法運(yùn)算滿足分配律，但是由于其不滿足交換律，分配律區(qū)分為左分配律和右分配律．

2.3 矩陣方程與線性方程組之間的關(guān)系

在解二元一次方程組和三元一次方程組的過程中，發(fā)現(xiàn)方程組的系數(shù)對(duì)方程組的解起決定性作用． 事實(shí)上，大約在公元前 1世紀(jì)，我國(guó)的《九章算術(shù)》的“方程”章中就敘述了一個(gè)三元線性方程組的解法，當(dāng)時(shí)用算籌將未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)長(zhǎng)方陣，運(yùn)用遍乘直除算法求解，這就是矩陣最早的雛形，遍乘直除算法就是現(xiàn)今矩陣的初等變換． 以算法體系為特征的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展開創(chuàng)了新觀念[15]．

行列式和矩陣都是伴隨著解線性方程組而產(chǎn)生的，都是通過對(duì)方程組的系數(shù)進(jìn)行處理而達(dá)到解方程的目的． 行列式用來解未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相等的線性方程組． 1850年，西爾維斯特在研究未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)不相等的線性方程組時(shí)，行列式不能使用，提出了矩陣一詞，表示一項(xiàng)由m行n列元素組成的矩形陣列，這是最早矩陣一詞的使用． 根據(jù)矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)則，含有n個(gè)未知數(shù)，m個(gè)方程的線性方程組

可以寫成矩陣乘法的形式． 令

則線性方程組可記作Ax=b． 此式可看成是矩陣相乘的特殊形式． 其中A稱為矩陣方程的系數(shù)矩陣，x稱為未知數(shù)矩陣，b稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣． 未知量是矩陣的方程稱為矩陣方程．

這一形式可以推廣到更一般的情形，令

矩陣方程AX=B可看作是由系數(shù)矩陣相同的p個(gè)線性方程組組成的． 求矩陣方程的解是后續(xù)課程中的重要內(nèi)容． 矩陣乘法的一般定義，將求線性方程組的解的問題轉(zhuǎn)換成了求矩陣方程的問題，極大地簡(jiǎn)化了線性方程組的求解問題，這也是矩陣乘法在矩陣論中相當(dāng)重要的原因．

利用矩陣乘法將線性方程組寫成矩陣方程的形式，只需對(duì)矩陣進(jìn)行相應(yīng)的處理即可方便快捷地解決線性方程組的解的問題． 啟發(fā)學(xué)生在解決問題時(shí)要善于抓住問題的本質(zhì)，做到事半功倍．

2.4 矩陣乘法在圖像處理中的應(yīng)用

矩陣乘法在圖像處理中有著非常重要的應(yīng)用． 我們對(duì)圖片的數(shù)字化處理實(shí)質(zhì)上就是對(duì)圖片所對(duì)應(yīng)的矩陣進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算． 為了理解這點(diǎn)，以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說明．

例2將圖3中矩形的4個(gè)頂點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)O，A，B，C所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)作為列向量構(gòu)成的矩陣為

圖3 矩形OABC

繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣為

對(duì)O，A，B，C這4個(gè)點(diǎn)同時(shí)做線性變換，就是用R左乘G，計(jì)算RG，得到旋轉(zhuǎn)后的4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的矩陣為

旋轉(zhuǎn)后的4個(gè)點(diǎn)記為O，A′，B′，C′，對(duì)應(yīng)圖像為

圖4 矩形OA′B′C′

注意，此處僅僅是將矩形的4個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)．

一般地，對(duì)一張圖片進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，本質(zhì)上是用旋轉(zhuǎn)變換所對(duì)應(yīng)的矩陣左乘圖片所對(duì)應(yīng)的像素矩陣． 具體地用Matlab軟件進(jìn)行演示，如圖5，即是將戰(zhàn)斗機(jī)圖片逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，

圖5 戰(zhàn)斗機(jī)圖片

另外，利用矩陣的運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)對(duì)圖片的剪切、 伸縮以及圖片信息的隱藏等． 將相應(yīng)的Matlab程序發(fā)送到智慧平臺(tái)，供學(xué)有余力的學(xué)生課后學(xué)習(xí)和操作． 利用人們常用的圖像編輯，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到矩陣乘法運(yùn)算的廣泛應(yīng)用，更加重視矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)．

3 小結(jié)

本文利用發(fā)生教學(xué)法，根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，從矩陣乘法的創(chuàng)立過程出發(fā)，對(duì)矩陣乘法的內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，帶領(lǐng)學(xué)生重新經(jīng)歷矩陣乘法的創(chuàng)造過程，理解矩陣乘法的本質(zhì)是線性變換的復(fù)合． 通過課堂小組討論，總結(jié)得出矩陣乘法運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算規(guī)律的特點(diǎn)，從本質(zhì)出發(fā)闡述矩陣乘法一般不滿足交換律的原因． 這個(gè)過程，不僅是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，更是學(xué)生發(fā)展創(chuàng)造力，培養(yǎng)科學(xué)精神的過程． 而后分析了線性方程組與矩陣方程之間的關(guān)系，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了矩陣乘法運(yùn)算的現(xiàn)實(shí)意義． 最后從學(xué)生常用的圖像處理的角度探討了矩陣乘法的應(yīng)用，讓學(xué)生深刻體會(huì)到知識(shí)來源于實(shí)踐，概念的創(chuàng)造是用來解決問題的，不是憑空創(chuàng)造出來的． 通過Matlab的實(shí)驗(yàn)操作和課后練習(xí)，讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)軟件的使用，體會(huì)矩陣?yán)碚摵蛿?shù)學(xué)軟件的強(qiáng)大應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯思維，加強(qiáng)學(xué)生們未來學(xué)以致用、 學(xué)以善用的綜合能力和水平[16]．