線性正則小波卷積及其性質(zhì)①

趙彥博， 馮強(qiáng)

延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000

線性正則變換[1-3]是一種比較新穎的、 功能強(qiáng)大的信號(hào)處理工具，因其有3個(gè)自由參數(shù)，使得線性正則變換具有更多的靈活性． 傅里葉變換[4]、 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換[5]、 菲涅耳變換[6]都是線性正則變換的特殊情形． 近年來，線性正則變換在解決光學(xué)系統(tǒng)、 濾波器設(shè)計(jì)、 時(shí)頻分析等方面都有重要的應(yīng)用[7-10]．

小波變換在信號(hào)處理領(lǐng)域是重要的時(shí)頻分析工具，在時(shí)頻域分析、 表征圖像邊緣檢測(cè)、 圖像處理、 全聚焦圖像生成等方面有廣泛的應(yīng)用[11-13]． 近年來，小波變換在信號(hào)處理中的理論與應(yīng)用也逐漸引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視． 文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)出了小波變換的卷積和相關(guān)定理，表明其在時(shí)頻上具有相似性，并且證明了卷積定理對(duì)加噪信號(hào)恢復(fù)的有效性． 文獻(xiàn)[15]利用一種新型卷積，給出了均勻采樣和低通重構(gòu)公式． 文獻(xiàn)[16]提出了廣義小波變換的卷積定理． 文獻(xiàn)[17]提出了分?jǐn)?shù)階小波變換的卷積和相關(guān)定理． 文獻(xiàn)[18]研究了小波的希爾伯特變換，得到了更高的消失矩． 由于線性正則小波變換是分?jǐn)?shù)階傅里葉小波變換的進(jìn)一步拓展，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)在時(shí)間線性正則域的多分辨率分析，因此在信號(hào)處理中有著非常重要的作用．

本文在線性正則變換與小波變換的基礎(chǔ)上，首先給出了線性正則小波函數(shù)的容許性條件與正則性條件，其次研究了一類新型線性正則小波卷積與相關(guān)定理，最后利用所得定理，研究了線性正則小波域的濾波設(shè)計(jì)．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[3]函數(shù)f(x)的線性正則變換定義為

其中，核函數(shù)為

M=(A，B，C，D)為參數(shù)矩陣，A，B，C，D∈R，且滿足AD-BC=1．

線性正則變換的逆變換表示為

其中，參數(shù)矩陣M-1=(D，-B，-C，A)．

當(dāng)參數(shù)矩陣M=(0，1，-1，0)時(shí)，線性正則變換退化為經(jīng)典的傅里葉變換

性質(zhì)1(疊加性)L(A2，B2，C2，D2)(L(A1，B1，C1，D1)(f(x)))=L(E，F(xiàn)，G，H)(f(x))．

性質(zhì)2(可逆性)L(D，-B，-C，A)(L(A，B，C，D)(f(x)))=f(x)．

定義2設(shè)f∈L2(R)，小波函數(shù)ψ∈L2(R)，且滿足可容許性條件

(1)

則f的小波變換定義為

其中，小波基函數(shù)定義為

a∈R+，b∈R分別代表尺度和平移參數(shù)． 小波變換的逆變換為

定義3[16]線性正則小波變換定義為

這里的ψM，a，b(x)為核函數(shù)，滿足

它的逆變換定義為

當(dāng)M=(cosθ，sinθ，-sinθ，cosθ)時(shí)，線性正則小波變換退化為分?jǐn)?shù)階小波變換

定義4[19]線性正則變換的卷積運(yùn)算定義為

當(dāng)參數(shù)矩陣M=(0，1，-1，0)時(shí)，線性正則卷積運(yùn)算退化為經(jīng)典的卷積運(yùn)算

基于傳統(tǒng)的卷積算子，新的卷積運(yùn)算可以由經(jīng)典卷積運(yùn)算表示為

定義5[14]設(shè)f和g是定義在R2上的復(fù)值函數(shù)，則僅有一個(gè)變量的卷積運(yùn)算分別定義為

定義6[19]線性正則變換的相關(guān)運(yùn)算定義為

當(dāng)參數(shù)矩陣M=(0，1，-1，0)時(shí)，線性正則變換的相關(guān)運(yùn)算退化為

定義7[14]如果f和g是定義在R2上的復(fù)值函數(shù)，僅有一個(gè)變量的相關(guān)形式分別為

定義8[14]給定函數(shù)f∈L2(R)，h∈L2(R2)，它們的廣義卷積定義為

定義9[14]設(shè)ψ∈L2(R)為容許性小波，且有0≤ρ

引理5[14]設(shè)ψf∈L2(R)和ψh∈L1(R)∩L2(R)是兩個(gè)具有N1和N2階消失矩的容許性小波，令ψp=(ψf*ψh)和ψq=(ψf⊙ψh)，則ψp，ψq也是可容許性小波并且具有Nf+Nh階消失矩．

2 主要研究?jī)?nèi)容

證由于ψf∈L2(R)，ψh∈L1(R)∩L2(R)，可知ψp，ψq∈L2(R)，且有

因?yàn)棣譮和ψh是容許性小波，根據(jù)(1)式知道0<ψf，ψh<∞，根據(jù)線性正則變換的性質(zhì)，得到

則可以得到

因此，我們得出

下面考慮ψp的ρ階矩

由定義4可得

其中

則有

證g(x)的線性正則小波可以寫為

其中

則有

證g(x)的線性正則小波可以寫為

其中

令α=τ-x，β=τ-b-ay，γ=τx-b2+2b，且滿足

a2(β2+bβ-τα-γ)-(α-β)(τ-(β+b))=0

注1定理1與定理3表明， 線性正則小波卷積運(yùn)算與相關(guān)運(yùn)算在每個(gè)尺度上是獨(dú)立的，結(jié)合線性正則小波變換可以在時(shí)頻域聯(lián)合表征信號(hào)特性，我們可以對(duì)給定的信號(hào)的不同尺度構(gòu)造相應(yīng)的空變?yōu)V波．

注2這些定理表明，兩個(gè)信號(hào)卷積的聯(lián)合時(shí)頻表征可以表示為兩個(gè)信號(hào)在每個(gè)固定頻率上的聯(lián)合時(shí)頻表征在時(shí)間變量或空間變量上的卷積．

由于聯(lián)合時(shí)頻表征的空變?yōu)V波不同于傅里葉域的時(shí)不變?yōu)V波，因此我們可以通過以下步驟實(shí)現(xiàn)時(shí)變或者空變?yōu)V波：

空變?yōu)V波的實(shí)現(xiàn)如圖1所示：

圖1 空變?yōu)V波的實(shí)現(xiàn)

下面我們給出具體分析：

(2)

對(duì)(2)式做逆線性正則小波變換，可得

令

則可得線性正則小波變換域空變?yōu)V波

3 結(jié)論

本文在線性正則變換與小波變換卷積的基礎(chǔ)上，研究了一類新型線性正則小波變換的卷積定理與相關(guān)定理． 首先給出了線性正則小波卷積和相關(guān)的容許性條件與正則條件；其次推導(dǎo)出線性正則小波變換的卷積定理；最后，利用所得卷積及其卷積定理，研究了線性正則小波變換域的濾波設(shè)計(jì)，給出了線性正則小波域的空變?yōu)V波的設(shè)計(jì)方法．