如何理解“數(shù)量關(guān)系”

□ 呂港麗 郜舒竹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在第二學(xué)段（3~4年級）數(shù)量關(guān)系部分明確提出“在具體情境中，認(rèn)識常見數(shù)量關(guān)系……總價=單價×數(shù)量、路程=速度×?xí)r間；能利用這些關(guān)系解決簡單的實際問題”，并在對數(shù)感的定義中提到“數(shù)感主要是指對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運算結(jié)果的直觀感悟……建立數(shù)感有助于理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系”。根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的描述可知，數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容之一，并且與數(shù)感、問題解決息息相關(guān)。在實際教學(xué)中，學(xué)生在解決問題時，往往會在理解題意和分析數(shù)量關(guān)系上存在困難，那么數(shù)量關(guān)系應(yīng)如何理解？學(xué)生該如何學(xué)習(xí)數(shù)量關(guān)系？

一、數(shù)量關(guān)系的基本內(nèi)涵

“數(shù)量”一詞的廣泛使用，容易讓人將數(shù)與量的意義混淆，對數(shù)量關(guān)系認(rèn)識模糊。早在17世紀(jì)，德國著名哲學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）就對數(shù)與量的概念進行了區(qū)分，他指出量（quantity）是物質(zhì)的屬性，體現(xiàn)某種度量（measurement）的可能性，而數(shù)（number）是由度量產(chǎn)生的結(jié)果。因此，度量搭建了量與數(shù)之間的橋梁，度量一個量時是將其與單位（unit）進行比較，而度量的結(jié)果用數(shù)來表示。[1]英國哲學(xué)家羅素（Russell）將量分為廣延量（extensive quantity）與強度量（intensive quantity），其中可以直接度量的量稱為廣延量，如長度、高度等，但并非所有的量都可以直接度量，那些無法直接度量的量稱為強度量，如溫度、速度等。[2]湯普森（Thompson）指出廣延量可以用絕對單位來度量，絕對單位本身是與被度量的廣延量同類的量，而強度量只能用相對構(gòu)造的單位來度量，即強度量的單位來源于人心智的生成，如速度的單位是路程與時間的比率（rate），是人創(chuàng)造出來的。[3]

強度量的單位是兩個不同類量的比率，這是一種心理操作，屬于定量運算（quantitative operation）。定量運算是指人利用已知的量設(shè)想出新的量，是一種概念運算，與對情境的理解有關(guān)，其中加法比較兩個量會產(chǎn)生差（difference），例如身高差。乘法比較兩個量會產(chǎn)生比（ratio）或比率（rate），例如速度。定量運算是一種基于量的心理活動，來源于人的自身經(jīng)驗，例如將兩個量相加來源于將部分組成整體和將整體分開形成部分的經(jīng)驗，而將兩個量相乘來源于以分配（share）為目的的匹配（match）與細(xì)分（subdivide）的經(jīng)驗。[4]定量運算區(qū)別于算術(shù)運算，算術(shù)運算是用于計算量的值的數(shù)值運算，而定量運算是對一個量如何存在的描述，定量運算與在給定情境下實際用于計算量的值的算術(shù)運算之間沒有直接的對應(yīng)關(guān)系。例如小明比小紅高15厘米，他們的身高差比跳跳和淘氣的身高差要大5倍，那么跳跳和淘氣的身高差是多少？解答：15÷5=3（厘米），在這種情況下，除法用于計算差值，盡管差值通常意味著減去。每一次定量運算都建立了一種關(guān)系：用于定量運算的已知量與運算產(chǎn)生的新的量之間的關(guān)系。例如，將“這個班的女生人數(shù)”和“這個班的男生人數(shù)”進行乘法比較，得到“女生人數(shù)與男生人數(shù)的比”，這三個相互關(guān)聯(lián)的量就構(gòu)成了一個定量關(guān)系（quantitative relationships），定量關(guān)系是三個量的概念，其中兩個量通過定量運算確定第三個量。在算術(shù)關(guān)系中，三個相關(guān)數(shù)中任意兩個都可以決定第三個數(shù)，而如果一個量被認(rèn)為是由另外兩個量通過定量運算產(chǎn)生的，那么它們之間的關(guān)系是不能改變的。

綜上所述，明確數(shù)量關(guān)系的內(nèi)涵，首先要明晰數(shù)與量之間的區(qū)別與聯(lián)系，根據(jù)萊布尼茨的說法，量是物質(zhì)的屬性，而數(shù)是用來描述量的語言工具。人類通過度量來認(rèn)識量，而那些無法直接度量的量則通過心理上的定量運算對其概念化，并建構(gòu)相互關(guān)聯(lián)的量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)。因此，數(shù)量關(guān)系更準(zhǔn)確地說是量之間的關(guān)系，而數(shù)是用來計算量的值的工具，公式則是描述計算量的值的算術(shù)方法的表達(dá)式。學(xué)生對情境的理解是通過構(gòu)建定量關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)來建立的，可見數(shù)量關(guān)系并非知識性的公式，而是學(xué)生在頭腦中建構(gòu)的關(guān)于量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，具有過程性和創(chuàng)造性，并且離不開學(xué)生的自身經(jīng)驗。

二、定量推理

數(shù)量關(guān)系通常與數(shù)學(xué)問題緊密聯(lián)系，一個數(shù)學(xué)問題一般可以用算術(shù)或代數(shù)的方法解決。其中算術(shù)解決方案包括顯示問題中的數(shù)字，并了解這些數(shù)字之間的關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系在數(shù)字之間應(yīng)用正確的算術(shù)運算。代數(shù)解決方案包括寫出一個含有未知數(shù)的方程并求解這個方程。除了這些方法，一個數(shù)學(xué)問題還可以通過關(guān)注量與量之間的關(guān)系來解決，這種方法被稱為定量推理（quantitative reasoning）。算術(shù)解決方案的重點是數(shù)之間的關(guān)系，代數(shù)解決方案的重點是將數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)符號，而定量推理解決方案的重點是表達(dá)定量關(guān)系并處理定量關(guān)系。[5]湯普森將定量推理定義為將一種情境分析成一種定量結(jié)構(gòu)（quantitative structure），即量和定量關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)。在此基礎(chǔ)上，摩爾（Moore）認(rèn)為定量推理提供了一個理論，強調(diào)學(xué)習(xí)者以一種能夠進行推理的方式來構(gòu)思量，即定量推理是指人構(gòu)思一種情境（例如，運動員賽跑），構(gòu)建他所構(gòu)思的情境的量（例如，經(jīng)過的時間或跑的距離），以及推理這些量之間的關(guān)系（例如，跑的距離、經(jīng)過的時間和平均速度之間的關(guān)系）的心理行為，學(xué)生通過定量推理建構(gòu)定量結(jié)構(gòu)，并在此基礎(chǔ)上進行反思，發(fā)展數(shù)學(xué)理解和推理的能力。湯普森在介紹定量推理時，給出了這樣一個例子：“我從家走到學(xué)校需要30 分鐘，哥哥需要40 分鐘，哥哥比我早走6 分鐘，我將在幾分鐘內(nèi)超過他？”這是一個常見的行程問題，通常采用代數(shù)方法建立一個方程，然后求t，類似的問題經(jīng)常出現(xiàn)在代數(shù)教科書中。而定量推理方法的步驟如下：（1）想象一下“我”和哥哥走在一起：重要的是我們之間的距離，以及距離變?yōu)? 需要多長時間；（2）我們之間的距離以我們行走的速度差的速度縮?。唬?）“我”用哥哥的時間走同樣的距離，所以“我”走路的速度是哥哥的；（4）由于“我”走路的速度是哥哥的，所以我們的速度差是哥哥速度的；（5）我們之間的距離以哥哥速度的縮小到0，所以距離變?yōu)?所需的時間是哥哥早走時間的3倍；（6）因此，18分鐘后“我”會超過哥哥。這個例子反映了定量推理強調(diào)通過關(guān)注問題情境中的量及定量關(guān)系來進行思考和推理，在分析問題時，首先對情境中的量進行非數(shù)字推理，然后揭示這些量之間的關(guān)系，再考慮數(shù)字之間的關(guān)系，以及用于計算量的值的算術(shù)運算。

從20 世紀(jì)80 年代開始，問題解決一直是國際數(shù)學(xué)教育的重要研究課題，2011 年，問題解決首次在“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中出現(xiàn)，其內(nèi)涵直指“四能”，即發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。以往關(guān)于問題解決的研究表明，所有年級的學(xué)生在理解問題時都可能存在困難，例如，戈爾?。℅oldin）指出，諸如動詞句法、想象、數(shù)學(xué)符號、計劃、組織和控制以及情感系統(tǒng)等支持系統(tǒng)是問題解決的重要方面，對系統(tǒng)的任何干擾都可能導(dǎo)致解決問題的困難。[6]坦比奇克（Tambychik）和米拉（Meerah）指出，學(xué)生在問題解決的過程中存在困難的主要原因是缺乏數(shù)學(xué)技能，如算術(shù)技能、信息技能、語言技能、視覺空間技能（可視化數(shù)學(xué)概念、有意義地操縱幾何形狀和空間的技能）等。[7]湯普森還指出，問題解決過程中遇到的困難可能是由于未能引入定量推理技能，這種技能考慮了量之間基本、具體的關(guān)系。根據(jù)湯普森的觀點，定量推理技能的獲得既有助于理解算術(shù)中的數(shù)表達(dá)式和運算，也有助于理解代數(shù)中的符號表達(dá)式和運算，還有助于發(fā)展問題解決的技能。在這種情況下，還有一些研究者的研究也支持了這樣一個事實，即定量推理技能的發(fā)展可以確保問題解決技能的發(fā)展。例如，埃利斯（Ellis）對兩組學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力進行了研究，一組主要關(guān)注定量關(guān)系，另一組主要關(guān)注與量無關(guān)的數(shù)字模式。研究結(jié)果表明，基于量和定量關(guān)系進行教學(xué)的這一組學(xué)生可以更有意義地歸納現(xiàn)實生活問題中的期望關(guān)系。[8]摩爾和卡爾森（Carlson）在對大學(xué)生進行的一項研究中，觀察到在解決現(xiàn)實世界問題中具有定量推理技能的學(xué)生可以更有意義地解決問題，定量推理是學(xué)生發(fā)展有意義的數(shù)學(xué)理解的核心。[9]此外，湯普森、斯特夫（Steffe）、伊扎克（Izsak）等研究者主張定量推理是代數(shù)推理的基礎(chǔ)，關(guān)注量之間的關(guān)系，而不是關(guān)注與有意義對象無關(guān)的數(shù)，可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)代數(shù)。[10]

定量推理不僅是有效解決問題的一種方法，更是一種思維方式，這種思維方式有助于學(xué)生打破算術(shù)思維的束縛，通過關(guān)注數(shù)學(xué)問題中的量及量的關(guān)系，更深入地理解問題的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)推理能力。因此，在課堂教學(xué)中，學(xué)生定量推理能力的培養(yǎng)是值得被關(guān)注的。

三、數(shù)量關(guān)系的教學(xué)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)量關(guān)系主要包括“單價×數(shù)量=總價，速度×?xí)r間=路程”，很多教師將數(shù)量關(guān)系看作是知識性的內(nèi)容教給學(xué)生，在這種情況下，學(xué)生習(xí)得的是對計算公式的熟練運用，卻沒有真正獲得對量及量的關(guān)系的深刻認(rèn)識。教師應(yīng)認(rèn)識到數(shù)量關(guān)系的教學(xué)不能僅把關(guān)注點放在公式的學(xué)習(xí)和運用上，更重要的是讓學(xué)生能夠在自主探尋情境中的量及量的關(guān)系的過程中，在頭腦中建構(gòu)定量關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展定量推理的能力。

（一）引導(dǎo)學(xué)生正確識別情境中的量

數(shù)量關(guān)系并非數(shù)與量的關(guān)系，而是量之間的關(guān)系，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)起點應(yīng)在于引導(dǎo)學(xué)生識別問題情境中的量，學(xué)生首先要找出有哪些量，才能進一步理解量之間的關(guān)系。湯普森指出，學(xué)生往往傾向于用數(shù)來命名量，例如“哥哥的儲蓄有200 元”，通常將“200 元”看作是量而不是將“哥哥的儲蓄”看作是量，如果學(xué)生不能區(qū)分客體到底是一個量，還是對量的度量，那么他們解釋量之間的關(guān)系將會受到阻礙。分析數(shù)學(xué)問題時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生正確識別情境中的量及度量單位，并在此基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)亩窟\算構(gòu)建定量關(guān)系，在這一過程中應(yīng)區(qū)分廣延量與強度量，其中廣延量（如長度、重量等）是能直接度量的量，可以直接用來進行定量運算，而強度量（速度、單價等）則是由定量運算產(chǎn)生的結(jié)果，學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷建構(gòu)強度量概念的過程，才能更好地理解強度量。

（二）幫助學(xué)生通過定量運算構(gòu)建定量關(guān)系

學(xué)生對復(fù)雜情境的理解依賴于定量關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的建立，而定量關(guān)系的構(gòu)建來源于恰當(dāng)?shù)亩窟\算，定量運算是基于量的心理運算，與學(xué)生的自身經(jīng)驗息息相關(guān)。因此，在課堂上應(yīng)盡可能地為學(xué)生提供真實的情境或能夠調(diào)動學(xué)生經(jīng)驗的活動，鼓勵學(xué)生借助情境和經(jīng)驗進行思考，讓學(xué)生有體驗和思考的空間，例如，皮亞杰（Piaget）在研究兒童速度概念的建構(gòu)時指出，兒童對速度的認(rèn)知是從可視的“超車”現(xiàn)象開始的[11]，那么在學(xué)生初次學(xué)習(xí)速度時，教師可以設(shè)置玩具小車的運動情境，讓學(xué)生在觀察過程中思考小車運動的快慢與運動時間、路程有什么關(guān)系，當(dāng)學(xué)生形成對路程、時間與速度之間關(guān)系的初步感知后，再逐漸引導(dǎo)學(xué)生抽象出比率關(guān)系。

（三）培養(yǎng)學(xué)生定量推理的思維方式

湯普森等人研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在問題解決的過程中，大多采用算術(shù)或代數(shù)的方法，很少進行定量推理，如果學(xué)生的思維被算術(shù)運算所束縛，可能會影響他們問題解決能力的發(fā)展。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生從量及量的關(guān)系的角度來認(rèn)識和思考世界，例如，角的度量既可以用角度制也可以用弧度制來表示，并且二者可以相互轉(zhuǎn)換，其中弧度制是指用弧長與半徑的比率來度量對應(yīng)圓心角的大小，這是一種從量的角度來理解角的方式。通過這種方式，學(xué)生能更好地認(rèn)識角的特征，即角的大小與對應(yīng)圓弧的長度與半徑的比率有關(guān)，而與角的頂點無關(guān)，因此在小學(xué)階段學(xué)習(xí)角時，可以適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生探索圓心角與對應(yīng)弧長之間的關(guān)系。[12]

總之，數(shù)量關(guān)系指向的是量之間的關(guān)系，而數(shù)是用來計算量的值的工具。學(xué)生通過定量運算在頭腦中建構(gòu)關(guān)于量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)對情境的理解，這是一個具有創(chuàng)造性的過程，離不開學(xué)生的自身經(jīng)驗。在數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中，教師不應(yīng)僅關(guān)注學(xué)生對公式的學(xué)習(xí)和運用，更要讓學(xué)生在探索情境中的量及量的關(guān)系的過程中，學(xué)會用“量”的眼光觀察世界，用“量”的思維思考世界，發(fā)展定量推理的能力。