李超代數(shù)到Kac模的一階上同調(diào)

張子璐，孫麗萍，王淑娟

(1.哈爾濱理工大學 理學院，黑龍江 哈爾濱 150080；2.上海海事大學 文理學院，上海 201306)

由于物理學的需要，李超代數(shù)的研究發(fā)展迅速并且有了許多成果.Kac[1-2]首先對某些特征零典型李超代數(shù)的有限維表示進行了研究，將特征零典型李超代數(shù)的有限維表示分為typical和atypical 2類，構(gòu)造了Kac模這一表示形式，并給出了Kac模不可約的充要條件；Shu等[3]研究了模李超代數(shù)W(m,n,1)的限制Kac模以及既約Kac模不可約性的充要條件；另外，Yao[4]研究了S(n)和H(n)的非限制表示，給出了具有某些p-特征標的既約Kac模的不可約性的刻畫.眾所周知，上同調(diào)理論對于李超代數(shù)的研究和發(fā)展具有重要作用，借助上同調(diào)這一方法Wang等[5-6]探究了sl2|1到χ約化指標集的Kac模和單模的一階上同調(diào)，又研究了李超代數(shù)sl2|1到具體Kac模的一階上同調(diào).

1 預(yù)備知識

設(shè)M為李超代數(shù)L-模，φ是L到M的Z2-齊次線性映射，且滿足

φ([x,y])=(-1)|φ‖x|x·φ(y)-(-1)|y|(|φ|+|x|)y·φ(x),?x,y∈L,

(1)

則稱φ是L到M的導子；若存在m∈M，使得φ(x)=(-1)|x‖m|x·m，?x∈L,則稱φ為內(nèi)導子. 否則，稱為外導子.

定義1[5]設(shè)h是L的Cartan子代數(shù)，L與M關(guān)于h的權(quán)空間分解為L=⊕α∈h*Lα和M=⊕α∈h*Mα，φ是一個L到M的導子，若滿足φ(Lα)?Mα，?α∈h*，則稱φ為關(guān)于h的權(quán)導子.

記Der(L,M)和Ider(L,M)分別為L到M的導子空間和內(nèi)導子空間，L到模M的一階上同調(diào)為

H1(L,M)=Der(L,M)/Ider(L,M).

(2)

2 Kac模的構(gòu)造與權(quán)空間分解

下面進行Kac模的構(gòu)造.首先要找到具有最高權(quán)λ的有限維不可約g0-模M(λ).設(shè)λ=aε1+bε2，其中a,b∈F，ε1,ε2∈H*,使得εi(hj)=δij,i,j=1,2.λ是H在V內(nèi)的一個權(quán)，選取V內(nèi)的一個極大權(quán)向量vλ，令hi·vλ=λ(hi)vλ，i=1,2,α·vλ=0，歸納定義vk=βk·vλ(0≤k≤p-1)，且βp·vλ=0，根據(jù)下面的引理，可以完成具有最高權(quán)λ的有限維不可約g0-模M(λ)的尋找.

引理11)h1·vk=(a+k)vk,h2·vk=(b-k)vk,0≤k≤p-1；

證明:1)由vk=βk·vλ和導子定義有

同理可得h2·vk=(b-k)vk.

2)運用1)的結(jié)論，有下式成立：

α·vk=α·(βk·vλ)=[α,βk]·vλ+βk·(α·vλ)=

當k=0時，α·vk=0；當1≤k≤p-1時，α·vk=k(b-a-k+1)vk.故

3)通過計算有

β·vk=β·(βk·vλ)=βk+1·vλ=vk+1.

當k=p-1時，β·vk=0；當0≤k≤p-2時，β·vk=vk+1.故

證畢.

Kac模的權(quán)與權(quán)向量見表1.

表1 Kac模的權(quán)與權(quán)向量Tab.1 Weights and weight-vectors of Kac module

3 李超代數(shù)到Kac模的一階上同調(diào)

引理2[5,8]任何一個李超代數(shù)g到g-模M的導子都是一個權(quán)導子與內(nèi)導子之和.

注1 由引理2可知，要計算g到Kac模的一階上同調(diào)，只需要計算g到其Kac模的權(quán)導子.關(guān)于g的權(quán)與權(quán)向量見表2.

注2 根據(jù)引理2和一階上同調(diào)的定義，計算g到其Kac模K(λ)的一階上同調(diào)，只需考慮關(guān)于H在K(λ)中與g有相同權(quán)的權(quán)向量，再根據(jù)式(2)即能找到g到其Kac模的一階上同調(diào).在不引起混淆的情況下，將外導子在一階上同調(diào)中的像仍用該外導子本身表示.

進而可得K(λ)的權(quán)與權(quán)向量,見表3.

表2 g的權(quán)與權(quán)向量Tab.2 Weights and weight-vectors of g

表3 K(λ)的權(quán)與權(quán)向量Tab.3 Weights and weight-vectors of K(λ)

定理1H1(g,K(λ))=0.

證明:根據(jù)注2計算g到K(λ)的一階上同調(diào)，只需考慮g到K(λ)的權(quán)導子.為此設(shè)φ是g到K(λ)的權(quán)導子，由表2和表3可設(shè)

比較系數(shù)得a2=0，即

又由

比較系數(shù)得a3=0，即

同理可得

比較系數(shù)可得a1=2a5，聯(lián)立a1=2a4和a1=2a5，有a1=2a4=2a5，設(shè)為2c.因此

綜上所述，由一階上同調(diào)的定義可得H1(g,K(λ))=0，證畢.