李超三系的形心及其性質

趙冠華，朱玉龍，劉 潔

由于李超三系在數學和物理上的一些應用，特別是可以用于求解Yang－Baxter方程，從而引起了人們的研究興趣［1－5］.形心的概念在研究代數的結構和分類中起著重要的作用［6－14］，受此啟發(fā)，論文將討論李超三系的形心及其性質.首先回顧一些基本概念，未提到的有關概念請分別參閱文獻［4，14］.

設V=V0⊕V1是Z2－階化線性空間，其中:V0={x∈V|d(x)=0}，V1={x∈V|d(x)=1}，d(x)表示x的階化次數.簡記(－1)d(x)d(y)=(－1)x·y.總假定文中的元素是齊次的，即或者x∈V0，或者x∈V1.

定義1 一個Z2－階化線性空間T=T0⊕T1，如果它有三元線性運算滿足

1)d(［x，y，z］)=d(x)+d(y)+d(z)(mod 2);

2)［x，y，z］ = － (－ 1)xy［y，x，z］;

3)(－ 1)xz［x，y，z］+(－ 1)yx［y，z，x］+(－ 1)zx［z，x，y］ =0;

4)［u，v，［x，y，z］］= ［［u，v，x］，y，z］+(－ 1)(u+v)x［x，［u，v，y］，z］+(－ 1)(u+v)(x+y)［x，y，［u，v，z］］.則稱 T 為一個李超三系.

設T=T0⊕T1是一個李超三系，L是T的Z2－階化子空間，若［L，T，T］?L，稱L是T的理想.若I，J分別是李超三系T的理想，則I+J，I∩J都是T的理想.令Z(T)={x∈T|［x，T，T］=0}，稱Z(T)是T的中心，顯然Z(T)是T的理想.

規(guī)定李超三系T的左乘和右乘變換分別為

L(x，y):L(x，y)(z)= ［x，y，z］;R(x，y):R(x，y)(z)=(－ 1)z·(x+y)［z，x，y］，?x，y，z∈ T.

顯然d(L(x，y))=d(x)+d(y)，d(R(x，y))=d(x)+d(y)(mod 2).若李超三系T的所有左乘變換的集合記為 H=L(T，T)={∑L(xi，yj)|xi，yj∈ T}，可得到 H 構成一個李超代數［4］.

設 T=T0⊕ T1是一個李超三系，令 EndαT={φ ∈ End T| φTs? Ts+α，s=0，1}，α =0，1.則結合超代數End T=End0T⊕End1T，按照運算［a，b］=ab－(－1)abba構成李超代數.

定義2 設T是一個李超三系.稱Γ(T)={φ∈End T|［φ，L(x，y)］=［R(x，y)，φ］=0}為李超三系T的形心.

定義3 設T是一個李超三系.在空間直和L(T)=T⊕H中規(guī)定二元運算，滿足

［t1⊕h1，t2⊕h2］=(h1(t2)－ (－ 1)h2·t1h2(t1))⊕(L(t1，t2)+［h1，h2］)，?t1，t2∈T，h1，h2∈H.則稱L(T)為李超三系T的標準嵌入李超代數.

定理1 設T為一個李超三系，則

證明 由 Γ(T)={φ ∈ End T|［φ，L(x，y)］ = ［R(x，y)，φ］ =0}，可得

對任意 x，y，z∈ T，有

又由 φR(x，y)(z)=(－ 1)φ·(x+y)R(x，y)φ(z)，(－ 1)φ(x)=(－ 1)φ +x，可得

定理2 設T為一個李超三系.則Γ(T)是一個可換的李超代數.

證明 對任意 φ，φ ∈ Γ(T)，x，y，z∈ T，有

由定理 1可知 φφ ∈ Γ(T)，即 Γ(T)是一個結合超代數.規(guī)定二元運算［φ，φ］ =φφ －(－1)φ·φφφ，易證Γ(T)可以構成一個李超代數.

又由 φφ［x，y，z］ = φ［φ(x)，y，z］ =(－ 1)φ·(φ(x)+y)［φ(x)，y，φ(z)］，有

即［φ，φ］=0，所以Γ(T)是一個可換的李超代數.

定理3 設T為一個單李超三系.則Γ(T)具有可除性.

證明 由于T的理想在H作用下是不變的，T為單李超三系當且僅當H是不可約超代數.

對任意 φ ∈ Γ(T)，φ ≠0，x，y∈ T，有

可得φ(T)在H作用下是不變的，即φ(T)=T.從而φ是一個滿射.又由T為單李超三系，可得kerφ =0.從而φ是一個單射.所以φ是一個雙射，即φ－1∈End T.

對任意 x，y，z∈ T，有

從而φ－1∈Γ(T)，即Γ(T)具有可除性.

定理4 設T為一個李超三系，L(T)=T⊕H為其標準嵌入李超代數.則對任意φ∈Γ(T)，存在ψ ∈Γ(L)，使得 ψ|T= φ，ψ|H∈ Γ(H).

證明 對任意φ∈Γ(T)，t⊕h∈L(T).規(guī)定L(T)上的變換:

任取 h∈ H，由［φ，h］ =0，故有 φh=(－1)φ·hhφ.對任意 h∈ H，可得

對任意 t1，t2，z∈ T，可得

即對任意t1⊕h1，t2⊕h2∈L(T)，可得

所以 ψ ∈ Γ(L).顯然 φ|T= φ，又由 φh=(－1)φ·hhφ，可得 φ|H∈Γ(H).

設L(T)為李超三系T的標準嵌入李超代數.規(guī)定L(T)的自同構

則稱θ為L(T)的主對合自同構.

引理［4］設L(T)為李超三系T的標準嵌入李超代數.則對?x，y，z∈T，有

定理5 設T為一個李超三系，L(T)=T⊕H為其標準嵌入李超代數.若對任意ψ∈Γ(L)，且ψθ= θψ.則有 ψ |T∈ Γ(T).

證明 任取t∈T，由于

可得ψ(t)∈T，即ψ|T∈End T.

對任意 x，y，z∈ T，有

所以

致謝:在寫作過程中得到了河北大學張知學教授的指導和幫助，在此深表謝意.

［1］ Okubo S，Kamiya N.Quasiclassical Lie superalgebras and Lie supertriple systems［J］.Comm Alg，2002，8:3825 －3850.

［2］ Okubo S，Kamiya N.Jordan－ Lie superalgebras and Jordan － Lie supertriple systems［J］.J Alg，1997，198:388 －411.

［3］ Okubo S.Triple products and Yang － Baxter equation and symplectic ternary systems［J］.J Math Phys，1993，34:3273－3292.

［4］ Zhang Z X，Jia P P.The killing forms and decomposition theorems of Lie supertriple systems［J］.Acta Math Scientia，2009，29B:1 －11.

［5］ 潘玉霞，張慶成.李超三系的分解唯一性［J］.數學物理學報，2008，28A:1058－1066.

［6］ Jocabson N.Lie and Jordan triple systems［J］.Amer JMath，1948，71:148 －170.

［8］ Hophins N.On the derivation algebra of Lie module triple systems［J］.J Algebra，1987，111:520 －527.

［9］ Lister W G.A struction theory of Lie triple systems［J］.Trans Amer Math Soc，1952，72:217 －242.

［10］ Hophins N.Nilpotent ideals in Lie and anti-Lie triple systems［J］.JAlgebra，1995，178:480 － 494.

［11］ Shi Y Q，Meng D J.On derivations and automorphism group of Lie triple systems［J］.JNankai University，2002，35:32－37.

［12］ 張知學.反李三系的不變雙線性型［J］.數學年刊，2004，25A(4):429－436.

［13］ 孟道驥.復半單李代數引論［M］.北京:北京大學出版社，1998.

［14］ 張知學，劉麗巧.李超代數上的不變雙線性型［J］.數學年刊，2004，25A:1139－1146.