一階非線性微分方程解法探析

摘 要：近代物理、數(shù)學(xué)和天文學(xué)等理論研究中，經(jīng)常會(huì)建立關(guān)于變量的等式，而這些變化率或者導(dǎo)數(shù)構(gòu)建的方程就是微分方程。這其中，不管是一階、二階還是多階的微分方程，都是要基于一階微分方程的解，然后再經(jīng)過(guò)變量的替換求解多階方程。在此，筆者對(duì)基本的一階非線性微分方程的求解方法展開(kāi)討論。

關(guān)鍵詞：一階；非線性微分方程；伯努利方程

一、前言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在很多領(lǐng)域出現(xiàn)了非線性問(wèn)題，如對(duì)宇宙空間的研究、對(duì)地理環(huán)境的考查、對(duì)生物多樣性的分析等，都會(huì)涉及非線性問(wèn)題。在電力生產(chǎn)及電力系統(tǒng)，或者與數(shù)學(xué)分支有交叉的研究領(lǐng)域，也常需要用到非線性問(wèn)題的求解來(lái)分析和計(jì)算電力系統(tǒng)的控制問(wèn)題，為電力系統(tǒng)提供一些有價(jià)值的理論依據(jù)。在實(shí)際的生活中，也經(jīng)常會(huì)碰到很多非線性問(wèn)題。而要解決這些問(wèn)題，就需要建立不同模型的非線性方程，通過(guò)求解計(jì)算了解他們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。所以，微分方程的求解過(guò)程對(duì)科學(xué)研究、社會(huì)生活和經(jīng)濟(jì)發(fā)展都有特殊的意義。數(shù)學(xué)作為理論聯(lián)系實(shí)際的一種最為關(guān)鍵的工具，更應(yīng)該發(fā)揮它的巨大作用。而眾多非線性問(wèn)題的高階方程都是以一階微分方程為基礎(chǔ)，所以研究清楚一階微分方程的解法，對(duì)其他問(wèn)題的解決有重大的推動(dòng)作用。本文列舉一階非線性微分方程中兩種常見(jiàn)的解法，對(duì)其展開(kāi)具體的討論和分析。

二、微分方程的定義及特點(diǎn)

將一個(gè)未知數(shù)函數(shù)與該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量這三者聯(lián)系起來(lái)建立的等式稱為微分方程。而平時(shí)所說(shuō)的微分方程的階數(shù)就是指該方程中未知數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。如像y′+P（x）y=f（x）這個(gè)方程，導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)為一階，所以就稱之為一階微分方程。

我們?cè)诮鉀Q一些非線性問(wèn)題時(shí)第一步要做的就是建立微分方程，然后再找出能滿足條件的對(duì)應(yīng)函數(shù)，將這一函數(shù)代入原方程能使等式兩邊恒成立，這一個(gè)過(guò)程就是微分方程的求解過(guò)程，找到的這一函數(shù)就稱為該微分方程的解。如函數(shù)y=f（x）存在n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)y（n），如果有等式F（x，y，y1，yn，…，y（n））=0，那么y=f（x）就稱為該微分方程的解。而對(duì)于一階微分方程，實(shí)際上就是該方程的一個(gè)特例，通常在尋找特解時(shí)需要規(guī)定方程的初始條件或者處值時(shí)：如x=x0時(shí)，y=y0，而x0和y0就是給定的具體值，再求出微分方程的特解。

三、微分方程的兩種基本解法

1.常數(shù)變易法。非線性微分方程沒(méi)有固定的解法，但是很多常見(jiàn)的方程也可以使用線性微分方程中的常數(shù)變易法來(lái)求解。我們可以將其轉(zhuǎn)化為線性微分方程，然后利用線性微分方程中常用的常數(shù)變易法來(lái)進(jìn)行類似的求解過(guò)程。

2.數(shù)值解法。在電路問(wèn)題中，經(jīng)常碰到一些一階或者多階的非線性問(wèn)題，而通過(guò)數(shù)值方法則可以解出各變量之間對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在這些非線性問(wèn)題中，要想通過(guò)積分求出具體解，則需要規(guī)定很多初始值。利用x0和h得到x1，x2，...xn這些節(jié)點(diǎn)，代入方程就可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y1，y2，...yn等值。這就是一階非線性微分方程的差分?jǐn)?shù)值解法。

歐拉法也有其缺點(diǎn)，它選取切線的端點(diǎn)作為每一步的起點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，每一小步都會(huì)有細(xì)微的誤差，所以最終的誤差會(huì)因?yàn)椴綌?shù)的累積而變大。所以在實(shí)際問(wèn)題計(jì)算時(shí)，為了減小誤差，提高精度，常采取改進(jìn)的歐拉公式，計(jì)算區(qū)間兩端函數(shù)值的平均值，以此作為直線方程的斜率。原始?xì)W拉法的精度只有一階，而改進(jìn)后的歐拉法的精度為二階。

四、結(jié)論

本文所介紹的兩種方法是解高階微分方程的基礎(chǔ)，相關(guān)領(lǐng)域的研究人員應(yīng)當(dāng)對(duì)此解法非常熟悉。微分方程反應(yīng)的是變量之間的間接關(guān)系，而求解過(guò)程就是給出這些變量的直觀表達(dá)。由文中也可以看到高階的微分方程都是有一階方程演變而來(lái)，所以一階微分方程是基礎(chǔ)。希望通過(guò)對(duì)這些基本解法的探討，可以給予研究人員一些啟發(fā)，使高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)和數(shù)學(xué)教育思想的發(fā)展更為長(zhǎng)遠(yuǎn)。

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作者簡(jiǎn)介：朱慧媛（1985— ）女，吉林洮南人，碩士研究生，助教，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。