微擾力系統(tǒng)一階近似守恒量與對稱性研究

樓智美

(紹興文理學(xué)院物理系,浙江紹興312000)

微擾力系統(tǒng)一階近似守恒量與對稱性研究

樓智美

(紹興文理學(xué)院物理系,浙江紹興312000)

提出了用泊松括號求一階近似守恒量的方法,將微擾力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)看成是未受微擾作用系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)和微擾項兩部分組成.先根據(jù)未受微擾作用力學(xué)系統(tǒng)的特點選擇一種合適的方法求得其精確守恒量,再利用泊松括號和偏微分方程的性質(zhì)求得守恒量的一階微擾項,最后根據(jù)Noether對稱性、Lie對稱性和Mei對稱性性質(zhì),求得與一階近似守恒量相應(yīng)的一階近似Noether對稱性、近似Lie對稱性和近似Mei對稱性.研究了受微擾作用的二維各向同性諧振子的一階近似守恒量和近似對稱性,得到了系統(tǒng)的3個一階近似守恒量及它們相應(yīng)的一階近似對稱性.結(jié)果表明,與3個一階近似守恒量相應(yīng)的一階近似對稱性既是近似Noether對稱性,又是近似Lie對稱性,也是近似Mei對稱性.

兩自由度微擾力學(xué)系統(tǒng);一階近似守恒量;泊松括號法;一階近似對稱性

0 引言

許多力學(xué)系統(tǒng)因受微擾作用,使其Hamilton函數(shù)中含有微擾項,從而導(dǎo)致力學(xué)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)發(fā)生變化,如守恒量中出會出現(xiàn)微擾項、一些精確守恒量不再存在、對稱性出現(xiàn)破損、軌道穩(wěn)定性受到影響等等.眾所周知,力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量之間存在著密切的聯(lián)系,同樣地,微擾力學(xué)系統(tǒng)的近似對稱性和近似守恒量間也存在著必然的聯(lián)系,研究微擾力學(xué)系統(tǒng)的近似對稱性和近似守恒量對于研究力學(xué)系統(tǒng)的特性以及得到方程的近似解十分重要.近年來關(guān)于微擾力學(xué)系統(tǒng)近似對稱性和近似守恒量的研究已取得許多成果[1-13],文獻(xiàn)[1-9]比較注重近似對稱性理論的研究,而文獻(xiàn)[10-12]則比較注重對稱性理論的實際應(yīng)用.目前,求近似守恒量的方法主要有3種∶方法一為近似Lie對稱性法[1],其主要思路是引進(jìn)近似的群無限小變換,微分方程在此變換下近似保持不變則為近似Lie對稱性,所得的守恒量為近似Lie對稱性守恒量.方法二為近似Noether對稱性法[2],哈密頓作用量在此變換下近似保持不變則為近似Noether對稱性,所得的守恒量為近似Noether對稱性守恒量.近似Lie對稱性法和近似Noether對稱性統(tǒng)稱為近似對稱性理論法,在求近似守恒量中均要用到近似的群無限小變換,并需要解出近似的無限小生成元和規(guī)范函數(shù),理論性強(qiáng)且計算過程比較繁復(fù).方法三為直接積分法[13],這種方法是把微擾力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程視為未受微擾力學(xué)系統(tǒng)與微擾項的迭加,先根據(jù)未受微擾力學(xué)系統(tǒng)的特點選擇較合適的方法求得未受微擾力學(xué)系統(tǒng)的精確守恒量,再考慮微擾項對精確守恒量的影響,最后根據(jù)近似守恒量的性質(zhì)直接求得近似守恒量.本文提出了一種用泊松括號求一階近似守恒量的方法,將微擾力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)看成是兩部分組成,即H=H0+εH1,其中,H0為未受微擾作用系統(tǒng)的Hamilton函數(shù),εH1為Hamilton函數(shù)的一階微擾項,先根據(jù)H0的形式選擇合適的方法求得未受微擾作用的力學(xué)系統(tǒng)的精確守恒量,再利用泊松括號和偏微分方程的性質(zhì)求得守恒量的一階微擾項,最后根據(jù)Noether對稱性、Lie對稱性和Mei對稱性性質(zhì),求得與一階近似守恒量相應(yīng)的一階近似Noether對稱性、近似Lie對稱性和近似Mei對稱性.本文以受微擾作用的二維各向同性諧振子為例,得到了3個一階近似守恒量,并研究了其相應(yīng)的一階近似對稱性.結(jié)果表明,與3個一階近似守恒量相應(yīng)的一階近似對稱性既是近似Noether對稱性,又是近似Lie對稱性,也是近似Mei對稱性.

1 用泊松括號求一階近似守恒量的基本理論

設(shè)二自由度微擾力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為

其中,ε?1為微擾系數(shù),H0為未受微擾作用的力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù),H1為Hamilton函數(shù)的一階微擾項系數(shù).與系統(tǒng)(1)相應(yīng)的Hamilton正則方程為

系統(tǒng)(1)的一階近似守恒量可表示成

一階近似守恒量的性質(zhì)用泊松括號可表示成

將式(1)、式(3)代入式(4),并利用精確守恒量的性質(zhì)

忽略ε2項,可得應(yīng)滿足的條件為

展開式(6)得

對于給定的微擾力學(xué)系統(tǒng),H0(qs,ps),H1(qs,ps)是已知的,可以選擇合適的方法求得,即式(7)中的偏微分方程.根據(jù)偏微分方程的特征方程

為討論方便,本文假設(shè)微擾力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)只含一階微擾項,守恒量也只計算到一階近似項,因此忽略了式(4)中的二階近似項事實上,二階近似不一定為0,只有當(dāng)Hamilton函數(shù)的微擾項εH1和守恒量的微擾項都僅僅是廣義坐標(biāo)qs的函數(shù)或僅僅是廣義動量ps的函數(shù)時,

2 一階近似守恒量的3種近似對稱性

與一階近似守恒量相應(yīng)的近似對稱性可有3種,即近似Noether對稱性、近似Lie對稱性和近似Mei對稱性.根據(jù)近似對稱性理論[1-2],引進(jìn)近似的群無限小變換

其中,δ為無限小參數(shù),為與第α個一階近似守恒量相對應(yīng)的無限小變換生成元.式(9)的無限小生成元向量為

式(10)的一次擴(kuò)展為

式(9)—式(11)中,

根據(jù)Hamilton系統(tǒng)的Noether逆定理[14],可以得到如下結(jié)論∶如果已知Hamilton系統(tǒng)的守恒量Iα,那么可由守恒量Iα找到相應(yīng)的生成元使無限小變換(9)為系統(tǒng)的一階近似Noether對稱變換(或一階近似Noether準(zhǔn)對稱變換),則系統(tǒng)具有一階近似Noether對稱性(或系統(tǒng)具有一階近似Noether準(zhǔn)對稱性).

如果已知Hamilton系統(tǒng)的守恒量Iα和Hamilton函數(shù),由

確定τα,其中為規(guī)范函數(shù),且滿足Noether恒等式

則由式(14)—式(16)確定的生成元τα,使無限小變換(9)為系統(tǒng)的一階近似Noether準(zhǔn)對稱變換,則說明系統(tǒng)具有一階近似Noether準(zhǔn)對稱性.

根據(jù)近似Lie對稱性理論[1],可以得到如下結(jié)論∶如果由式(13)—式(15)或式(14)—式(16)確定的生成元τα,滿足Lie對稱性確定方程

其中g(shù)s,hs由式(2)確定,則與守恒量Iα相應(yīng)的無限小變換(9)是一階近似Lie對稱變換,說明系統(tǒng)具有一階近似Lie對稱性.

根據(jù)Mei對稱性理論[15],可以得到如下結(jié)論∶如果由式(13)—式(15)或式(14)—式(16)確定的生成元τα,滿足Mei對稱性判據(jù)方程

則與守恒量Iα相應(yīng)的無限小變換(9)是一階近似Mei對稱變換,系統(tǒng)具有一階近似Mei對稱性.

3 應(yīng)用舉例

設(shè)二自由度微擾力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為

其中未受微擾作用力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為

Hamilton函數(shù)的一階微擾項為

H0表示二維各向同性諧振子的Hamilton函數(shù),可用多種方法求得其精確守恒量.文獻(xiàn)[16]用Noether定理求得了二維各向同性諧振子系統(tǒng)的3個獨立的守恒量

與式(20)相應(yīng)的Hamilton正則方程為

將式(21)—式(23)代入式(7)得

其特征方程為

由其中的一個等式

將式(21)—式(22)和式(24)代入式(7)得

將式(21)—式(22)和式(25)代入式(7)得

其特征方程為

由其中的一個等式

可得

聯(lián)合式(23)—式(25)和式(30)、式(34)、式(38),可得系統(tǒng)的3個一階近似守恒量

很明顯,由式(20)表示的Hamilton函數(shù)是可以分離變量的,可分離成I1,I2兩部分,且滿足I1+I2=H,這兩部分均是守恒的.

下面討論與一階近似守恒量相對應(yīng)的對稱性.將式(39)—式(41)式依次代入式(13)—式(15),并考慮式(20),得不到τα的解析解,說明系統(tǒng)(20)不存在一階近似Noether對稱性.

將式(39)—式(41)依次代入式(14)—式(16),并考慮式(17)和式(20),可得到如下3組與一階近似守恒量I1,I2,I3相對應(yīng)的解,分別為

因此,由式(42)—式(44)表示的生成元τα,使無限小變換(9)為系統(tǒng)的一階近似Noether準(zhǔn)對稱變換,系統(tǒng)具有一階近似Noether準(zhǔn)對稱性.

下面討論一階近似守恒量的Lie對稱性.經(jīng)驗證,由式(42)—式(44)表示的生成元τα,均滿足Lie對稱性確定方程式(18),說明由式(42)—式(44)表示的生成元τα,小變換(9)為系統(tǒng)的一階近似Lie對稱變換,系統(tǒng)具有一階近似Lie對稱性.

下面討論一階近似守恒量的Mei對稱性.將式(42)—式(44)中的生成元及式(20)代入式(10)和Mei對稱性判據(jù)方程式(19),可得

說明由式(42)—式(44)表示的生成元τα,使無限小變換(9)為系統(tǒng)的一階近似Mei對稱變換,系統(tǒng)具有一階近似Mei對稱性.

4 結(jié)論

本文提出了一種用泊松括號求一階近似守恒量的方法,此方法的主要思路是將微擾力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)看成是兩部分組成,即H=H0+εH1,先選擇合適的方法求得未受微擾作用系統(tǒng)(Hamilton函數(shù)為H0)的精確守恒量再用泊松括號和偏微分方程的性質(zhì)求得守恒量的一階微擾項,最后根據(jù)Noether對稱性、Lie對稱性和Mei對稱性性質(zhì),求得與一階近似守恒量相應(yīng)的一階近似Noether對稱性、近似Lie對稱性和近似Mei對稱性.文中用上述方法求得了受微擾作用的二維各向同性諧振子的3個一階近似守恒量,并得到與它們相應(yīng)的一階近似對稱性,結(jié)果表明,與3個一階近似守恒量相應(yīng)的一階近似對稱性既是近似Noether對稱性,又是近似Lie對稱性,也是近似Mei對稱性.用泊松括號法求近似守恒量方法思路清晰,物理意義明確,數(shù)學(xué)計算較近似對稱性法簡單,并易推廣應(yīng)用于求高階微擾力學(xué)系統(tǒng)的高階近似守恒量,這方面內(nèi)容將在另文研究.

[1]LEACH P G L,MOYO S,COTSAKIS S,et al.Symmetry,singularities and integrability in complex dynamicsⅢ:Approximate symmetries and invariants[J].Journal of Nonlinear Mathematical Physics,2001,8(1):139-156.

[2]GOVINDER K S,HEIL T G,UZER T.Approximate Noether symmetries[J].Physics Letters A,1998,240(3): 127-131.

[3]NAEEM I,MAHOMED F M.Approximate first integrals for a system of two coupled van der Pol oscillators with linear dif f usive coupling[J].Mathematical and Computational Applications,2010,15(4):720-731.

[4]UNAL G.Approximate generalized symmetries,normal forms and approximate first integrals[J].Physics Letters A,2000,266(2):106-122.

[5]DOLAPIC I T,PAKDEMIRLI M.Approximate symmetries of creeping flow equations of a second grade f l uid [J].International Journal of Non-linear Mechanics,2004,39(10):1603-1619.

[6]KARA A H,MAHOMED F M,QADIR A.Approximate symmetries and conservation laws of the geodesic equations for the Schwarzschild metric[J].Nonlinear Dynamics,2008,51(1/2):183-188.

[7]GREBENEV V N,OBERLACK M.Approximate Lie symmetries of the Navier-Stokes equations[J].Journal of Non-linear Mathematical Physics,2007,14(2):157-163.

[8]JOHNPILLAI A G,KARA A H,MAHOMED F M.Approximate Noether-typesymmetries and conservation laws via partial Lagrangians for PDEs with a small parameter[J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009,223(1):508-518.

[9]ZHANG Z Y,YONG X L,CHEN Y F.A new method to obtain approximate symmetry of nonlinear evolution equation form perturbations[J].Chinese Physics B,2009,18(7):2629-2633.

[10]樓智美.兩自由度弱非線性耦合系統(tǒng)的一階近似Lie對稱性與近似守恒量[J].物理學(xué)報,2013,62(22):220202.

[11]樓智美,梅鳳翔,陳子棟.弱非線性耦合二維各向異性諧振子的一階近似Lie對稱性與近似守恒量[J].物理學(xué)報,2012,61(11): 110204.

[12]樓智美.微擾Kepler系統(tǒng)軌道微分方程的近似Lie對稱性與近似不變量[J].物理學(xué)報,2010,59(10):6764-6769.

[13]樓智美.含非線性微擾項的二階動力學(xué)系統(tǒng)的一階近似守恒量的一種新求法[J].物理學(xué)報,2014,63(6):060202.

[14]梅鳳翔.李群和李代數(shù)對約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,1999:120-126.

[15]梅鳳翔.約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2004:10-14.

[16]樓智美.用Noether定理確定各向同性諧振子的守恒量[J].力學(xué)與實踐2003,25(1):72-73.

(責(zé)任編輯：李藝)

The study of the first order approximate conserved quantities and approximate symmetries of perturbed mechanical system

LOU Zhi-mei
(Department of Physics,Shaoxing University,Shaoxing Zhejiang312000,China)

A Poisson bracket method to obtain the fi rst order approximate conserved quantities of two-dimensional perturbed mechanical system is proposed.We consider the perturbed Hamiltonian function as the combination of Hamiltonian function of unperturbed system and the perturbed term.First,according to the peculiarity of unperturbed system, we select a suitable method to obtain the exact conserved quantities of unperturbed system.Second,we calculate the fi rst order perturbed terms of conserved quantities by using Poisson bracket and the character of partial di ff erential equations.Finally,according to the characters of Noether symmetries,Lie symmetries and Mei symmetries,the fi rst order approximate Noether symmetries,approximate Lie symmetries and approximate Mei symmetries of the fi rst order approximate conserved quantities can be obtained.A perturbed two-dimensional isotropic harmonic oscillator is studied in this paper,and three fi rst order approximate conserved quantities are obtained by using Poisson bracket method, and the fi rst order approximate symmetries of three fi rst order approximate conservedquantities are either approximate Noether symmetries or approximate Lie symmetries and Mei symmetries.

two-dimensional perturbed mechanical system;first order approximate conserved quantities;Poisson bracket method;first order approximate symmetries

O316

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2017.03.011

1000-5641(2017)03-0099-08

2016-04-01

國家自然科學(xué)基金(11472177)

樓智美,女,教授,主要從事分析力學(xué)研究.E-mail：louzhimei@usx.edu.cn.