平面曲線切割函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)

苑柳寧，岳崇山

（河北北方學(xué)院理學(xué)院，河北 張家口075000）

Peter J.Gibin和Donal B.O＇shea在參考文獻(xiàn) [1]中討論了平面閉曲線的雙切圓的存在性問題。在上述作者的論文中，切割函數(shù)是一個(gè)重要的概念和工具。參考文獻(xiàn) [2－6]從各種角度研究了切割函數(shù)的一些基本的性質(zhì)，特別是參考文獻(xiàn) [6]討論了平面曲線的切割函數(shù)對(duì)參數(shù)s的連續(xù)性和可導(dǎo)性，從理論上證明了切割函數(shù)是光滑的，即它存在任意階導(dǎo)數(shù)。本文的工作是通過具體地計(jì)算切割函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在不連續(xù)點(diǎn)的極限情況，希望得到的結(jié)果是：它們的不連續(xù)點(diǎn)都是可去間斷點(diǎn)，進(jìn)而得到切割函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)的顯式的表達(dá)式。這個(gè)工作的意義在于：倘若切割函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)具有顯式的表達(dá)式，那么我們就可以試圖尋找平面曲線的凹凸性與其切割函數(shù)的凹凸性之間的關(guān)系。

1 基本概念

約定（s）為平面上的具有任意階導(dǎo)數(shù)的曲線，稱之為光滑曲線，這里參數(shù)s為弧長(zhǎng)。

定義1.1 設(shè)（s）＝ ｛（s），y（s）｝為平面曲線，（s）＝（s）為曲線的單位切向量，（s）＝ ｛－y′（s），x′（s）｝為曲線的單位法向量，κ（s）＝x′（s）y″（s）－s″（s）y′（s）為曲線的相對(duì)曲率，稱

為平面曲線的Frenet公式。

定義1.2 設(shè)（s）為平面曲線，k（s）為其相對(duì)曲率，（s0）是曲線上一點(diǎn)。稱

為曲線（s）的切割函數(shù)。這里S＝ ｛s｜（s）＝（s0）｝。參考文獻(xiàn) [6]的定理2.1表明切割函數(shù)是連續(xù)的。

2 主要結(jié)果

設(shè)平面曲線（s）在點(diǎn)s，s0處的向徑，單位切向量和單位法向量分別為（s）（s）（s）和（s0），，記

那么a，b，n，R，N，T都是關(guān)于參數(shù)s的光滑實(shí)函數(shù)。下面來研究它們的性質(zhì)。

引理2.1a，b，n和R，N，T與它們各自的導(dǎo)數(shù)之間滿足公式

這里κ表示曲線在s處的曲率。

證明 由切割函數(shù)的表達(dá)式可知，

同理可證a′＝κb，b′＝－κa，n′＝a。

根據(jù)函數(shù)a，b，n，R，N，T的定義容易得到下面的結(jié)果。

引理2.2 當(dāng)時(shí)，

（1）P1＝ ｛a，b，n，R，N，T｝中的元素除了b趨于1外，其余元素都趨于0。

（2）P2＝｛xy｜x，y∈P1｝中元素除了b2趨于1外，其余元素都趨于0。

（3）P3＝｛xyz｜x，y，z∈P1｝中元素除了b3趨于1外，其余元素都趨于0。

定理2.1 適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充值之后，切割函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)。

證明 使用定理2.1的兩組公式可知：當(dāng)s?S時(shí)，切割函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)存在，其表達(dá)式為

此時(shí)切割函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。下面我們來考察s∈S時(shí)，f′的可導(dǎo)性。為此，設(shè)g＝2aR－4nT，h＝R2。由引理2.1可以計(jì)算下面的結(jié)果。

＝4（6κ2N2－8κ2T2＋（κ″－κ3）RN－3κκ′RT＋8κ′TN－κ2R＋12κN＋6）由引理2.2可知當(dāng)（s）→（s0）時(shí)，

所以

這樣在間斷點(diǎn)補(bǔ)充值κ′（s0）／3之后，切割函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)。事實(shí)上，可以將切割函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)擴(kuò)充為：

下面來考察切割函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的存在性和連續(xù)性。

引理2.3 設(shè)G＝R3，則當(dāng)s→s0時(shí)，G（i）→0，（i＝1，1，2，3，4，5），G（6）→720

證明

下面的計(jì)算中，反復(fù)使用引理2.1的公式，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則以及求導(dǎo)的四則運(yùn)算.受篇幅所限，只列出了計(jì)算結(jié)果，而省略了大部分的計(jì)算步驟。

由引理2.2可知，當(dāng)（s）→（s0）時(shí)，G（i）→0，（i＝1，2，3，4，5），觀察G（5）的表達(dá)式可知G（5）中求導(dǎo)取極限之后能夠得到非零常數(shù)的項(xiàng)只有720T，而720T的求導(dǎo)取極限等于720，所以當(dāng)（s）→（s0）時(shí)，G（6）→720。

引理2.4 設(shè)

則當(dāng)s→s0時(shí)，H（i）→0，（i＝1，2，3，4，5），H（6）→120κ″（s0）。

證明

與引理2.3類似的原因，下面的計(jì)算也只列出了計(jì)算結(jié)果：

由引理2.2可知，當(dāng)（s）→（s0）時(shí)，H（i）→0（i＝0，1，2，3，4，5）。觀察H（5）的表達(dá)式可知H（5）中求導(dǎo)取極限之后能夠得到非零常數(shù)的項(xiàng)只有120κ″bT，而120κ″bT求導(dǎo)取極限等于120κ″（S0），所以當(dāng)（s）→（s0）時(shí)，H（6）→120κ″（s0）。

定理2.2 適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充值之后，切割函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)。

證明 使用定理2.1的兩組公式及定理2.2得到的切割函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式可知：當(dāng)s?S時(shí)，切割函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)存在，其表達(dá)式為

此時(shí)切割函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。下面來考察s∈S時(shí)，f″的可導(dǎo)性。為此，設(shè)H＝2κbR2－4nR－4nκRN－8aRT＋16nT2，G＝R3。由引理2.3和引理2.4可知

這樣在間斷點(diǎn)補(bǔ)充值κ″（s0）／6之后，切割函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)。事實(shí)上，可以將切割函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)擴(kuò)充為：

定理2.1和定理2.2的證明給出了平面曲線的切割函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)的處處連續(xù)的具體的表達(dá)式，這有助于找到平面曲線的凹凸性與其切割函數(shù)的凹凸性之間的關(guān)系。

[1]Gibin PJ，O’shea DB.The bitangent sphere problem [J].Am Math Month，1990，97：5－23.

[2]岳崇山，宋旭華.切割函數(shù)為常值的曲線的一個(gè)結(jié)果 [J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（03）：13－15.

[3]岳崇山.切割函數(shù)的運(yùn)動(dòng)不變性 [J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（05）：10－13.

[4]岳崇山，張蒲修.切割函數(shù)與參數(shù)選擇的關(guān)系 [J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，27（05）：10－12.

[5]岳崇山.切割函數(shù)關(guān)于第二參數(shù)的分析性質(zhì) [J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，28（02）：15－16.

[6]岳崇山，宋旭華，景海斌.平面曲線的切割函數(shù)的分析性質(zhì) [J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（04）：14－16.