W(2)到Kac模的0階上同調(diào)

丁亞洲，王淑娟

(1.黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080；2.上海海事大學(xué) 文理學(xué)院，上海 201306)

李超代數(shù)的上同調(diào)與代數(shù)自身的擴(kuò)張理論以及表示的擴(kuò)張理論密切相關(guān).例如:相對(duì)上同調(diào)理論在Borel-Weil-Bott理論中的地位尤為重要[1]；拋物子代數(shù)冪零根基的上同調(diào)在Kazhdan-Lusztig理論中也占有重要地位[2].Kac[3-4]提出決定特征零域上單李超代數(shù)到所有不可約模的低階上同調(diào)問題.蘇育才等[5]關(guān)于李超代數(shù)slm|n和osp2|2n上同調(diào)的研究解決了Kac所提的問題.近些年來，很多人對(duì)Kac所提上述問題的素特征版本進(jìn)行了研究.Wang等[6]通過對(duì)sl2|1到其Kac模以及單模的權(quán)導(dǎo)子進(jìn)行計(jì)算, 確定了素特征域上sl2|1到其Kac模以及單模的一階上同調(diào).文獻(xiàn)[7]通過研究素特征域上gl(2,F)到模李超代數(shù)W(m,3,1)的一維上同調(diào)，計(jì)算出了所有g(shù)l(2,F)到W(m,3,1)子模的導(dǎo)子和內(nèi)導(dǎo)子.

眾所周知，盡管素特征域上單李超代數(shù)的分類工作還沒有完成，但是Witt型李超代數(shù)是一類重要的單李超代數(shù)，孫麗萍等[8]確定了gl(m,n)到Witt型李超代數(shù)的低維上同調(diào).Sun等[9]通過對(duì)Witt代數(shù)進(jìn)行子模分解和權(quán)空間分解，計(jì)算了素特征域上slm|n到Witt超代數(shù)的一階上同調(diào).Shu 等[10]研究了Witt型模李超代數(shù)W(2)的限制模，Duan等[11]確定了W(2)的所有單模.由于Witt型李超代數(shù)的不可約模都是Kac模的單商模，所以本文主要確定了秩為2的Witt型模李超代數(shù)W(2)到所有Kac模的0階上同調(diào).通過定義，計(jì)算W(2)的限制Kac模與非限制Kac模的極大平凡子模，進(jìn)而決定了W(2)到限制Kac模及非限制Kac模的0階上同調(diào).具體地講，當(dāng)S≠0,λ=(0,2)時(shí)，W(2)到限制Kac模KS(λ)的0階上同調(diào)空間是一維的；當(dāng)S≠0或λ≠(0,2)時(shí)，W(2)到Kac模KS(λ)的0階上同調(diào)空間都是零維的.

1 預(yù)備知識(shí)

Z-階化限制李超代數(shù)的Kac模的定義以及0階上同調(diào)的定義如下：

其中，uS(g)為g的S-包絡(luò)代數(shù)，稱這個(gè)誘導(dǎo)模為Kac模, 記為Kχ(λ).

根據(jù)定義, 作為向量空間

KS(λ)?Λ(g-1)?FM(λ).

定義2[3]設(shè)g是李超代數(shù)，M為g-模.g到g-模M的0階上同調(diào)空間定義為

H0(g,M)={m∈M|xm=0,?x∈g}.

模李超代數(shù)W(2)具有下列元素構(gòu)成的基：

{?1,?2,x1?1,x2?2,x1?2,x2?1,x1x2?1,x1x2?2}，

[f?i,g?j]=f?i(g)?j-(-1)|f?i||g?j|g?j(f)?i，

約定?i(xj)=δij，其中，δij是Kronecker符號(hào).令?i,xj的Z-次數(shù)分別為1和-1，則

W(2)=W(2)-1⊕W(2)0⊕W(2)1

是Z-階化李超代數(shù).

眾所周知，W(2)的任意單模都是其Kac模的商模，進(jìn)而Kac模在W(2)的表示理論以及上同調(diào)理論中具有重要地位.本文嘗試研究W(2)的上同調(diào)問題.根據(jù)0階上同調(diào)的定義，一方面，W(2)是一類單李超代數(shù)，所以它到伴隨模的0階上同調(diào)是零維的；另一方面，W(2)到一維平凡模F的0階上同調(diào)顯然是一維的.雖然這是2個(gè)極端的例子，但是這意味著模的結(jié)構(gòu)決定0階上同調(diào)的結(jié)果.于是本文目標(biāo)為確定W(2)到Kac模的0階上同調(diào).

令

h1=x1?1-x2?2,h2=x1?1+x2?2,

定義3[11]特征標(biāo)S分為3類：

S(x1?2)=0,S(h1)=0,S(h2)=2r,S(x2?1)=1,

其中r∈F.

S(x1?2)=0,S(h1)=r-s,S(h2)=r+s,S(x2?1)=0,

其中r,s∈F且r,s不全為0.

對(duì)于Fp中任意數(shù)a以及整數(shù)k，引入自然數(shù)Φ(a)和Φ(a,k)使得

Φ(a)∈{0,1,…，p-1}，Φ(a,k)∈{0,1,…,p-1}，

且

h1·vi=(λ1-2i)vi,h2·vi=λ2vi，

x1?2·vi=i(λ1-i+1)vi-1,

h1·vi=(λ1-2i)vi,h2·vi=λ2vi,

x1?2·vi=i(λ1-i+1)vi-1,

h1·vi=(λ1-2i)vi,h2·vi=λ2vi,

x1?2·vi=i(λ1-i+1)vi-1,x2?1·vi=vΦ(i+1).

2 主要結(jié)論

本節(jié)確定了W(2)到所有Kac模的0階上同調(diào).

1)當(dāng)S=0或當(dāng)S半單且r=s≠0時(shí)，KS(λ)具有標(biāo)準(zhǔn)基

{1?vi,?1?vi,?2?vi,?1?2?vi|0≤i≤Φ(λ1)}.

2)當(dāng)S半單且r≠s或當(dāng)S正則冪零時(shí)，KS(λ)具有標(biāo)準(zhǔn)基

{1?vi,?1?vi,?2?vi,?1?2?vi|0≤i≤p-1}.

任取y∈H0(W(2),KS(λ)),根據(jù)定義2可知h1y=h2y=0，即y屬于KS(λ)的權(quán)為零的權(quán)空間KS(λ)0.于是H0(W(2),KS(λ))?KS(λ)0.因?yàn)?/p>

h1·(1?vi)=(λ1-2i)(1?vi),h2·(1?vi)=λ2(1?vi),

h1·(?1?vi)=(λ1-2i-1)?1?vi,h2·(?1?vi)=(λ2-1)?1?vi,

h1·(?2?vi)=(λ1-2i+1)?2?vi,h2·(?2?vi)=(λ2-1)?2?vi,

h1·(?1?2?vi)=(λ1-2i)?1?2?vi,h2·(?1?2?vi)=(λ2-2)?1?2?vi,

所以有下列結(jié)論：

1)當(dāng)S=0時(shí)，KS(λ)0可由下列元素線性張成

δλ2=01?vΦ(λ1,0),δλ2=1?1?vΦ(λ1,-1),δλ2=1?2?vΦ(λ1,1),δλ2=2?1?2?vΦ(λ1,0)，

其中，若k?{0,1,2,…，Φ(λ1)}，約定vk=0.

2)當(dāng)S正則冪零且r=0時(shí),KS(λ)0具有標(biāo)準(zhǔn)基

{δλ2=01?vΦ(λ1,0),δλ2=1?1?vΦ(λ1,-1),δλ2=1?2?vΦ(λ1,1),δλ2=2?1?2?vΦ(λ1,0)}.

3)當(dāng)S正則冪零且r≠0時(shí),λ2?Fp，于是KS(λ)0=0.

4)當(dāng)S半單時(shí)，λ1?Fp或λ2?Fp，于是KS(λ)0=0.

下面只需考慮S=0或者S正則冪零且r=0 兩種情況.

1)設(shè)S=0.任取y∈H0(W(2),KS(λ)),不妨設(shè)

y=a1δλ2=01?vΦ(λ1,0)+a2δλ2=1?1?vΦ(λ1,-1)+a3δλ2=1?2?vΦ(λ1,1)+a4δλ2=2?1?2?vΦ(λ1,0).

故

0=?1·y=a1δλ2=0?1?vΦ(λ1,0)+a3δλ2=1?1?2?vΦ(λ1,1),

0=?2·y=a1δλ2=0?2?vΦ(λ1,0)-a2δλ2=1?1?2?vΦ(λ1,-1),

于是a1δλ2=0?1?vΦ(λ1,0)=a1δλ2=0?2?vΦ(λ1,0)=a2δλ2=1?1?2?vΦ(λ1,-1)=a3δλ2=1?1?2?vΦ(λ1,1)=0.

這意味著a1δλ2=01?vΦ(λ1,0)=a2δλ2=1?1?vΦ(λ1,-1)=a3δλ2=1?2?vΦ(λ1,1)=0.進(jìn)而y=a4δλ2=2?1?2?vΦ(λ1,0).

由于vΦ(λ1,0)≠0?0≤Φ(λ1,0)≤Φ(λ1),于是下面對(duì)Φ(λ1,0)和Φ(λ1)的大小關(guān)系分2類進(jìn)行討論.

i) 當(dāng)Φ(λ1,0)<Φ(λ1)時(shí)，注意到

0=x2?1·y=a4δλ2=2?1?2?vΦ(λ1,2).

由于Φ(λ1,2)=Φ(λ1,0)+1≤Φ(λ1)，所以?1?2?vΦ(λ1,2)≠0.進(jìn)而a4δλ2=2=0，即y=0.

ii)當(dāng)Φ(λ1,0)=Φ(λ1)時(shí)，即λ1=0，亦即y=a4δλ1=0δλ2=2?1?2?v0.容易證明當(dāng)λ1=0，λ2=2時(shí)，?1?2?v0∈H0(W(2),KS(λ)).

于是當(dāng)S=0且λ=(0,2)時(shí)，H0(W(2),KS(λ))是一維的，具有基?1?2?v0；當(dāng)S=0但λ≠(0,2)時(shí)，H0(W(2),KS(λ))是零維的.

2)設(shè)S正則冪零且r=0.任取y∈H0(W(2),KS(λ)),不妨設(shè)

y=a1δλ2=01?vΦ(λ1,0)+a2δλ2=1?1?vΦ(λ1,-1)+a3δλ2=1?2?vΦ(λ1,1)+a4δλ2=2?1?2?vΦ(λ1,0)，

故?1·y=?2·y=x2?1·y=0，即

a1δλ2=0?1?vΦ(λ1,0)+a3δλ2=1?1?2?vΦ(λ1,1)=0,

a1δλ2=0?2?vΦ(λ1,0)-a2δλ2=1?1?2?vΦ(λ1,-1)=0,

a2δλ2=1?1?vΦ(λ1,1)+a3δλ2=1(-?1?vΦ(λ1,1)+?2?vΦ(λ1,3))+a4δλ2=2?1?2?vΦ(λ1,2)=0.

進(jìn)而

a1δλ2=0=a2δλ2=1=a3δλ2=1=a4δλ2=2=0,

即y=0.