Square-octagon晶格中的量子自旋霍爾效應(yīng)*

王國祥

(河南工學(xué)院 理學(xué)部,河南 新鄉(xiāng) 453003)

0 引言

自從Kane和Mele發(fā)現(xiàn)量子自旋霍爾態(tài)以來,其特殊的性質(zhì)引起了科學(xué)工作者的極大興趣[1, 2]。量子自旋霍爾態(tài)具有無能隙螺旋邊界態(tài),受到時間反演對稱性保護(hù),在二維情形,可通過一個拓?fù)洳蛔兞縕2來區(qū)分其和普通絕緣體。目前,理論上已預(yù)測在多種晶格上能實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾態(tài),比如kagome晶格[3, 4]、decorated honeycomb晶格[5-8]、lieb晶格[9, 10]、square-octagon晶格[11]、ruby晶格[12, 13]等等。其中,對于square-octagon晶格,已有多個研究組對其展開了理論研究。

Kargarian和Fiete于2010年指出,square-octagon晶格在考慮自旋軌道耦合作用或非阿貝爾規(guī)范場時,能實(shí)現(xiàn)拓?fù)浞瞧接瓜郲11]。通過調(diào)節(jié)最近鄰耦合參數(shù)以及交錯磁通量,在square-octagon晶格中可以得到豐富的拓?fù)湎?并能觀察到具有高陳數(shù)的拓?fù)鋷Ш屯負(fù)淦綆14]。隨后,基于細(xì)胞動態(tài)平均場理論以及時間連續(xù)的量子蒙特卡洛算法,Bao等人研究了square-octagon晶格的哈伯德模型,他們發(fā)現(xiàn)在金屬相和絕緣相中都可以存在順磁序和反鐵磁序[15, 16]。基于陳數(shù)和自旋陳數(shù)方法,楊園等人指出,當(dāng)考慮自旋軌道耦合作用、次近鄰耦合作用和交換場時,可以在square-octagon晶格實(shí)現(xiàn)時間反演對稱性破壞的量子自旋霍爾相以及量子反?；魻栂郲17, 18]。

從前文可知,在square-octagon晶格中實(shí)現(xiàn)拓?fù)浞瞧接瓜嘈枰紤]自旋軌道耦合作用。在本文我們將主要研究Rashba自旋軌道耦合作用對square-octagon晶格拓?fù)湫再|(zhì)的影響。

1 模型與方法

H=H0+HR

圖1 square-octagon晶格的晶格結(jié)構(gòu)

第一項(xiàng)為square-octagon晶格中的最近鄰耦合作用,可表示為:

第二項(xiàng)為最近鄰格點(diǎn)之間的Rashba自旋軌道耦合作用,可表示為:

在動量空間,哈密頓量可對角化為:

其中

Ψkσ=(cAkσ,cBkσ,cCkσ,cDkσ)T

H0(k)可表示為:

HR(k)可表示為:

其中

考慮Rashba自旋軌道耦合作用時,系統(tǒng)的空間反演對稱性被破壞,此時不能根據(jù)宇稱判據(jù)來計(jì)算Z2拓?fù)洳蛔兞?。幸運(yùn)的是,雖然空間反演對稱性被破壞,但是系統(tǒng)仍具有時間反演對稱性,我們可以用Fukui-Hatsugai方法來計(jì)算Z2拓?fù)洳蛔兞縖19]。

ψ(k)=(|1(k)〉,|2(k)〉,…,|2M(k)〉)

為了使計(jì)算結(jié)果有意義,需要對波函數(shù)施加規(guī)范限制條件:

|n(-k)〉=Θ|n(k)〉其中Θ=iσK是時間反演算符,σ是自旋算符,K是復(fù)共軛算符。

在施加了規(guī)范限制條件之后,可定義一個連接變量,即

其中

Nu(kl)=|detψ?(kl)ψ(kl+μ)|

在上式中,μ表示在二維均勻離散布里淵中沿倒格矢方向上相鄰兩個格點(diǎn)之間的距離。則Berry聯(lián)絡(luò)和Berry曲率可表示為:

Aμ=ilogUμ(k)

因此在二維離散布里淵區(qū)的每個方格中可以定義n(k)如下:

由于Aμ和F(k)的取值范圍為(-π,π]可知通過上式得到的n(k)為整數(shù),并將之稱為整數(shù)場。定義了n(k)之后,在半個布里淵區(qū)內(nèi)求和可得到Zz拓?fù)洳蛔兞?

需要說明的是,在Fukui-Hatsugai方法中,可以對波函數(shù)施加不同的規(guī)范限制條件,此時n(k)的分布會有所不同,但是在半個布里淵區(qū)中求和時,n(k)的奇偶性不會發(fā)生變化。

2 結(jié)果與討論

圖2給出了square-octagon晶格納米帶的能帶結(jié)構(gòu),其中參數(shù)t1=0.1t,λR=2t(選擇t為單位能量)。從圖中可以看到,在1/4填充時,在導(dǎo)帶和價帶之間有無能隙邊界態(tài)穿過,并且該邊界態(tài)在能隙中形成了狄拉克型結(jié)構(gòu),有一對自旋過濾的邊界態(tài)存在,此時系統(tǒng)處于量子自旋霍爾相。為了進(jìn)一步驗(yàn)證此時系統(tǒng)的拓?fù)湫?我們采用Fukui-Hatsugai方法計(jì)算了相應(yīng)的整數(shù)場,如圖3(a)所示。從圖3(a)可知,半個布里淵區(qū)內(nèi)的整數(shù)場之和為奇數(shù),這表示此時系統(tǒng)處于拓?fù)浞瞧接瓜?與邊界態(tài)得到的結(jié)論相一致。

圖2 square-octagon晶格納米帶在(a) 1/4、(b) 1/2、(c) 3/4填充因子下的能帶結(jié)構(gòu)

當(dāng)系統(tǒng)處于1/2填充因子時,可以看到?jīng)]有邊界態(tài)存在于能隙中,見圖2(b)。此時系統(tǒng)是普通絕緣體,相應(yīng)的在半個布里淵區(qū)內(nèi)的整數(shù)場之后為偶數(shù)。

最后,3/4填充的情形和1/4填充類似,邊界態(tài)穿過費(fèi)米能級的次數(shù)為奇數(shù)次,空帶和占據(jù)帶之間有邊界態(tài)通過且在狄拉克點(diǎn)處接觸,這將導(dǎo)致拓?fù)浔Ｗo(hù)金屬邊緣態(tài)的出現(xiàn)。在圖3(c)中,通過對半個布里淵區(qū)內(nèi)的整數(shù)場求和可得到拓?fù)浞瞧接沟耐負(fù)洳蛔兞縕2=1,表明系統(tǒng)處于量子自旋霍爾相。

圖3 Square-octagon晶格在(a) 1/4、(b) 1/2、(c) 3/4填充因子下的整數(shù)場

3 結(jié)論

本文采用緊束縛方法和Fukui-Hatsugai方法,研究了當(dāng)考慮Rashba自旋軌道耦合作用時square-octagon晶格中拓?fù)湫再|(zhì)的變化規(guī)律。結(jié)果表明,在合適的參數(shù)下,當(dāng)系統(tǒng)處于1/4和3/4填充因子時,在square-octagon晶格中能實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)。