平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)中布里淵區(qū)的研究

左 謙，胡家光

（文山學院 信息科學學院，云南 文山 663099）

布里淵區(qū)，最早由法國物理學家萊昂·布里淵提出的。它是固體物理學中的重要概念，是電子能帶理論和表示晶體元激發(fā)的唯一構(gòu)圖形式，它在晶體衍射、晶體振動、能帶理論等的研究中都起到極其重要的作用[1]。已往對布里淵區(qū)的大量研究多以方形晶格和正三角形晶格為例[2-5]，本文的研究對象是平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)，研究平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)的意義在于：平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)是一種寬泛的結(jié)構(gòu)模型，在電子晶體、光子晶體和聲子晶體中都廣泛存在，研究平行四邊形結(jié)構(gòu)的布里淵區(qū)圖像，是研究這三類晶體能帶結(jié)構(gòu)的基礎。且平行四邊形涵括了正方形、長方形、三角形、六邊形和普通平行四邊形幾種，通過改變平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)的邊長、角度，即可變換為眾多形狀，使得所研究的對象更為寬泛。本文詳細研究了平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)的第一布里淵區(qū)的形狀及所需的倒格矢，修正了劉頔威、劉盛綱的結(jié)論[6]，完善了魏乃科等人[7]研究中對基矢模長比R大于的1的情況。

1 結(jié)構(gòu)模型

二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)如圖1所示，其基矢為

其中傾斜角θ是邊長a、b間的夾角（見圖1）。

圖1 二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)圖

2 布里淵區(qū)

2.1 倒格矢的計算

倒格基矢公式：

式中?是正格矢原胞體積，即：

得出二維平行四邊晶格結(jié)構(gòu)的正格矢原胞體積為

則二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)的倒格基矢公式為

設倒格矢，則二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)中倒格矢為：

2.2 布里淵區(qū)圖像

對于二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)，倒格矢)。布里淵區(qū)為這些中垂線所構(gòu)成的圖形，形成的最小封閉區(qū)域即第一布里淵區(qū)[9]。令基矢模長比，則平行四邊形晶格在不同傾斜角下的第一布里淵區(qū)圖像如下：

1）R取任意值（此處取為0.6），θ=90°

如圖2所示，倒格基矢為

通過這 4個矢量分別做 4條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=90°）的第一布里淵區(qū)（見圖2）。

圖2 R任意，θ =90°的第一布里淵區(qū)圖像

2）R=1，θ< 90°（此處θ取 60°）

如圖3所示，倒格基矢為

通過這 6個矢量分別做6條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=60°）的第一布里淵區(qū)（見圖3）。

圖3 R=1，θ=60°的第一布里淵區(qū)圖像

3）R<1，cosθ

如圖4所示，倒格基矢為

通過這六個矢量分別做6條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=55°）的第一布里淵區(qū)（見圖4）。

圖4 R=0.6，θ=55°的第一布里淵區(qū)圖像

4）R<1，cosθ=R（此處取R=0.6，θ=53.1°）

如圖5所示，倒格基矢為

通過這 6個矢量分別做 4條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=53.1°）的第一布里淵區(qū)（見圖5）。

圖5 R=0.6，θ=53.1°的第一布里淵區(qū)圖像

5）R<1/2，R

如圖6所示，倒格基矢為

由分別做 6條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=40°）的第一布里淵區(qū)（見圖6）。

圖6 R=0.4，θ=40°的第一布里淵區(qū)圖像

6）R<1/2，cosθ=2R（此處取R=0.4，θ=36.87°）

如圖7所示，倒格基矢為

由分別做4條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=36.87°）的第一布里淵區(qū)（見圖7）。

圖7 R=0.4，θ=36.87°的第一布里淵區(qū)圖像

7）R<1/2，2R< cosθ< 3R（此處取R=0.4，θ=20°）

如圖8所示，倒格基矢為

由分 別 做 6條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=20°）的第一布里淵區(qū)（見圖8）。

圖8 R=0.4，θ=20°的第一布里淵區(qū)圖像

8）1/2

如圖9所示，倒格基矢為

由)分 別 做 6條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=25°）的第一布里淵區(qū)。

圖9 R=0.6，θ=25°的第一布里淵區(qū)圖像

9）1/2

如圖10所示，倒格基矢為

由分別做 4條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=17.15°）的第一布里淵區(qū)（見圖10）。

圖10 R=0.6，θ=17.15°的第一布里淵區(qū)圖像

10）（此處取R=0.6，θ=10°）

如圖11所示，倒格基矢為

由)分別做 6條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=10°）的第一布里淵區(qū)（見圖11）。

圖11 R=0.6，θ=10°的第一布里淵區(qū)圖像

11）R> 1，θ=90°，（此處取R=1.67）

如圖12所示，倒格基矢為

由分別做 4條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=90°）的第一布里淵區(qū)（見圖12）。

圖12 R=1.67，θ=90°的第一布里淵區(qū)圖像

12）R> 1，θ=90°，（此處取R=1.67，θ=60°）

如圖13所示，倒格基矢為

由)分別做 6條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=60°）的第一布里淵區(qū)（見圖13）。

圖13 R=1.67，θ=60°的第一布里淵區(qū)圖像

13）R> 1，cosθ=R，（此處取R=1.67）

因為R> 1時，cosθ無法取值，故而將R的取值轉(zhuǎn)化為1/R，即取cosθ=1/R（此處θ取53.1°）

如圖14所示，倒格基矢為

通過這 6個矢量分別做6條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=53.1°）的第一布里淵區(qū)（見圖14）。

圖14 R=1.67，θ=53.1°的第一布里淵區(qū)圖像

（14）R> 1，R< cosθ=3R，（此處取R=1.67，θ=25°）

因為R> 1時，cosθ無法取值，故而將R的取值轉(zhuǎn)化為1/R。

如圖15所示，倒格基矢為

由分別做6條垂直平分線，即構(gòu)成二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)（θ=25°）的第一布里淵區(qū)（見圖15）。

圖15 R=1.67，θ=25°的第一布里淵區(qū)圖像

2.3 歸類總結(jié)

通過計算二維平行四邊晶格結(jié)構(gòu)的倒格矢，并詳細推導出不同角度下對第一布里淵區(qū)有貢獻的具體倒格矢，畫出了不同傾斜角的第一布里淵區(qū)形狀。通過對布里淵區(qū)形狀的分析可知，當θ=90°，對R任意取值，倒格矢正交，其中垂線圍成矩形，的中垂線剛好經(jīng)過矩形的頂點，所以此條件下第一布里淵區(qū)為矩形。減小的中垂線圍成平行四邊形，與的中垂線相交，第一布里淵區(qū)為平行六邊形。繼續(xù)減小傾斜角θ，當cosθ=R時，倒格矢正交，第一布里淵區(qū)為矩形。繼續(xù)減小θ，正交臨界條件則被破壞，中垂線所構(gòu)成的平行四邊形與的中垂線相交，形成的第一布里淵區(qū)形狀為平行六邊形。減小θ使之滿足cosθ=(2R2+1)/3R，則再次出現(xiàn)正交臨界條件，第一布里淵區(qū)由的中垂線正交構(gòu)成矩形。再次減小θ，正交臨界條件又會被破壞，形成平行六邊形，等θ的取值滿足又一正交臨界條件時，則再次形成矩形。因而根據(jù)倒格矢正交臨界條件即可對θ不同時，二維平行四邊形晶格結(jié)構(gòu)的布里淵區(qū)進行劃分歸類（見表1）。

本文也對基矢模長比R> 1的情況進行了取值畫圖，分析發(fā)現(xiàn)，當R> 1，cosθ的取值與R相關(guān)聯(lián)的時候（例如cosθ=R），無法對cosθ進行取值，此時若將R的取值轉(zhuǎn)化為1/R，則可繼續(xù)開展工作，此情況下的倒格矢與R< 1時相對應的倒格矢無異。故而R> 1時，將R替換為1/R即可。

3 結(jié)論

本文對任意角度下的二維平行四邊形晶體結(jié)構(gòu)的倒格矢進行了詳細推導，對其第一布里淵區(qū)的圖像進行了繪制，主要結(jié)果如下：

1）第一布里淵區(qū)與傾斜角及基矢模長比R緊密相關(guān)，在基矢模長比R不變的情況下，改變傾斜角，第一布里淵區(qū)的圖像將在矩形和平行六邊形之間交替變化，所需的倒格矢也相應地變化。在正交臨界條件下構(gòu)成矩形，在倆個正交臨界條件之間所構(gòu)成的圖形均為平行六邊形。故而可依正交臨界條件對二維平行四邊形晶體結(jié)構(gòu)的第一布里淵區(qū)進行劃分。

2）對于基矢模長比大于1的情況，因無法對cosθ進行取值，故而可將R轉(zhuǎn)化為1/R進行計算推導，結(jié)果不變。

表1 第一布里淵區(qū)的劃分

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