培養(yǎng)空間觀念，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——以蘇教版“長(zhǎng)方形和正方形”單元教學(xué)為例

江蘇省啟東市王鮑鎮(zhèn)教辦 楊軍華

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：空間觀念是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描繪的實(shí)際物體、想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系、描繪圖形的運(yùn)動(dòng)和變化、依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形等。蘇教版三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) “長(zhǎng)方形和正方形”這一單元，一共有三道例題和一個(gè)練習(xí)，主要教學(xué)長(zhǎng)方形和正方形的特征、周長(zhǎng)的含義、長(zhǎng)方形與正方形周長(zhǎng)的計(jì)算等。它是在長(zhǎng)方形和正方形的直觀認(rèn)識(shí)（一年級(jí)下冊(cè)）的基礎(chǔ)上進(jìn)行的教學(xué)，后續(xù)則承接了長(zhǎng)方形和正方形的面積（三年級(jí)下冊(cè)），三角形、平行四邊形和梯形的認(rèn)識(shí)（四年級(jí)下冊(cè)）以及圓的認(rèn)識(shí)（五年級(jí)下冊(cè)）的教學(xué)。由于教師身處在一個(gè)立體的世界中，身邊都是立體的物體，且學(xué)生的認(rèn)知水平正處于以直觀的表象為主的辨認(rèn)水平逐步向以特征為主的初級(jí)概念水平判斷水平發(fā)展階段，學(xué)生能在這個(gè)單元中較為全面地認(rèn)識(shí)平面圖面，對(duì)平面圖形的認(rèn)識(shí)不再是一個(gè)淺表層的認(rèn)知。若單純地認(rèn)知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定是水到渠成的事，而把周長(zhǎng)拓展到不規(guī)則圖形或組合圖形中去認(rèn)知周長(zhǎng)的深層意義，可能有些學(xué)生會(huì)理解不了。所以教師在這里有必要把周長(zhǎng)的意義化“抽象”為“形象”，化“靜態(tài)”為“動(dòng)態(tài)”，把“周長(zhǎng)”動(dòng)詞化，一個(gè)純粹的名詞變成動(dòng)賓關(guān)系，其重要性不言而喻，更有利于逐步提高學(xué)生探索學(xué)習(xí)的能力，進(jìn)一步豐富學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)空間和平面圖形的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生能夠積累空間與圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)空間觀念，提升數(shù)學(xué)思考能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中進(jìn)一步體會(huì)圖形與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，感受學(xué)習(xí)空間與圖形的價(jià)值，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、架構(gòu)生活與數(shù)學(xué)的橋梁，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，學(xué)生的幾何知識(shí)來(lái)源于豐富的現(xiàn)實(shí)原型，幾何知識(shí)體系的構(gòu)建與現(xiàn)實(shí)的生活關(guān)系非常緊密。它們都是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中客觀物體的抽象概括。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從生活事物入手，在選定生活場(chǎng)景或事物時(shí)，盡量要體現(xiàn)事物的“兒童化”，讓學(xué)生親自經(jīng)歷感知到數(shù)學(xué)就在身邊，也服務(wù)于生活。在此過(guò)程中，教師也可以融入“學(xué)科育德”元素，幫助學(xué)生找尋生活中有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，從“體”中感受“面”。

在“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形”一課中導(dǎo)入課題時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：通過(guò)出示一個(gè)有包裝紙的長(zhǎng)方體透明盒子，帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形的結(jié)構(gòu)。

師：這是一個(gè)什么形狀的物體？

生：長(zhǎng)方體的盒子。

師：想看看里面有什么嗎？老師把外面的包裝紙撕下來(lái)就能看到了，想撕掉哪個(gè)面？

生：前面。

師：它是什么形狀呢？

生：長(zhǎng)方形。

師：把它的側(cè)面撕下來(lái)，是什么形狀的？

生：也是長(zhǎng)方形。

由此看來(lái)，教師能夠憑借這種從體上撕面的過(guò)程，讓學(xué)生直觀地感受到“面”從“體”出，同時(shí)也讓學(xué)生感受到生活與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系。教師還可以讓孩子們帶自己最喜歡的桶裝薯片，在課上讓孩子們把外面的包裝紙輕輕地剝下來(lái)，然后同桌合作，把剝下來(lái)的紙攤平后，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)也是一個(gè)長(zhǎng)方形。這個(gè)過(guò)程中再次讓學(xué)生感受到了長(zhǎng)方形不僅藏在像長(zhǎng)方體類的立體圖形之中，還藏在有曲面的立體圖形之中，同時(shí)為六年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)圓柱側(cè)面展開圖埋下伏筆，也實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的融會(huì)貫通。再如，在日常生活中，小學(xué)生比較喜歡玩透明膠布，這樣一個(gè)小東西也能實(shí)現(xiàn)由“體”到“面”的過(guò)程。讓學(xué)生在透明膠布上先做一個(gè)記號(hào)，然后在桌上滾一圈，剪下，在桌面上留下的就是一個(gè)長(zhǎng)方形（或正方形），可能在平時(shí)學(xué)生根本不注意這就是長(zhǎng)方形（或正方形），然而通過(guò)這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的操作，學(xué)生突然覺得生活中的數(shù)學(xué)無(wú)處不在，也對(duì)長(zhǎng)方形（或正方形）具備了初步的感知，對(duì)它的基本特征有了大概的了解，同時(shí)也為五年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)提供了一個(gè)很好的素材。如此看來(lái)，學(xué)生的腦海中已經(jīng)不自覺地留下了一個(gè)大概的印象，領(lǐng)悟到了圓和長(zhǎng)方形之間一定存在著某種聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了從平面架構(gòu)向立體維度的擴(kuò)張，讓原本獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)發(fā)散出橫向與縱向之間的輻射功效。再比如，在本課的練習(xí)部分，筆者設(shè)計(jì)了一道這樣的習(xí)題——彩色折紙的學(xué)問(wèn)。課件呈現(xiàn)兩種規(guī)格的彩色折紙，A 規(guī)格為：200mm×150mm(5 色共20 張)，B 規(guī)格為150mm×150mm(5 色共20 張)，并由教師提問(wèn)：你能看懂這兩種彩色折紙規(guī)格的意思嗎？聯(lián)系今天所學(xué)的知識(shí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，讓學(xué)生觀察圖片，再做出猜想，然后組織全班交流。這種彩色折紙是學(xué)生在日常生活中經(jīng)?？吹降?，用所學(xué)的知識(shí)去對(duì)彩色折紙的規(guī)格進(jìn)行判斷，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又能夠運(yùn)用于生活。再比如，在教學(xué)“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”中的導(dǎo)入課題時(shí)，教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：出示班上小軍的照片，標(biāo)上身高、體重的數(shù)據(jù)，讓同學(xué)們對(duì)周長(zhǎng)產(chǎn)生具體直觀的認(rèn)識(shí)。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你看到了哪些信息？

生：這是小軍，他高145 厘米，體重40 千克。

師：對(duì)，厘米是長(zhǎng)度單位，千克是重量單位。他特別喜歡跑步，昨天，他沿著咱們學(xué)校的操場(chǎng)跑了一圈，你們知道他跑了多少米嗎？

生：400 米。

師：對(duì)，這一圈的長(zhǎng)度，也就是圍繞操場(chǎng)一周的長(zhǎng)度是400 米。像這樣，圍繞操場(chǎng)一周的長(zhǎng)度，叫操場(chǎng)的周長(zhǎng)。你能摸一摸數(shù)學(xué)書封面一周邊線的長(zhǎng)度嗎？

從班上的同學(xué)小軍開始，學(xué)生們先回憶之前學(xué)過(guò)的長(zhǎng)度和重量，再通過(guò)熟悉的操場(chǎng)，讓學(xué)生順利地理解周長(zhǎng)的概念。密切聯(lián)系學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)方法使學(xué)生能夠很容易理解和接受，從而逐步拓展學(xué)生對(duì)空間的認(rèn)識(shí)，在順利建立起空間觀念的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

二、重視觀察與探究的活動(dòng)，培養(yǎng)空間觀念

小學(xué)生的空間感是很弱的，而發(fā)展空間感的主要手段無(wú)非是在具體操作中獲得，以“體”感知。所以在課堂活動(dòng)中，教師應(yīng)當(dāng)將觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等課堂實(shí)踐活動(dòng)作為主要學(xué)習(xí)形式，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)手、腦、眼等多種感官共同參與觀察與操作探究，在腦海中形成三維立體架構(gòu)，有效地提升空間想象能力，培養(yǎng)空間觀念。

如認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形時(shí)，教師可以先讓學(xué)生通過(guò)觀察，獲得初步表象，感知它的邊和角；然后提出小組合作要求，可以提出諸如“如何合理地觀察”“觀察哪些必要的特征”“邊和角有什么特征”等問(wèn)題，讓學(xué)生的深度感知能力在合作探究中得到提升；再拿幾張長(zhǎng)方形紙，量一量、折一折、比一比，看看長(zhǎng)方形的邊和角各有什么特點(diǎn)，這樣有利于促進(jìn)學(xué)生長(zhǎng)方形的空間觀念的形成。也有教師設(shè)計(jì)了“制作長(zhǎng)方形”的活動(dòng)，即為學(xué)生提供了一些學(xué)具，如三角尺、小棒、方格紙、釘子板等，讓學(xué)生先想象一下，可以怎樣圍、擺、拼、畫，再讓學(xué)生手腦并用，在動(dòng)手操作的過(guò)程中，進(jìn)一步鞏固了長(zhǎng)方形邊和角的特征。又如“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)：這個(gè)內(nèi)容的難點(diǎn)就是讓學(xué)生能夠理解“周長(zhǎng)”的意義，在有些教師的課堂組織中可能會(huì)忽視這個(gè)環(huán)節(jié)，很直接地解釋“周長(zhǎng)”的字面意識(shí)，這樣的操作太急功近利，筆者把它稱為“西醫(yī)式教學(xué)”；在此環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)當(dāng)采用與之相對(duì)應(yīng)的“中醫(yī)式教學(xué)”——望、聞、問(wèn)、切。望（觀察），用小組合作式觀察，比如，觀察樹葉、數(shù)學(xué)書、黑板、鉛筆盒、課桌面等，在這些物體中什么是周長(zhǎng)；聞（傾聽），交流展示自己的觀察，認(rèn)真傾聽小伙伴的回答，思考是否符合自己的想法；問(wèn)（疑惑），在傾聽之后，有自己的疑問(wèn)，比如，規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)、組合圖形和單一圖形的周長(zhǎng)，是否有什么不一樣；切（操作），在一系列課堂活動(dòng)中，最不能缺少的就是操作這一環(huán)節(jié)，特別是圖形類的課堂，更是不能缺席，用不同的方式表達(dá)出周長(zhǎng)，可以是“描出周長(zhǎng)”“走出周長(zhǎng)”“指出周長(zhǎng)”“畫出周長(zhǎng)”“量出周長(zhǎng)”……再抽象出平面圖形的周長(zhǎng)，概括出一個(gè)圖形邊線的長(zhǎng)度就叫作這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。在這個(gè)環(huán)節(jié)中充分理解“周長(zhǎng)”是非常重要的，在“計(jì)算組合圖形的周長(zhǎng)”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，就能完全體現(xiàn)出是否對(duì)周長(zhǎng)充分理解了，比如，一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為10 厘米，寬為6 厘米，然后在寬邊再接上一個(gè)邊長(zhǎng)為6 厘米的正方形，在另一條寬邊接上一個(gè)直徑為6 厘米的半圓，請(qǐng)計(jì)算這個(gè)組合圖形的周長(zhǎng)。有的學(xué)生往往可能會(huì)把這三個(gè)圖形的周長(zhǎng)加起來(lái)，那就是對(duì)“周長(zhǎng)”的理解不夠透徹。所以教師在教學(xué)“周長(zhǎng)”的第一課時(shí)的時(shí)候，就要充分抓住關(guān)鍵點(diǎn)，要抓住“周”這個(gè)點(diǎn)，但對(duì)于有些空間想象能力差的學(xué)生而言，對(duì)“點(diǎn)”和“線”的表象還是比較能接受的，對(duì)無(wú)數(shù)個(gè)“點(diǎn)”組合成“線”，“線”組合“面”，再去理解“周長(zhǎng)”可能有點(diǎn)不知所措。這些學(xué)生對(duì)圖形的理解一定要在可視可操作的情況之下，所以讓學(xué)生通過(guò)走一走、畫一畫、指一指、量一量等實(shí)踐活動(dòng)，逐步建立圖形的表象，讓學(xué)生在操作與互動(dòng)中去理解，感受到一周的“長(zhǎng)”，在組合圖形中的周長(zhǎng)并不是簡(jiǎn)單的圖形周長(zhǎng)的合并，這對(duì)建立空間觀念是很重要的。

學(xué)生空間觀念的形成，都要盡可能在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行想象與操作，建立表象，培養(yǎng)其空間觀念，只有這樣才符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程——感知—表象—思維，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念才能落到實(shí)處，取得實(shí)效。

三、經(jīng)歷比較和感悟的過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

《義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提道：“義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程。”本單元的教學(xué)不僅要使學(xué)生掌握相關(guān)的概念，形成一定的空間觀念，更要依托教學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此教師要在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷比較的思考過(guò)程，讓學(xué)生在比較中感悟本質(zhì)的特征，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

如在教學(xué)“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形”時(shí)，教師通常在教學(xué)長(zhǎng)方形和正方形的特征后都會(huì)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種圖形進(jìn)行比較，然后形成板書。如果僅僅停留于此，那學(xué)生的思維并不能得到更高的提升。教材在例題教學(xué)后的“想想做做”第3 題，安排了這樣一道習(xí)題。教師可以充分利用這道習(xí)題，打通“不同點(diǎn)”之間的“相同點(diǎn)”。這里教師可以先讓學(xué)生按照?qǐng)D示去折一折、剪一剪，再引導(dǎo)他們進(jìn)行討論：為什么這樣折、剪后得到的就是正方形？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：像這樣折、剪后得到的圖形不僅具有長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的特點(diǎn)，而且鄰邊也相等。讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到：正方形的四邊相等，那對(duì)邊肯定也是相等的，而四條邊相等也可以表達(dá)為“對(duì)邊相等且鄰邊相等”，學(xué)生對(duì)這句話的理解往往也是一知半解的。曾有教師用“量”的方式進(jìn)行說(shuō)明，但是這只能證明對(duì)邊相等，而且存在著很大的誤差，未能在實(shí)質(zhì)上有效證明鄰邊相等，更何況這樣操作其實(shí)未能把長(zhǎng)方形和正方形的內(nèi)在聯(lián)系捆綁在一起，有一種互相割裂的態(tài)勢(shì)。特別是對(duì)鄰邊相等，有時(shí)候教學(xué)更多的是以說(shuō)教的方式進(jìn)行，這樣做的后果就是“永遠(yuǎn)不知其所以然”，而通過(guò)這樣動(dòng)手操作的方式進(jìn)行，就能使學(xué)生在更加直觀的層面認(rèn)識(shí)到更為理性的長(zhǎng)方形與正方形內(nèi)在的聯(lián)系。

再比如,在教學(xué)“長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算”的例題時(shí)，教師在學(xué)生獨(dú)立探索的基礎(chǔ)上組織學(xué)生進(jìn)行小組交流，然后通過(guò)巡視了解情況，最后請(qǐng)小組上臺(tái)交流，在這個(gè)過(guò)程中，教師要充分肯定學(xué)生的不同列式方法，要讓學(xué)生知道計(jì)算周長(zhǎng)的最根本的原理就是把所有的邊長(zhǎng)加起來(lái)，回歸到最初對(duì)周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)，才能充分認(rèn)知“周長(zhǎng)計(jì)算的所以然”，然后在這些不同的計(jì)算方式中進(jìn)行比較，不斷優(yōu)化長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的算法，同時(shí)，也引導(dǎo)學(xué)生充分地認(rèn)識(shí)到應(yīng)利用圖形的本質(zhì)特征進(jìn)行思考，即都是根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的含義來(lái)列式的，這勾連起算法之間的內(nèi)在聯(lián)系。最后，在優(yōu)化的方法上歸結(jié)出長(zhǎng)方形或正方形的計(jì)算法則，也讓學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)便算法的合理性產(chǎn)生更為透徹的感悟。

四、提高分析和解決的能力，發(fā)展幾何直觀

發(fā)展學(xué)生的幾何直觀是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的重要課程目標(biāo)之一。學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，往往借助直觀圖示，用畫圖描述條件與問(wèn)題，能把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單明了化，既能增強(qiáng)空間觀念，發(fā)展了幾何直觀，也在畫圖的過(guò)程中，培養(yǎng)了分析和解決問(wèn)題的能力，數(shù)學(xué)素養(yǎng)在潛移默化中得到了提升。學(xué)生看題時(shí)，可能對(duì)“一組對(duì)邊”存在疑惑，然后自覺地去互相交流、畫圖，把自己的想法和同伴商量。然后教師組織課堂，讓學(xué)生去指一指，說(shuō)一說(shuō)。也可以拿出長(zhǎng)方形或正方形教具，這樣更形象直觀，更能讓學(xué)生感受“對(duì)邊”的含義，把舊知充分喚醒，然后通過(guò)畫圖，水到渠成。接著，教師把“一組對(duì)邊”改成“邊長(zhǎng)”，讓學(xué)生嘗試去完成。像這樣的題目，只是基于學(xué)生對(duì)正方形的特性的理解是不夠的，還是需要通過(guò)畫圖的策略來(lái)幫助理解，如果不畫圖，可能很多學(xué)生會(huì)忽略18×18 這樣一個(gè)小正方形的面積。甚至還有小組在交流討論中發(fā)現(xiàn)，通過(guò)圖形的旋轉(zhuǎn)與平移，可以把增加的圖形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算，通過(guò)長(zhǎng)方形來(lái)推算出正方形的邊長(zhǎng)，從而計(jì)算出正方形的面積。能有這樣的數(shù)學(xué)思維、空間觀念、知識(shí)之間的架構(gòu)與聯(lián)系，絕非偶然。讓學(xué)生之間有所交流，借助示意圖分析數(shù)量關(guān)系的思考過(guò)程，用畫圖描述問(wèn)題，才是真正提高了分析和解決的能力，發(fā)展了幾何直觀。長(zhǎng)方形和正方形的知識(shí)架構(gòu)存在于多個(gè)數(shù)學(xué)模塊中，空間觀念的提升并非一朝一夕之功，探尋解決問(wèn)題的思路和方法在這樣一題多變之下得到了提升，空間觀念得到了培養(yǎng)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也得到了發(fā)展。

綜上所述，教師在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感受生活與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系，充分經(jīng)歷觀察、思考與探究的過(guò)程，讓其在不斷探索的過(guò)程中逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，形成一定的空間觀念，在多種策略并舉之下，提高分析和解決問(wèn)題的能力，通過(guò)比較與感悟助推學(xué)生思維的爬坡，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。