感悟運算本質(zhì)，提高運算能力

■ 蘇明強

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運算主要是指整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的“加減乘除”四則運算。運算教學(xué)在我國歷經(jīng)了一個逐步發(fā)展變化的過程，在20世紀(jì)“雙基”教學(xué)的背景下，我們十分重視算法和算理的教學(xué)，進入21 世紀(jì)，在新一輪基礎(chǔ)教育課程改革中，在原來的基礎(chǔ)上，我們開始關(guān)注算法的多樣化，現(xiàn)在進入核心素養(yǎng)時代，運算能力成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)。那么，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，如何才能更好地提高學(xué)生的運算能力，促進學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？下面，筆者從感悟運算本質(zhì)的角度，談?wù)勌岣哌\算能力的三個問題。

一、讓學(xué)生感悟運算的封閉性

長期以來，在教學(xué)中，我們常常把數(shù)的認(rèn)識與數(shù)的運算割裂開來。其實，從本質(zhì)上看，數(shù)與運算是一個有機整體。在數(shù)學(xué)中，當(dāng)產(chǎn)生一種“數(shù)”的概念后，我們就會討論這個“數(shù)集”的四則運算，在這個“數(shù)集”中，如果一種運算總是能進行，也就是運算結(jié)果總能在這個“數(shù)集”中找到，這時我們就稱這種運算在這個“數(shù)集”中具有封閉性，否則，就稱這種運算在這個“數(shù)集”中不具有封閉性。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，在自然數(shù)的基礎(chǔ)上，為了解決四則運算封閉性問題，數(shù)域必須得以不斷擴充，于是就誕生了負(fù)數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)等概念。

在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)域的擴充順序是：自然數(shù)（N）、整數(shù)（Z）、有理數(shù)（Q）、實數(shù)（R）、復(fù)數(shù)（C），在自然數(shù)范圍內(nèi)，加法、乘法都具有封閉性，即任意兩個自然數(shù)進行加法和乘法運算，其運算結(jié)果仍然是自然數(shù)。然而，自然數(shù)集中的減法運算不具有封閉性，“小數(shù)”減“大數(shù)”的結(jié)果在自然數(shù)中找不到，這就要求數(shù)域必須擴充，補充了“負(fù)數(shù)”，這時數(shù)域就從自然數(shù)擴充到整數(shù)，因此，從運算的角度看，“負(fù)數(shù)”是減法運算的一種結(jié)果。

在整數(shù)集中，加法、減法和乘法都具有封閉性，但是除法不具有封閉性，比如“6÷3=2”運算結(jié)果依然是整數(shù)，而“3÷6”運算結(jié)果在整數(shù)集中找不到。因此，為了解決除法運算的封閉性，數(shù)域必須再一次擴充，補充了“分?jǐn)?shù)”，數(shù)域就從整數(shù)擴充到了有理數(shù)，從運算的角度看，分?jǐn)?shù)是除法運算的一種結(jié)果。至此，在有理數(shù)集中，“加減乘除”四則運算都具有封閉性，四則運算暢通無阻，至于數(shù)域后來還進一步擴充到實數(shù)和復(fù)數(shù)，那是為了解決“開方”封閉性的問題。

封閉性是數(shù)學(xué)運算的本質(zhì)屬性，在運算教學(xué)中，我們不應(yīng)僅僅教學(xué)運算表面的算法，而應(yīng)結(jié)合具體內(nèi)容，通過巧妙設(shè)計，讓學(xué)生體會運算的封閉性，感悟運算本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、讓學(xué)生感悟運算的整體性

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，加法、減法、乘法和除法四則運算，根據(jù)運算的級別分類，加法和減法為一類，它們是一級運算；乘法和除法為一類，它們是二級運算。根據(jù)運算結(jié)果的特點分類，加法和乘法為一類，它們的運算結(jié)果都是越來越大；減法和除法為一類，它們的運算結(jié)果都是越來越小。從表面上看，它們是四種完全不同的運算，這是一種初步感知。從本質(zhì)上看，它們是一個有機整體，不同運算之間有著密切的聯(lián)系，這是對運算整體性的一種感悟，這種感悟有助于提高學(xué)生的運算能力，促進學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

首先，運算的整體性表現(xiàn)為不同類型的運算之間存在互逆的關(guān)系，比如，加法和減法是兩種互逆的運算，乘法和除法也是兩種互逆的運算。如果運算過程體現(xiàn)在數(shù)線上，那么加法是向前跳“幾格”，減法是向后跳“幾格”，乘法是向前跳“幾個幾”，除法是向后跳“幾個幾”。

其次，運算的整體性表現(xiàn)在相同類型的運算之間存在簡化的關(guān)系，乘法是加法（加數(shù)都相同）的一種簡便運算，比如，2+2+2=6，即3個2相加可以寫成3×2=6。除法也可以看成減法（減數(shù)都相同）的一種簡便運算，比如，6-2-2-2=0，即6 包含3 個2 可以寫成6÷2=3。

三、讓學(xué)生感悟運算的一致性

整數(shù)和小數(shù)的四則運算具有高度一致性，這是由整數(shù)和小數(shù)表示形式的統(tǒng)一性所決定的。整數(shù)和小數(shù)本質(zhì)上都是采用“十進制”記數(shù)法，它們的數(shù)位和進率體現(xiàn)出高度的一致性，整數(shù)部分的起始數(shù)位是“個位”，小數(shù)部分的起始數(shù)位是“個分位”，這里“個位”和“個分位”重疊。因此，整數(shù)和小數(shù)的數(shù)位就以“個位”為中心，左右兩邊完全對稱，左邊是十位、百位、千位……，右邊是十分位、百分位、千分位……。正因為整數(shù)和小數(shù)表示形式的完全統(tǒng)一，因此，整數(shù)和小數(shù)的四則運算高度一致。比如，整數(shù)加減法“相同數(shù)位對齊，從個位加起”和小數(shù)加減法“小數(shù)點對齊，從低位加起”，它們本質(zhì)上是一致的，小數(shù)乘除法可以直接轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘除法進行計算。