函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

安徽 石 舢

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一大主線，函數(shù)思想在非函數(shù)章節(jié)中有著廣泛的應(yīng)用，利用函數(shù)思想解決相關(guān)問題有時會輕松很多.本文介紹了函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中部分內(nèi)容上的應(yīng)用，以期幫助學(xué)生巧妙地解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.

1.在不等式中的應(yīng)用

函數(shù)思想在不等式中有著廣泛的應(yīng)用，除了在求不等式解集上的應(yīng)用外，在不等式恒成立問題中也有著重要體現(xiàn)，而恒成立問題一般是求參數(shù)的取值范圍，在試題中分兩種情況存在：在R上求參數(shù)取值范圍和在給定區(qū)間上求參數(shù)取值范圍，不妨先分析前一種情況，如例1.

【例1】若不等式kx2+kx-1<0對一切實數(shù)x恒成立，則k的取值范圍為.

【分析】我們不妨令f(x)=kx2+kx-1，那么問題轉(zhuǎn)化為對?x∈R,都有f(x)<0，求k的取值范圍.此時，函數(shù)f(x)較為簡單，學(xué)生并不陌生，可直接對f(x)進(jìn)行考查，這時我們需要對k進(jìn)行分類討論，易知當(dāng)k=0時滿足題意，當(dāng)k≠0時，不等式中的恒成立問題便是直接對二次函數(shù)進(jìn)行考查了，我們只需要確保二次函數(shù)圖象開口向下且與x軸沒有交點即可，像這樣的不等式恒成立問題，我們利用到了分類討論思想、函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想很容易求解.

【分析】有時我們考查的函數(shù)較為復(fù)雜，亦或是由于含有參數(shù)的原因，需要分類討論的情況較多，這時直接構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行分析時可能較為煩瑣，如果參數(shù)可分離，將剩余部分看成一個整體，設(shè)成相應(yīng)函數(shù)，再進(jìn)行分析，可能會有意想不到的效果.下面看看用該方法解例1.

(1)當(dāng)x2+x=0時，k∈R.

【分析】在例1中，我們發(fā)現(xiàn)方法2比方法1較為煩瑣，其原因在于x2+x的符號需要進(jìn)行討論，倘若對于kf(x)>a(a≠0)，知道f(x)的符號，那么采用方法2較為容易，而這種情況在給定區(qū)間上求參數(shù)取值范圍較為常見，因為區(qū)間給定，f(x)的取值范圍就知道了，不妨看看例2.

【解析】由(a-a2)x2+x-a+a2≤0?(a-a2)(x2-1)≤-x，

像上述不等式的問題，我們很容易聯(lián)想到函數(shù)，利用函數(shù)解決問題.

2.在比較大小中的應(yīng)用

【例3】已知實數(shù)a,b,c滿足b+c=6-4a+3a2，c-b=4-4a+a2，則a,b,c大小關(guān)系是( )

A.c≥b>aB.a>c≥b

C.c>b>aD.a>c>b

【分析】兩個實數(shù)大小的比較，可用作差法或是作商法.通過觀察發(fā)現(xiàn)b+c和c-b都是關(guān)于a的表達(dá)式，易聯(lián)想到作差法比較a,b,c的大小，且若b和c能夠表示成a的表達(dá)式，則可將a-b或b-a，c-b或b-c，a-c或c-a看成是關(guān)于a的函數(shù)，然后進(jìn)行分析.

【解析】由題意可知，b+c=6-4a+3a2①；c-b=4-4a+a2②.

①-②得，b=a2+1，故b-a=a2-a+1(將b-a看成是關(guān)于a的二次函數(shù)，易知函數(shù)開口向上，且Δ=1-4<0)，故b-a>0，即b>a.

c-b=4-4a+a2=a2-4a+4(將c-b看成是關(guān)于a的二次函數(shù)，易知開口向上，且Δ=16-16=0)，故c-b≥0，即c≥b.

故c≥b>a，故選A.

【例4】已知a，b是實數(shù),且e

在比較兩個實數(shù)大小中涉及函數(shù)思想問題，有時不易直接看出需要構(gòu)造的函數(shù)，這時還需解題者具備一定的觀察能力、分析能力，通過化歸與轉(zhuǎn)化思想，然后構(gòu)造出相應(yīng)函數(shù)，從而解決問題.

3.在方程中的應(yīng)用

方程與函數(shù)有著密不可分的聯(lián)系，在人教版必修第一冊(A版)中將一元二次函數(shù)、方程和不等式放在一起作為第二章內(nèi)容，正是因為他們有著密切聯(lián)系，對解題有幫助，且對學(xué)生日后解決復(fù)雜方程問題提供重要的數(shù)學(xué)思想——函數(shù)思想.在方程中，經(jīng)常遇到方程有根問題、零點問題，均可構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，通過考查函數(shù)的性態(tài)解決問題，如例5.

【例5】方程ex+3x=0實數(shù)解的個數(shù)是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【分析】直接解方程ex+3x=0顯得十分困難，或是當(dāng)下無法求解，若利用化歸與轉(zhuǎn)化思想，將題目改成函數(shù)f(x)=ex+3x有幾個零點問題，即函數(shù)f(x)=ex+3x與x軸有幾個交點的問題，將方程問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，可能會有意想不到的收獲.

【解析】設(shè)f(x)=ex+3x，則f′(x)=ex+3>0，故f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增，又因為當(dāng)x→-∞時，f(x)<0，當(dāng)x→+∞時，f(x)>0，所以f(x)在(-∞，+∞)上有且僅有一個零點，則方程ex+3x=0在R上有且僅有一個實數(shù)根，故選B.

函數(shù)在方程中的體現(xiàn)除了利用函數(shù)本身的特性解相關(guān)方程問題之外，函數(shù)的圖象也是一種十分重要的工具，有時我們需要借助函數(shù)的圖象來解方程問題，在試題中也是常見的，如例6.

【例6】設(shè)a，b分別是方程lnx+x-2=0和ex+x-2=0的根，則a+b的值為.

【分析】直接求出a，b的值顯然是無法辦到的，觀察發(fā)現(xiàn)兩個方程均有x-2這個式子，那么將兩個方程通過變形，得到lnx=2-x和ex=2-x，我們可構(gòu)造三個函數(shù)：y=lnx，y=ex，y=2-x，并將它們的圖象畫出來，從圖象上分析問題是否會發(fā)現(xiàn)“新大陸”？

從例6中可以看出，函數(shù)圖象在解題中的重要作用，從圖象上分析問題、解決問題就比較輕松，在例5中，我們也可將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ex與y=-3x有幾個交點？畫出草圖后，發(fā)現(xiàn)只有一個交點.

4.在向量中的應(yīng)用

在向量中，經(jīng)常遇到求最大值、最小值以及取值范圍的問題，有關(guān)最值或是取值范圍問題一定是題目中存在某一量在變動，顯然是直接對函數(shù)進(jìn)行考查.在向量中能夠發(fā)現(xiàn)函數(shù)的影子，無非是將有關(guān)向量知識點融入到函數(shù)中對學(xué)生進(jìn)行考查，其本質(zhì)還是函數(shù)問題.

A.[-5,3] B.[-3,5]

C.[-6,4] D.[-4,6]