診斷思維痛點(diǎn) 避免易錯(cuò)堵點(diǎn)
——剖析解三角形綜合問題時(shí)的思維痛點(diǎn)

浙江 余繼光

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育研究中最重要分支是解題思維，而數(shù)學(xué)解題思維中最重要的兩個(gè)方面內(nèi)容，一是數(shù)學(xué)解題思維痛點(diǎn)(漏點(diǎn)、錯(cuò)點(diǎn)、智慧點(diǎn)缺失等，本質(zhì)上就是易錯(cuò)點(diǎn))剖析研究；二是數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)積累，包括教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，研究的方法就是思維剖析(最有效最真實(shí)的是答題情況分析)、案例研究、統(tǒng)計(jì)分析、大數(shù)據(jù)研究.

解三角形一般被認(rèn)為是較容易的一類題，然而面對(duì)較復(fù)雜的求解三角形的綜合問題，許多學(xué)生無法越過眾多數(shù)學(xué)思維障礙，導(dǎo)致求解失敗.分析失敗的成因，在已知三大定理與一大公式(內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理和三角形面積公式)的基礎(chǔ)上，如何識(shí)別數(shù)學(xué)情境中隱藏的代數(shù)或三角結(jié)構(gòu)成為關(guān)鍵，只有在數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)下，經(jīng)過熟練的三角變換或運(yùn)算將三定理與一公式有機(jī)串起來，鏈接能力才能形成.

1 運(yùn)算不熟練不到位之痛

解三角形的綜合問題離不開代數(shù)與三角運(yùn)算，比如，遇到高次函數(shù)時(shí)的換元降次，遇到無理函數(shù)時(shí)，借助于三角代換轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)等.

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)設(shè)b=c，N是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且與點(diǎn)A分別位于直線BC的兩側(cè)，如圖，若BN=4，CN=2，求四邊形ABNC面積的最大值.

又a2=2b2，

四邊形ABNC的面積

令t=8cosθ(0<θ<π)，

易錯(cuò)點(diǎn)：面積函數(shù)中遇到高次表達(dá)式、無理函數(shù)時(shí)，缺少降次意識(shí)與無理轉(zhuǎn)化為有理的技術(shù).

痛點(diǎn)分析：

(1)第(Ⅰ)問，邊角之間的靈活轉(zhuǎn)化是求角A的關(guān)鍵，合一變換以及解三角方程是基本功；

(2)第(Ⅱ)問，如何選擇變量建立面積函數(shù)是一個(gè)智慧點(diǎn)，根據(jù)題設(shè)給定的邊的關(guān)系以及對(duì)角A的確定，從而找到a2=2b2是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；

(5)最后借助于合一變換，化簡函數(shù)，利用正弦函數(shù)有界性求出函數(shù)最大值.

2 三角變換不熟練之痛

幾何問題中的代數(shù)問題，比如求最值，需要建立目標(biāo)函數(shù)，涉及選擇參變量，建立數(shù)學(xué)模型，而復(fù)雜的三角模型需要通過三角變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的三角函數(shù)，此過程的基本功就是三角變換力.

【問題2】(2019·稽陽聯(lián)考改編)等腰直角△ABC中，AB=AC=1，在AB,AC上分別取D,E，沿DE折疊，A恰好落在邊BC上，則AD的最小值為________.

解析：A在BC上投影為P，

易錯(cuò)點(diǎn)：在復(fù)雜三角形中缺少引參技術(shù)，建模技術(shù)，平面幾何與三角函數(shù)的基礎(chǔ)掌握不牢.

痛點(diǎn)分析：

(1)一是審題能力不足——不能理解題意把握問題本質(zhì)：幾何信息代數(shù)化、三角化，為建立函數(shù)模型打下基礎(chǔ)；

(2)二是方法不得當(dāng)——不能將幾何條件轉(zhuǎn)化到三角形式，不會(huì)選擇一個(gè)角與目標(biāo)量建立關(guān)系，不能迅速建立目標(biāo)函數(shù)來解決給定的問題；

(3)引入角建立目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)痛點(diǎn)，分析三角形內(nèi)各角之間的聯(lián)系也是一個(gè)痛點(diǎn)；

(4)通過兩個(gè)三角形內(nèi)運(yùn)用正弦定理，找橋、用橋、然后拆橋(BP)，建立AD的目標(biāo)函數(shù)——數(shù)學(xué)模型，利用三角函數(shù)有界性確定函數(shù)最值.

3 隱藏條件挖掘不到位之痛

看似簡單的代數(shù)條件可能隱藏著關(guān)鍵的幾何關(guān)系，通常的字母到數(shù)的思維可能轉(zhuǎn)變?yōu)橛蓴?shù)到字母的變形，從而找到問題的結(jié)構(gòu).

【問題3】(2020·天利圖書聯(lián)考改編)已知a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若a=4，c2=2b2-32，則△ABC面積的最大值為________.

解法1：(建立面積函數(shù)，進(jìn)而求函數(shù)的最大值)

從而可知，當(dāng)b2=80時(shí)，△ABC面積最大，最大值為16.

解法2：(利用余弦定理邊角互化)c2=2b2-2a2.

又b2=c2+a2-2accosB,

兩式聯(lián)立可得c2=2c2-16ccosB，c=16cosB，

解法3：(挖掘直角三角形的性質(zhì))

如圖，過C作AB的垂線交AB于點(diǎn)D，

在兩個(gè)含高CD的直角三角形中，

令BD=x，則AD=c-x，設(shè)CD=h,

所以b2=(c-x)2+h2，a2=x2+h2,

從而可得ch≤32，則△ABC面積最大值為16.

易錯(cuò)點(diǎn)：建立面積函數(shù)遇到高次和無理函數(shù)時(shí)，缺少對(duì)結(jié)構(gòu)的把握，三角形的邊角轉(zhuǎn)化技術(shù)不牢.

痛點(diǎn)分析：

(1)解法1中挖掘余弦定理與三角形面積公式間的關(guān)系，不了解則產(chǎn)生障礙與痛點(diǎn)；

(2)解法2中挖掘余弦定理結(jié)構(gòu)特征與三角函數(shù)有界性關(guān)系，智慧點(diǎn)達(dá)不到產(chǎn)生痛點(diǎn)；

(3)解法3中挖掘直角三角形中邊角關(guān)系，挖掘不到位產(chǎn)生痛點(diǎn).

4 題設(shè)條件挖掘不到位之痛

三角形中3條邊3個(gè)角不是獨(dú)立的變量，受到“三定理一公式”的制約，還受到三角函數(shù)的制約，尋找到它們之間的聯(lián)系才能突破問題的障礙.

化簡得a2+h2-mn=3ah，c2=m2+h2,b2=n2+h2,

則a2+b2+c2=2h2+m2+n2+a2=2a2+2h2-2mn=6ah=24.

整理得a2+b2+c2=24.

易錯(cuò)點(diǎn)：三角形中邊角之間的聯(lián)系信息挖掘不到位，鏈接不到位，轉(zhuǎn)化不到位.

痛點(diǎn)分析：

(1)解法1中利用三角函數(shù)定義將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，挖掘不到位產(chǎn)生痛點(diǎn)；

(2)解法2中將正切函數(shù)轉(zhuǎn)化為正余弦函數(shù)，然后利用正弦與余弦定理轉(zhuǎn)化到邊的關(guān)系，挖掘不到位產(chǎn)生痛點(diǎn).

5 缺少“邊角統(tǒng)一思想”之痛

解斜三角形問題時(shí)，對(duì)于邊角之間的數(shù)量關(guān)系，需要通過“三定理一公式”將其統(tǒng)一起來，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系與結(jié)構(gòu)，缺少“統(tǒng)一”思想，處處遇到障礙.

6cosCsinAsinB=sin2A+sin2B.

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，

結(jié)合正弦定理c=2RsinC，b=2RsinB，a=2RsinA，

代入得sin2C=sin2B+sin2A-2sinBsinAcosC

當(dāng)A=B或a=b時(shí)滿足題意，

易錯(cuò)點(diǎn)：主干條件轉(zhuǎn)化缺少統(tǒng)一到邊、統(tǒng)一到角的思想，目標(biāo)結(jié)論三角變換公式不到位.

痛點(diǎn)分析：

(1)解法1在統(tǒng)一到角的思想支配下進(jìn)行推理，缺少者產(chǎn)生痛點(diǎn)；

(2)解法2在統(tǒng)一到邊的思想支配下進(jìn)行推理，缺少者產(chǎn)生痛點(diǎn)；

(3)對(duì)輪換結(jié)構(gòu)思想不了解，不會(huì)想到解法3.

6 缺少多角度審視三角形之痛

高考數(shù)學(xué)中的解三角形問題，題設(shè)條件是命題專家精心設(shè)計(jì)的“局”，學(xué)會(huì)多角度審視其中的條件結(jié)構(gòu)，深入的挖掘隱藏的內(nèi)容，一般都可以突破.

解法1：(解三角形法)

解讀：通過分析給定三角形的特征，由△ABM中的邊角數(shù)量關(guān)系過渡到△ABC中邊角數(shù)量關(guān)系，在△ABM中(斜三角形)利用正弦定理，在△ABC中(直角三角形)利用三角函數(shù)定義，運(yùn)算思路清晰，運(yùn)算的關(guān)鍵點(diǎn)是尋找AC與BC的大小關(guān)系.

解法2：(三角函數(shù)定義法)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖直角坐標(biāo)系，

所以8c2=(a+b)2①.

又由勾股定理知b2=a2+c2+(b-a)2+c2②，

解讀：利用三角函數(shù)定義，將∠CAB與∠BAM的AB邊為始邊，把研究這兩個(gè)角的正弦值轉(zhuǎn)化為研究點(diǎn)M，C的坐標(biāo)之間關(guān)系，回歸三角函數(shù)定義是多么地令人鼓舞！

解法3：(三角形面積法)AC=b,BC=a,S△ABC=2S△ABM，

解讀：從上述兩解法中可以看出，尋找AC與BC的大小關(guān)系是問題的突破口.而解決這一突破的方法還有許多，比如利用三角形面積S△ABC=2S△ABM，以及直角三角形的勾股定理！

解讀：類似于三角形面積法一樣，尋找AC與BC的大小關(guān)系是問題的突破口.借助于向量運(yùn)算及正弦定理也能解決這一障礙.

解法5:(三角變換法)設(shè)BM=MC=1，AC=x，

解讀：三個(gè)角∠CAB，∠BAM，∠CAM之間的關(guān)系：∠CAB=∠BAM+∠CAM，很容易聯(lián)想到兩角和的三角函數(shù)正切公式，把這一公式與三角函數(shù)定義溝通，就可突破！

易錯(cuò)點(diǎn)：在復(fù)雜三角形中，尋找“橋”變量的意識(shí)不到位，不會(huì)在不同三角形中搭橋鋪路.

痛點(diǎn)分析：

(1)解法1突出分析三角形中的邊角關(guān)系；

(2)解法2突出利用三角函數(shù)定義將三角函數(shù)與點(diǎn)的坐標(biāo)緊密聯(lián)系；

(3)解法3巧妙利用三角形面積關(guān)系尋找到邊與邊間的數(shù)量關(guān)系；

(4)解法4巧妙利用向量工具尋找到邊與邊間的數(shù)量關(guān)系；

(5)解法5突出利用三角變換工具求出目標(biāo)函數(shù)的值.

7 缺少三角運(yùn)算力之痛

三角函數(shù)有其固有的規(guī)律，角的規(guī)律與邊的規(guī)律不同，前者借助于三角變換與運(yùn)算，后者借助于代數(shù)變換與運(yùn)算，兩者之間靈活地轉(zhuǎn)化與串聯(lián)是智慧，缺少就是易錯(cuò)點(diǎn)，就是痛點(diǎn).

(Ⅱ)若BC=17，CA=6，求AB;

(1-λ)2(1-cosA)(1-cosC)=2λ2(1-cosB),

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)已知信息中正切函數(shù)與余弦函數(shù)間的聯(lián)系，鏈接余弦定理的意識(shí)不到位.

痛點(diǎn)分析：

(1)問題(Ⅰ)中半角的正切與余弦定理間的聯(lián)系推不出而產(chǎn)生思維痛點(diǎn)；

(2)問題(Ⅲ)中代數(shù)式的推演能力達(dá)不到而產(chǎn)生痛點(diǎn).