一道含有全稱量詞、存在量詞的函數(shù)題易錯分析

江蘇 張啟兆 劉曉潔

函數(shù)作為高中數(shù)學內(nèi)容的一條主線，對整個高中數(shù)學有著重要的意義，每年高考卷都將其作為必考題.含有全稱量詞與存在量詞的不等式成立問題，也是高考的高頻考點，考生在遇到這一部分的試題時常常出現(xiàn)錯誤.對此本文以2022年蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研(一)數(shù)學第12題為例，對含有全稱量詞與存在量詞的函數(shù)題中,因不理解全稱量詞與存在量詞的含義及不會等價轉(zhuǎn)化致誤的易錯點進行剖析，并提出了相應的解題策略.

一、試題呈現(xiàn)

【答案】AB

【解題思路】

等價于函數(shù)f(x)在(0,+∞)上沒有最小值，

【易錯：問題的等價轉(zhuǎn)化】

【易錯：不會將f′(x)轉(zhuǎn)化成適當?shù)拇鷶?shù)式乘積的形式】

(1)當a≤0時，當00，當x>1時，f′(x)<0，即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

則當x=1時，f(x)max=f(1)=ea-1，f(x)的值域為(-∞,ea-1]，f(x)在(0,+∞)內(nèi)無最小值，因此，a≤0符合題意；

【易錯：忽視對參數(shù)a的分類討論】

如圖，在同一平面直角坐標系內(nèi)作出直線y=a與函數(shù)y=g(x)的大致圖象.

當0x2時，f′(x)>0，

即函數(shù)f(x)在(0,x1)，(1,x2)上單調(diào)遞減，在(x1,1)，(x2,+∞)上單調(diào)遞增，

函數(shù)f(x)在x=x1與x=x2處都取得極小值，f(x)min=min{f(x1),f(x2)}，不符合題意；

【易錯：不會虛設零點x1,x2】

即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(1)=ea-1，不符合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]，

所以滿足條件的實數(shù)a的可能值有-1，0,故選AB.

【易錯提醒】含有全稱量詞、存在量詞的同一函數(shù)的不等式成立問題，關鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價轉(zhuǎn)換”：

形如“對?x1∈A，都?x2∈A，總有f(x1)

形如“對?x1∈A，都?x2∈A，總有f(x1)>f(x2)成立”等價于“函數(shù)f(x)在A上沒有最小值.

問題等價于函數(shù)g(t)=at-lnt(t≥e)在[e,+∞)上無最小值.

①當a≤0時，g(t)在[e,+∞)上單調(diào)遞減，當t→+∞時，g(t)→-∞，符合題意；

g(t)有最小值，不符合題意，舍去.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(-∞，0],

所以滿足條件的實數(shù)a的可能值有-1，0,故選AB.

因為?s∈(0,+∞)，總?t∈(0,+∞),使得f(t)

①當a=-1時，h′(t)<0，h(t)在[e,+∞)上單調(diào)遞減，無最小值，A正確；

②當a=0時，h′(t)<0，h(t)在[e,+∞)上單調(diào)遞減，無最小值，B正確；

④當a=1時，h′(t)>0，h(t)在[e,+∞)上單調(diào)遞增，h(t)有最小值h(e)，D錯誤.

解法4(檢驗法):考慮到本題是多選題中的壓軸題，對于大部分學生來說，看到本題怎樣快速搶2分，優(yōu)秀學生如何快速得5分,可以使用代入檢驗法.

(易錯：解題方法不靈活，不會用檢驗法)

因為求的是a的取值范圍，而給出的4個選項是具體的數(shù)值，從選擇值的判斷來說，優(yōu)先選擇B，畫出函數(shù)f(x)=-x+lnx的大致圖象(如圖1)，發(fā)現(xiàn)它不存在最小值，符合題意.

圖1 圖2

二、易錯數(shù)據(jù)

以一個班級為樣本的易錯數(shù)據(jù)分析：

易錯數(shù)據(jù)分析表易錯點名稱不理解全稱量詞與存在量詞的含義及不會等價轉(zhuǎn)化致誤題源名稱2022學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研(一)數(shù)學第12題班級總?cè)藬?shù)48該題平均得分1.51得分情況5分(滿分)2分(部分選對)0分人數(shù)62121

三、易錯分析

該題是多選題的壓軸題，難度較大，從考試結(jié)果來看，得分率也極低(平均分1.51).本題以指、對數(shù)函數(shù)為載體，綜合考查導數(shù)的應用，以及含有全稱量詞、存在量詞的不等式成立問題的轉(zhuǎn)化策略，題干簡約，背景新穎，對數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)有較高的要求.許多同學一見到此題，就感到信心不足,函數(shù)解析式中既有指數(shù)函數(shù)又有對數(shù)函數(shù)，有兩個參數(shù)，還有全稱量詞、存在量詞，做題過程中極易出錯.筆者分析主要會在以下四個方面存在問題：

(1)不理解全稱量詞與存在量詞的含義，“若對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)s，總存在實數(shù)t使得f(t)

(2)審題時沒有注意到本題中只有一個函數(shù)，而誤以為是兩個不同的函數(shù)，套用結(jié)論“已知函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d].若?x1∈[a,b]，?x2∈[c,d]，有f(x1)

(4)不會利用分類討論、數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題.

四、易錯練習

【解題思路】對于定義域內(nèi)任意x1，總存在x2，使得f(x2)

所以函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)無最小值，

【分析】根據(jù)給定定義可得函數(shù)h(x2)在[0,2]上的值域包含函數(shù)y=2a-x1在[0,2]上的值域，再借助a值的唯一性即可推理計算作答.

【評注】若?x1∈[a,b]，?x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)，則f(x)的值域是g(x)值域的子集.

五、教學啟示

該題重視基于數(shù)學素養(yǎng)的關鍵能力的考查，在數(shù)學知識層面、數(shù)學能力層面和創(chuàng)新思維層面都有所體現(xiàn)，對數(shù)學教學具有重要啟示意義.

1.注重過程，提升思維品質(zhì)

重視基本知識和技能的學習，注重過程，讓問題探究成為課堂的中心與主線，從而拓展知識的深度，提升思維品質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，進一步提高素養(yǎng)，這是一個循序漸進的過程.布魯納曾說：“我們教一個科目，不是去建立一個有關該科目的小型圖書館，而是要學生自行思考，像一名數(shù)學家那樣去思考數(shù)學，像史學家那樣去探索歷史，投入到獲得知識的過程中去.”如果教師在準備高三數(shù)學復習課時能多在學習策略、思考方法和探索途徑上下功夫，用“問題串”驅(qū)動學生思維，促進學生深度學習，那么高三數(shù)學復習才會有“跳出題?！钡南ＭM而達到培養(yǎng)學生思維能力的目標.

2.轉(zhuǎn)變角色，教為主轉(zhuǎn)向?qū)W為主

今年的高考數(shù)學試題堅持“引導學校和學生減少‘死記硬背’和‘機械刷題’現(xiàn)象”，再一次啟發(fā)教師要轉(zhuǎn)變育人方式，重視學生的主體作用與合作探究，堅決摒棄課堂教學“滿堂灌”；重視新教材中的“拓廣探索”“探究與發(fā)現(xiàn)”，引導學生建立知識體系，促進學生將知識和方法內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu)；重視從以教為主轉(zhuǎn)向以學為主，要精準分析學情，精心設計數(shù)學探究活動；重視自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等多種學習方式，以達到提高復習效率、提升學生“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗)的目的.

3.改變教學方式，重視主題教學、深度學習