例談三角函數(shù)中ω的取值范圍問題
——基于核心素養(yǎng)的高考復(fù)習(xí)微專題

陜西 侯有岐

在近幾年的高考中，三角函數(shù)是高考必考的重點內(nèi)容，根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)性質(zhì)求解參數(shù)ω的值或取值范圍是三角函數(shù)中比較典型的一類問題，它能有效考查學(xué)生對三角函數(shù)基本性質(zhì)的掌握程度，因此備受高考命題者的青睞，但仍有部分學(xué)生對此類問題處理起來存在一定的困難，不知道如何等價轉(zhuǎn)化問題的已知條件，造成求解范圍不準(zhǔn)確.本文就如何突破解析式中參數(shù)ω的策略作了一些總結(jié)，以供讀者參考.

題型一：與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)

(2)已知三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在某個區(qū)間M上的單調(diào)性，求參數(shù)ω的取值范圍，可先求出f(x)的同類單調(diào)區(qū)間D，然后利用M?D這個關(guān)系求解，如解法二，考查了部分與整體的思想；當(dāng)然本題也可以利用導(dǎo)數(shù)知識解決，如解法一，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

題型二：與函數(shù)的值域有關(guān)

題型三：與函數(shù)的最值、極值有關(guān)

要使函數(shù)在區(qū)間(0,π)恰有三個極值點、兩個零點，

題型四：與函數(shù)的零點有關(guān)

因為ω>0，當(dāng)x∈(π,2π)時，

進(jìn)而可得

假設(shè)f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)有零點，

點評：(1)三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)相鄰兩個零點間的距離的大小對函數(shù)周期的影響，也是求三角函數(shù)周期和參數(shù)ω的重要思路，但求解過程中應(yīng)注意圖象的平衡位置發(fā)生變化時，即平衡位置不在x軸上時，其相鄰兩個零點的距離一定不再是半個周期.

(2)本題解法二先假設(shè)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)有零點，然后分類討論求出ω的范圍，從而得出沒有零點時ω的范圍，即“正難則反”，考查了分類與整合的思想.

題型五：與函數(shù)的對稱性有關(guān)

題型六：與函數(shù)的周期性有關(guān)

設(shè)f(x)的最小正周期為T，

又f(x)的最小正周期大于2π,所以0<ω<1，

題型七：與函數(shù)的多種性質(zhì)有關(guān)

A.11 B.9 C.7 D.5

點評：三角函數(shù)的性質(zhì)包含值域、最值、單調(diào)性、周期性、對稱性和零點等多類性質(zhì)，這些性質(zhì)直接影響著函數(shù)周期的變化，也影響著參數(shù)ω的取值或范圍，以上兩個問題的解決都是著眼于三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)周期的影響這一本質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

結(jié)語：y=Asin(ωx+φ)的圖象源于y=sinx，y=Acos(ωx+φ)的圖象源于y=cosx，y=Atan(ωx+φ)的圖象源于y=tanx，無論題目的背景換成什么，其本質(zhì)不變，都是通過正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)來解決，因此，借助三角函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)解析式中的參數(shù)ω，應(yīng)在熟悉基本三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，通過掌握參數(shù)ω與三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性和最值等之間的密切聯(lián)系，利用整體思想和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，把復(fù)雜問題簡單化、熟悉化，才能更有效地破解求參數(shù)ω過程中的難點.