深度學(xué)習(xí)理念下探究式教學(xué)的實(shí)踐與反思
——以“利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程解的存在”教學(xué)為例

汪貴宏

(陜西省西安電子科技大學(xué)附屬中學(xué),710071)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)”[1].這就要求在課堂教學(xué)中,要認(rèn)真思考如何創(chuàng)設(shè)情境、啟發(fā)學(xué)生深度思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì),從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

探究式教學(xué)是指在教師的引導(dǎo)和組織下,學(xué)生以自主探究、合作探究、小組交流的方式,圍繞教師設(shè)置的問題、活動主動地感受問題、發(fā)現(xiàn)問題、抽象結(jié)論、自主運(yùn)用已有知識和經(jīng)驗(yàn)來解決新的問題的一種教學(xué)模式．本文以“利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程解的存在”的同課異構(gòu)活動為例,對此進(jìn)行探討．

一、教學(xué)實(shí)踐

1.情境引入

問題1在生活中,有哪些類似于函數(shù)與方程關(guān)系的例子?

讓學(xué)生回顧廣播操比賽視頻和照片,體會變化過程與變化片段的關(guān)系,進(jìn)而讓學(xué)生從全局和片刻的角度去觀察廣播操比賽的動作變化整齊程度,在這樣的情境鋪墊下,提出函數(shù)與方程的關(guān)系．

數(shù)學(xué)源于生活,高于生活．通過這個(gè)例子看到,根據(jù)照片和視頻都可以表達(dá)廣播操比賽中一個(gè)班的動作變化是否整齊統(tǒng)一的整體水平．但照片可以看作是視頻的一個(gè)畫面,就跟方程是函數(shù)變化關(guān)系中的一個(gè)相等狀態(tài)一樣,函數(shù)是研究事物變化過程的數(shù)學(xué)模型,方程刻畫的則是相等關(guān)系成立的某種狀態(tài)．兩者之間有什么關(guān)系呢?如何利用函數(shù)的性質(zhì)來解決方程的相關(guān)問題?這就是今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．

2.概念生成

問題2方程lnx+2x-6=0是否有根?

我們已經(jīng)學(xué)過一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程,并掌握一些方程的求解公式.實(shí)際上,絕大多數(shù)方程是沒有求解公式的．面對方程是否有解這個(gè)問題,可以從這個(gè)方程所對應(yīng)的函數(shù)角度去研究．

問題3面對數(shù)學(xué)新問題,應(yīng)該采取怎樣的數(shù)學(xué)方法去研究呢?

引領(lǐng)學(xué)生回顧研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,從簡單的、已熟知的函數(shù)模型出發(fā),從特殊到一般,進(jìn)而總結(jié)出相關(guān)結(jié)論．通過復(fù)習(xí),讓學(xué)生意識到二次函數(shù)在研究單調(diào)性和奇偶性時(shí)的作用,啟發(fā)學(xué)生可以從一元二次方程出發(fā),去探討一元二次方程的根與函數(shù)之間的關(guān)系．

問題4一元二次方程的根與一元二次函數(shù)有何關(guān)系?

引導(dǎo)學(xué)生通過完成表1中的自主探究內(nèi)容,得出結(jié)論．

通過探究,發(fā)現(xiàn)方程的根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).進(jìn)而繼續(xù)發(fā)問,得知這一關(guān)系后,對判斷方程是否有根有何幫助?引導(dǎo)學(xué)生意識到可以把代數(shù)的方程是否有根的問題轉(zhuǎn)化為幾何的函數(shù)圖象與x軸是否有交點(diǎn)的問題,這就是數(shù)形結(jié)合思想．在這里給出函數(shù)零點(diǎn)的定義:“對于函數(shù)y=f(x),把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)”．辨析討論,深化關(guān)系：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)．

3.概念完善

新的問題又來了,大多數(shù)函數(shù)的圖象是畫不出來的,自然也就不知道函數(shù)圖象與x軸是否有交點(diǎn)了．又該如何去尋找答案呢?引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)從二次函數(shù)出發(fā),來看看能否從二次函數(shù)的零點(diǎn)的特征來探討如何解決更為一般的函數(shù)零點(diǎn)的存在性．

問題5從二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系出發(fā),進(jìn)行探究,如何確定一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上一定存在零點(diǎn)?

利用函數(shù)圖象直觀的特點(diǎn),進(jìn)一步突破函數(shù)零點(diǎn)與方程根相互轉(zhuǎn)化這一難點(diǎn)，加深學(xué)生對方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的理解．在給出探究表格前,至關(guān)重要的一點(diǎn)是分析為何要去探究端點(diǎn)值是否異號．

判斷給定區(qū)間上是否一定存在零點(diǎn),可以從特殊出發(fā),多觀察幾個(gè)區(qū)間．而現(xiàn)在的問題是不一定能借助函數(shù)圖象,那就繼續(xù)從特殊出發(fā),從區(qū)間端點(diǎn)值角度研究,看有無本質(zhì)特征．這樣便可引導(dǎo)學(xué)生給出表2最后兩列觀察項(xiàng)目的答案．

表2

由于二次函數(shù)是連續(xù)函數(shù),在抽象概括出的結(jié)論中,學(xué)生容易忽略函數(shù)的連續(xù)性要求,因此提出如下問題:

問題6若函數(shù)f(x)在[a,b]上滿足f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn)嗎?

引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)從特殊出發(fā),思考能否用已有的函數(shù)中舉出反例．從而形成完整的零點(diǎn)存在的判定方法:如果① 函數(shù)f(x)的圖象在[a,b]上連續(xù)，②f(a)f(b)<0，則f(x)在(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)．

問題7在此判定方法中,由結(jié)論能推出條件嗎?即若f(x)在(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn),是否一定要有f(a)f(b)<0(圖1)?

4.概念應(yīng)用

練習(xí)1函數(shù)f(x)=2x-1的零點(diǎn)是______.

練習(xí)2判斷函數(shù)f(x)=4x3-8x2+3x在下列區(qū)間內(nèi)是否有零點(diǎn)?

(1)(-1,1) (2)(1,2)

存在性探究利用零點(diǎn)存在性定理探索函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).這個(gè)問題有一定難度.不同的學(xué)生可能會選擇不同的區(qū)間，從而得出不同的結(jié)論．此題是零點(diǎn)存在性定理的初步應(yīng)用,為二分法和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用埋下伏筆.這里可運(yùn)用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)或幾何畫板作出函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的圖象進(jìn)行驗(yàn)證證實(shí)．

5.開放式小結(jié)

問題8本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識?掌握了哪些方法?體會了哪些思想?

知識包括(1)零點(diǎn)的概念,方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；(2)連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.方法有數(shù)形結(jié)合,等價(jià)轉(zhuǎn)化等.數(shù)學(xué)思想主要是特殊到一般和具體到抽象．

通過開放式的小結(jié),讓不同的學(xué)生有不同的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和收獲，知道研究一個(gè)數(shù)學(xué)問題,從特殊到一般,從代數(shù)到幾何再從幾何到代數(shù)的辯證的進(jìn)階過程,引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu),形成完備的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識體系．

二、教學(xué)反思

1.合理設(shè)置探究問題,注重要素探究

波利亞說過:“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn),因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深刻,也最容易掌握其內(nèi)在規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系”．指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué),應(yīng)倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究體驗(yàn)式學(xué)習(xí),但探究式學(xué)習(xí)中問題的設(shè)置不能由老師單獨(dú)完成.探究什么問題?探究到怎樣的程度?需要探究哪些具體的細(xì)節(jié)?都應(yīng)該經(jīng)過學(xué)生反復(fù)思考,而不是“以‘例題講解+模仿練習(xí)’的方式讓學(xué)生不斷‘重復(fù)昨天的故事’”[2]．因此,本節(jié)課精心設(shè)置兩個(gè)探究環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、合作學(xué)習(xí)．對表格中的探究項(xiàng)目,并沒有直接給出,而是先從問題出發(fā),細(xì)化到討論區(qū)間,從而列舉多個(gè)區(qū)間,進(jìn)而需要觀察多個(gè)區(qū)間,所以增加多個(gè)區(qū)間這個(gè)維度;因?yàn)椴灰欢墚嫵龊瘮?shù)圖象,從而無法考察其他特征,所以繼續(xù)從特殊出發(fā),選擇觀察區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的特征,根據(jù)函數(shù)值的正負(fù),進(jìn)而確立f(a)·f(b)<0是否成立這個(gè)觀察維度．基于深度學(xué)習(xí)的合作探究,不是給定結(jié)論后的合作驗(yàn)證,必須對觀察對象有進(jìn)一步的研究,才能經(jīng)歷觀察事物、想象結(jié)構(gòu)、分析要素、歸納特征,并將抽象出的特征概括到同一類事物中去,這些問題的設(shè)置,充分挖掘了本節(jié)課的思維深度與廣度．

2.關(guān)注前后知識聯(lián)系,強(qiáng)調(diào)從特殊到一般

本節(jié)課特別注意引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,體會二次函數(shù)模型在前兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)研究中的作用,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生從一元二次方程和二次函數(shù)的角度來觀察,將課題利用函數(shù)的性質(zhì)判斷方程解的存在具體化、特殊化,此后再類比到一般的函數(shù)和方程．運(yùn)用歸納,從特殊函數(shù)到一般函數(shù),理解事物之間的關(guān)聯(lián),把握知識結(jié)構(gòu),培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力．

3.深度應(yīng)用數(shù)形結(jié)合,培養(yǎng)問題表征能力

學(xué)生的思維水平處在由形象思維到抽象思維過渡的時(shí)期,在遇到困惑時(shí),能把已有的數(shù)學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)、規(guī)律、方法等通過直觀恰當(dāng)?shù)谋碚鬟w移到解決困惑中去,是很重要的直觀素養(yǎng)．本節(jié)課面對一個(gè)新問題,把代數(shù)問題一元二次方程的根與二次函數(shù)的圖象建立聯(lián)系,從數(shù)到形,進(jìn)而把數(shù)量關(guān)系合理地轉(zhuǎn)化為幾何圖形.在尋找解決途徑的同時(shí),發(fā)現(xiàn)推廣到一般函數(shù)圖象,進(jìn)而又從圖形變換到區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值是否異號這樣的代數(shù)問題．學(xué)生對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行表征和轉(zhuǎn)換的能力,是深刻理解數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵,也是解題能力的關(guān)鍵．引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)到形,再從形到數(shù),這個(gè)過程中重要的是思維的拓展和數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用.這里有經(jīng)歷“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村”的一種“絕處逢生”的喜悅.這就是數(shù)學(xué)的美,數(shù)學(xué)的妙．

李尚志教授指出,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理是從無到有產(chǎn)生數(shù)學(xué),從少到多發(fā)展數(shù)學(xué),產(chǎn)生和發(fā)展的過程其實(shí)也是數(shù)學(xué)建模,得到的產(chǎn)品就是數(shù)學(xué)知識,組成強(qiáng)大的工具庫供人類拿去解決新的問題[3]．作為教師,要善于做到把握課堂教學(xué)中每一個(gè)探究的機(jī)會,在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)探究問題,引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度思考與交流,有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展．