教材整合顯自然 數(shù)學(xué)探究育素養(yǎng)
——以“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”教學(xué)為例

石雨卓

(浙江省諸暨中學(xué)暨陽分校,311800)

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》[1](以下簡稱課標(biāo))的頒布和實(shí)施,新教材提供了問題情境、探究活動(dòng)、例題練習(xí)等豐富的教學(xué)資源,并將這些資源組成一個(gè)緊密聯(lián)系的有機(jī)整體,為教學(xué)實(shí)踐提供了范本.因此,教師應(yīng)當(dāng)比較新舊教材,深入研讀課標(biāo)和教材,挖掘新教材的編寫意圖,并根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況,靈活使用教材,取長補(bǔ)短,合理整合,讓課堂教學(xué)更加自然流暢.本文以“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”第1課時(shí)教學(xué)為例，對(duì)此進(jìn)行探究．

一、新舊教材比較分析

從授課時(shí)間段、知識(shí)點(diǎn)、教材結(jié)構(gòu)這三個(gè)角度研究新舊教材“等式與不等式性質(zhì)”的內(nèi)容差異,得到如下表1[2].

結(jié)合新舊教材分析,發(fā)現(xiàn)新教材將“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”這一部分內(nèi)容提前至高一上學(xué)期學(xué)習(xí),承接學(xué)生初中已學(xué)的關(guān)于等式與不等式的基礎(chǔ)知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生類比等式研究不等式,并為之后學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)做好鋪墊,形成函數(shù)、方程與不等式的結(jié)構(gòu)和系統(tǒng),起到承前啟后的作用.對(duì)比舊教材中必修五第三章的位置,新教材此次調(diào)整顯然在學(xué)生的思維邏輯上更為合理,整體設(shè)計(jì)更顯自然.

表1 新舊教材“等式與不等式性質(zhì)”比較表

在內(nèi)容上,舊教材并未明確劃分課時(shí),主要從情境中抽象出不等式,從“數(shù)軸法”比較實(shí)數(shù)的大小中引出“作差法”比較大小,以此作為研究不等式的一個(gè)出發(fā)點(diǎn),得到不等式的性質(zhì),最后是不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用,具體流程見圖1.主要強(qiáng)調(diào)“不等式”的工具作用及應(yīng)用價(jià)值.

而新教材則明確將本節(jié)課劃分為兩個(gè)課時(shí):第1課時(shí)為從情境中抽象出不等式,從研究不等式性質(zhì)引出基本事實(shí)并進(jìn)行“作差法”應(yīng)用,最后從趙爽弦圖中得到重要不等式(見圖2);第2課時(shí)則主要從等式的性質(zhì)中類比得到不等式性質(zhì),旨在幫助學(xué)生學(xué)會(huì)類比學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方法,完成初、高中學(xué)習(xí)的過渡.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

結(jié)合教材、學(xué)情及實(shí)踐綜合分析,可對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合,將趙爽弦圖的探究移至“作差法”比較大小前面，不僅從情境中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系,還從趙爽弦圖(圖形)中發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系和不等關(guān)系,尤其是重要不等式的挖掘,自然過渡到用作差法來證明該不等式,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.具體流程設(shè)計(jì)如圖3所示.

教學(xué)過程如下：

1.情境引入

現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的相等關(guān)系和不等關(guān)系,如何用數(shù)學(xué)語言抽象表達(dá)這些關(guān)系?請(qǐng)看教材第37頁的問題1.

問題1(具體內(nèi)容略).

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生從現(xiàn)實(shí)、科學(xué)、數(shù)學(xué)等情境中挖掘出不等關(guān)系,并用不等式加以表述,最后總結(jié)如何用不等號(hào)等符號(hào)語言來表達(dá)情境中關(guān)于不等關(guān)系的文字語言,體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng),感悟“數(shù)學(xué)來源于生活”,最后總結(jié)不等關(guān)系的文字語言與符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化(見表2).

表2

2.新知探究

問題2上面從實(shí)際情境中抽象出不等關(guān)系,能否在圖形中也抽象出不等關(guān)系呢?結(jié)合中國古代數(shù)學(xué)家趙爽設(shè)計(jì)的弦圖(如圖4),你能從圖中發(fā)現(xiàn)哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系?

生1:圖4中有四個(gè)全等的直角三角形和兩個(gè)正方形，由S大正方形≥S小正方形得c2≥(a-b)2由S大正方形=S小正方形+4SRt?ABE得c2=(a-b)2+2ab，即我們熟知的勾股定理c2=a2+b2.

生2:除了S大正方形≥S小正方形,我還發(fā)現(xiàn)S大正方形≥4SRt?ABE,即c2≥2ab.由勾股定理得a2+b2≥2ab.

(同學(xué)們結(jié)合圖形,從邊長、角度、周長、面積等方面提出眾多相等和不等關(guān)系,限于篇幅,此處不一一列舉)

師:我們從圖形角度證明了當(dāng)a>0,b>0時(shí),上述不等式成立,能否從代數(shù)的角度來加以證明呢?本節(jié)課以a2+b2≥2ab為例進(jìn)行論證.

生:由a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,證得a2+b2≥2ab.

追問:當(dāng)且僅當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí),不等式取到等號(hào).

生:從代數(shù)推導(dǎo)過程中發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),不等式取到等號(hào).

教師再借助GGB演示,引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度加以補(bǔ)充說明:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),中間小正方形面積為0,則S大正方形=4SRt?ABE,即a2+b2=2ab.

追問:若去掉“當(dāng)a>0,b>0”這一條件,結(jié)論是否仍然成立?

生:回顧上述證明過程,此結(jié)論仍然成立.

由此總結(jié):

(1)重要不等式:a2+b2≥2ab(a，b∈R).

(2)利用作差法比較兩個(gè)代數(shù)式大小:

① 基本事實(shí):

a-b>0?a>b

a-b=0?a=b

a-b<0?a

② 基本步驟:

設(shè)計(jì)意圖在情境引入后對(duì)趙爽弦圖的探究,不僅從圖形中抽象出不等關(guān)系,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,還可以發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng),更從數(shù)學(xué)史中感悟數(shù)學(xué)文化的魅力.接著從弦圖的幾何證明,自然過渡到代數(shù)證明,引出“作差法”比較代數(shù)式大小.

3.新知應(yīng)用

例1已知a>0,b>0,比較a3+b3與ab2+a2b的大小.

生1:(a3+b3)-(ab2+a2b)=a3-a2b+b3-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)，∵a>0,b>0,∴(a-b)2≥0,(a+b)>0,∴(a3+b3)-(ab2+a2b)≥0,即(a3+b3)≥(ab2+a2b).

生2:(a3+b3)-(ab2+a2b)=a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).

生3:(a3+b3)-(ab2+a2b)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a-b)2.

例2在現(xiàn)實(shí)生活中,當(dāng)我們覺得一杯咖啡太苦時(shí),會(huì)通過加糖使其變甜,請(qǐng)你用不等式來表述這一關(guān)系,并進(jìn)行證明.

設(shè)計(jì)意圖通過例1及其變式,從不同角度對(duì)不等式加以證明,拓寬學(xué)生的思維,加深對(duì)“作差法”的理解.同時(shí)結(jié)合對(duì)“糖水加糖”模型的改編,感悟“數(shù)學(xué)來源于生活,應(yīng)用于生活”這一理念.最后通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明,發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng),培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

4.課堂總結(jié)

5.作業(yè)布置

請(qǐng)證明你在趙爽弦圖中發(fā)現(xiàn)的其他等式與不等式,并嘗試在生活中找出相應(yīng)情境來刻畫這些等式與不等式.

三、教學(xué)反思

1.教材整合顯自然

在新課標(biāo)的視角下,新教材比舊教材更加注重發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)和“以生為本”的主體意識(shí).但是“書不盡言,言不盡意”,作為教師,應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到教材是為教學(xué)工作服務(wù)的,教學(xué)是“用教材”而不是“教教材”.所以需要教師充分挖掘教材,注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系與發(fā)展.教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況,對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“再加工”,將數(shù)學(xué)知識(shí)編成學(xué)生喜愛且參與度高的“課堂劇”,從而彰顯數(shù)學(xué)知識(shí)生成的“自然”,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的自然生成,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì).

2.數(shù)學(xué)探究育素養(yǎng)

本節(jié)課從情境中的不等關(guān)系過渡到圖形中的不等關(guān)系,再由此挖掘出重要不等式,并利用“作差法”加以證明,最后應(yīng)用所學(xué)知識(shí)來刻畫生活中的不等關(guān)系,并給出證明.在探究活動(dòng)中,學(xué)生以學(xué)習(xí)主體的身份全程參與知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用,不僅接受了數(shù)學(xué)知識(shí)本身,更在過程中積累了“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”.在教學(xué)過程中,不僅有師生探究、生生探究,還有學(xué)生 “獨(dú)立探究”,學(xué)生有足夠的課堂思考交流的時(shí)間和空間,提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng).