核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)*
——以“等差數(shù)列的概念”教學(xué)設(shè)計為例

唐芝彬 吳莉娜

(1.江蘇省常州市戚墅堰高級中學(xué),213299；2.江蘇省常州高級中學(xué),213004)

“等差數(shù)列的概念”是蘇教版選擇性必修一第四章第二節(jié)第一課時的內(nèi)容.本章第一節(jié)已經(jīng)介紹了數(shù)列的基礎(chǔ)知識,而等差數(shù)列是數(shù)列中一種十分重要的數(shù)學(xué)模型.要求學(xué)生：用數(shù)學(xué)語言去描述數(shù)列,從而構(gòu)建等差數(shù)列的概念;觀察數(shù)列,進行歸納推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式;證明等差數(shù)列的通項公式;根據(jù)實際應(yīng)用情境,構(gòu)建等差數(shù)列的模型，從而解決實際問題.本文以此教學(xué)設(shè)計為例，對數(shù)學(xué)概念教學(xué)進行探究.

一、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)興趣

師:如圖1,這是2021年11月份的日歷．你能說出周一分別是哪幾號嗎?

生:1,8,15,22,29.

師:這組數(shù)構(gòu)成數(shù)列嗎?判斷的依據(jù)是什么?

生:這組數(shù)構(gòu)成數(shù)列.按照次序排列的一列數(shù).

師:再看圖2,這個電影院設(shè)置了20排座位,已知第一排座位數(shù)為38個,從第二排起,后一排比前一排多2個座位,你能說出這個劇場各排的座位數(shù)分別是多少嗎?

生:38,40,42,44,46…

師:這組數(shù)構(gòu)成數(shù)列嗎?判斷的依據(jù)是什么?

生:這組數(shù)構(gòu)成數(shù)列.按照次序排列的一列數(shù).

師:我國在2022年舉辦了冬奧會,已知2022年是第24屆冬奧會,并且冬奧會是每隔4年舉辦一次.你能說出在2022年之前哪些年份舉辦了冬奧會嗎?

生:2 018,2 014,2 010，2 006…

師:這組數(shù)構(gòu)成數(shù)列嗎?判斷的依據(jù)是什么?

生:這組數(shù)構(gòu)成數(shù)列.按照次序排列的一列數(shù).

設(shè)計意圖以日歷、電影院、冬奧會這三個生活中的實例作為情境,讓學(xué)生觀察并建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模與直觀想象的素養(yǎng).

2.歸納猜想,生成概念

例1大家一起來觀察我們剛寫出的三組數(shù)列,① 1,8,15,22,29;② 38,40,42,44,46…;③ 2 022,2 018,2 014,2 010…你能發(fā)現(xiàn)這三組數(shù)列各自有什么特點?這三組數(shù)列又有什么共同特征呢?

生1:我發(fā)現(xiàn)第一組數(shù)列每兩個相鄰的數(shù)之差為7,第二組數(shù)列每兩個相鄰的數(shù)之差為2,第三組數(shù)列每兩個相鄰的數(shù)之差為-4.

生2:我發(fā)現(xiàn)這三組數(shù)列中,后一項減前一項都是一個固定的常數(shù).

師:那老師問大家一個問題,第一項呢?

生:從第二項起,后一項減前一項都是一個固定的常數(shù).

師:由此可以得到等差數(shù)列的概念．一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù),就稱這個數(shù)列為等差數(shù)列,這個常數(shù)就稱為等差數(shù)列的公差,用d來表示.能否用數(shù)學(xué)符號語言表示?

生:an-an-1=d,n∈N*.

師:大家來看一下,這一表述有沒有問題?

生:n=1時怎么辦?所以要添加條件.

師:數(shù)學(xué)符號語言可寫為an-an-1=d,n∈N*,n≥2.

設(shè)計意圖以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的原則,理解等差數(shù)列的概念及通項公式的推導(dǎo)過程,培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).

3.學(xué)習(xí)探究,辨析概念

例2判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列,如果是,請你說出首項和公差；如果不是,請說明理由.

① 1,3,5,7；

② 9,6,3,0,-3…；

③-8,-6,-4,-2,0…；

④ 3,3,3,3…；

⑤ 15,12,10,8,6…；

⑥-3,-6,-9,-12,-15….

(回答過程略)

師:同學(xué)們是怎么判斷這些數(shù)列是否為等差數(shù)列的?

生:根據(jù)等差數(shù)列的概念,看數(shù)列中所有后一項減去前一項是否為同一個常數(shù),如果是,就是等差數(shù)列;如果不是,就不是等差數(shù)列.

設(shè)計意圖通過具體的例子,其中包含了公差為正、負(fù)、0與不是等差數(shù)列的各種情況,讓學(xué)生判斷,增強學(xué)生對于等差數(shù)列概念的理解.

4.類比推理,拓展概念

例3證明:已知數(shù)列的通項公式為an=pn+q,其中p,q為常數(shù),那么這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?

生:當(dāng)n≥2時,an-an-1=pn+q-p(n-1)-q=p,因為p為常數(shù),a1=p+q,故是以首項為p+q,公差為p的等差數(shù)列.

例4觀察如下的兩個數(shù),插入一個什么數(shù)后,三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列.

① 2,______,4；

②-1,______，5；

③-12,______,0；

④ 0,______,0.

生:可以設(shè)插入的數(shù)為x,既然這組數(shù)列是等差數(shù)列,一定會有x-2=4-x,所以2x=4+2,即x=3.其他數(shù)列以此類推.

再來回顧引例中的三組數(shù)列,① 1,8,15,22,29;② 38,40,42,44,46…;③ 2 022,2 018,2 014,2 010….可以發(fā)現(xiàn)，從第二項起,每一項都是它的前一項和它的后一項的等差中項.對于這三組數(shù)列是否存在通項公式呢?如果存在,請寫出通項公式?

臨床既往的教學(xué)模式為傳統(tǒng)帶教方法，學(xué)生所學(xué)的知識均為被動接受，學(xué)習(xí)目標(biāo)也不是十分明確，難以達到理想的教學(xué)效果，學(xué)生的需求也難以滿足[11-12]。特別是對于醫(yī)學(xué)留學(xué)生，由于思維差異大及語言溝通難度大，傳統(tǒng)的臨床教學(xué)方法難以滿足日益增多的留學(xué)生教學(xué)的要求[13-14]。近年來，在臨床教學(xué)模式中，PBL教學(xué)法應(yīng)運而生。PBL教學(xué)法起源于20世紀(jì)50年代的醫(yī)學(xué)教育，目前已成為國際醫(yī)學(xué)教育通用的教學(xué)方法之一[15-16]。

生:①an=7n-6;②an=2n+26;③an=-4n+2 026.

師:對于一些具體的數(shù)列,大家可以寫出通項公式,那對于一般情況下,給你a1和d,你能不能寫出a2,a3,a4呢?

生:a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d.

師:能否給出an呢?

生:由等差數(shù)列的定義,可以歸納得出an=a1+(n-1)d.

師：這種方法我們稱為歸納法.還有沒有其他方法呢?由a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d，共有n-1個d,所以左右兩邊分別相加,可以得到an-a1=(n-1)d,故an=a1+(n-1)d,稱這種方法叫做累加法.由此給出等差數(shù)列的通項公式,an=a1+(n-1)d.已知一組等差數(shù)列的首項和公差(兩個基本量),就可以確定任意一項;公式中共有an,a1,n,d四個量,已知其中三個可求另一個.

設(shè)計意圖通過習(xí)題讓學(xué)生自己歸納總結(jié)出等差中項的定義,結(jié)合情境中的三個數(shù)列讓學(xué)生自主探究得出等差數(shù)列的通項公式,并給出兩種方法推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式,培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的推理能力,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

5.問題引導(dǎo),知識應(yīng)用

生:設(shè)等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d,a1=8,d=a2-a1=5-8=-3,所以an=8+(n-1)×(-3)=11-3n,故a20=11-3×20=-49.

例6-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項?如果是,是第幾項?

生:∵a1=-5,a2=-9,∴d=a2-a1=-9-(-5)=-4,∴an=a1+(n-1)×d=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1,由-4n-1=-401,n=100.故-401是這組數(shù)列的第100項.

例7《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個面包分給5個人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和是較小的兩份之和的三倍,則最小的一份是多少?

生:設(shè)五個人分得得面包分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0)，則有(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=100，∴a=20，由a+(a+d)+(a+2d)=3[(a-2d)+(a-d)]得,3a+3d=3(2a-3d)，∴12d=3a，故d=5.則最小的一份為a-2d=20-10=10.

設(shè)計意圖應(yīng)用等差數(shù)列的定義、通項公式及等差中項的定義解決實際問題,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

6.知識歸納,課堂小結(jié)

師:本節(jié)課你學(xué)到了那些知識?

生:學(xué)習(xí)了等差數(shù)列與等差中項的概念,等差數(shù)列的通項公式,運用通項公式和遞推關(guān)系去研究數(shù)列.

師:本節(jié)課運用了哪些思想方法?

生:枚舉法,歸納法,累加法,從特殊到一般,基本量法.

二、教學(xué)啟示

1.重視概念生成,培養(yǎng)學(xué)生建模能力

首先從日歷中的周一日期、電影院的座位數(shù)和冬奧會的舉辦年份三個生活中的情境出發(fā),從實際生活問題抽象概括出數(shù)列模型,讓學(xué)生觀察三個數(shù)列模型的共性,提煉出等差數(shù)列的定義、數(shù)學(xué)表達式及特點,抽象出等差數(shù)列的概念,使學(xué)生體會在現(xiàn)實生活中可以汲取到解決數(shù)學(xué)問題的智慧,讓學(xué)生對本課后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)產(chǎn)生期待,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力.

2.重視問題引導(dǎo),促進學(xué)生思維發(fā)展

基于問題引導(dǎo)的探究式學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)以“導(dǎo)入——自學(xué)——精講點撥——課堂訓(xùn)練——總結(jié)”為主要教學(xué)環(huán)節(jié).本文以提出問題、分析問題、解決問題為線索貫穿整個教學(xué)環(huán)節(jié).問題引導(dǎo)應(yīng)當(dāng)基于實際教學(xué)內(nèi)容,以合理巧妙設(shè)計問題串的形式幫助學(xué)生對知識的理解與掌握.

3.重視過程滲透,提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

首先從實際生活情境觀察提煉數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)生了解等差數(shù)列概念的形成過程,從而得出等差數(shù)列的概念,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模與直觀想象的核心素養(yǎng).其次通過自主辨析判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列,類比遞推得出等差中項的概念與等差數(shù)列的證明,發(fā)展學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).再次通過解決等差數(shù)列求通項的例題與數(shù)學(xué)著作中的生活實際問題深化對等差數(shù)列的理解,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).最后總結(jié)數(shù)學(xué)方法的運用.整個教學(xué)環(huán)節(jié)應(yīng)深入挖掘等差數(shù)列的知識所承載的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),落實培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).

基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué),應(yīng)當(dāng)堅持以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的原則,將課堂真正還給學(xué)生,給予充分的時間讓學(xué)生進行自主探究與合作學(xué)習(xí).這就需要精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié),讓學(xué)生經(jīng)歷通過生活實例建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程,從而理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征,充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).