三版數(shù)學課標中“圖形與幾何”領域實例：變革及啟示

張定強 郭久星

摘 要 “圖形與幾何”是初中數(shù)學學習的領域之一，三版義務教育數(shù)學課程標準都將其列為核心內容。本文基于三版課標中初中階段“圖形與幾何”的實例進行對比分析，一是從量化的視角分析實例的特征、變與不變、匹配度，二是從質性的視角闡述實例的詮釋性、示范性以及拓展性，三是基于實例變革的視角提出實例育人的價值。

關鍵詞 義務教育數(shù)學課程標準；圖形與幾何；實例；量化；質性

中圖分類號 G623.5

文獻標識碼 A

文章編號 2095-5995（2022）10-0009-04

一、引言

2022年4月，教育部審核頒布了《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標”）［1］。與《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”）［2］和2001年頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱“2001版課標”）［3］相比，2022版課標在初中階段“圖形與幾何”領域的實例上發(fā)生了重要變化。實例是指在具體學習內容之后附加的供教師參考的教學范例，具有鮮明的示范性與引領性。實例中的“例”可以從動詞與名詞兩個角度進行解釋，如果作為名詞使用，“例”則為“可以作依據(jù)的事物”；如果作為動詞使用，“例”的本意是“比照、引導”［4］。那么數(shù)學教師如何準確理解并運用課標中的實例，達成以例帶類、以例啟思、以例促學的目的，最大限度地發(fā)揮實例的潛在價值就是十分重要的研究課題。本文從量化與質性兩個方面比較分析三版課標中初中“圖形與幾何”中的實例，以期為數(shù)學教育工作者更好地教學與研究實例提供參考。

二、變革：量化與質性分析的視角

（一）量化分析

1.實例的分布特征

2011版課標與2022版課標在初中階段“圖形與幾何”領域各主題的設置上保持一致，即都分為“圖形的性質”“圖形的變化”“圖形與坐標”三個主題，將2001版課標的四個主題進行了整合。不同的是實例分布在不同版本的課標中發(fā)生了較大的變化（見表1）。

在2001版課標中，初中階段“圖形與幾何”領域共設計了7個實例，其數(shù)量相對于另兩版課標較少。分析由表1可知，2001版課標在“圖形與坐標”主題中共包含4個具體學習目標，在每個具體學習目標之后都附加了實例，此版課標更重視學生“圖形與坐標”內容的學習。對比發(fā)現(xiàn)，2001版課標較為關注實例對具體學習目標的解釋與示范，但在數(shù)學思想與方法的突出上不夠明顯。

在2011版課標中，初中階段“圖形與幾何”領域共設計了9個實例，相較于2001版課標有所增加，三個主題均有設置，但重點安排在“圖形的性質”中，占比約67%，旨在培養(yǎng)空間觀念的同時，強調提升學生的幾何直觀性與思維層次性。如例62、例63的設計，意在使學生經歷從發(fā)現(xiàn)結論到驗證結論的過程，有利于初學者把握證明的條理性和說理的邏輯性［7］。

在2022版課標中，初中階段“圖形與幾何”領域共設計了10個實例，可見實例在課標中的地位日益增強。由表1可知，2022版課標實例數(shù)量雖增加，但70%置于“圖形的性質”主題中，這一點與2011版課標相同，2022版課標中更加注重學生空間觀念與推理能力的培養(yǎng)，最具特色的是“圖形的變化”主題中加入勾股定理的證明，該實例結合現(xiàn)代信息技術，意在通過動態(tài)演示讓學生感悟圖形平移、旋轉、軸對稱變化的基本特征［8］。

2.實例的變與不變

相較于前兩版課標，2022版課標經過修訂后將“圖形與幾何”領域的實例保留了重要主題維度實例的同時，也進行了相應的增、刪（見表2）。

在“圖形的性質”中，2022版課標總共設置了7個實例，其中有兩個實例與2011版課標相同，一是仍然強調反證法是一種重要的數(shù)學證明方式，二是繼續(xù)重視數(shù)學推理和數(shù)學思維，通過實例讓學生感悟推理過程的邏輯性是極其重要的，不過2022版課標的實例63直接以“推理過程的邏輯”來命名，并增加了此實例的難度。該主題下最大的變化是刪除了2011版課標中的4個實例，突出了幾何學中“識圖、作圖、證明”的核心思想。

在“圖形的變化”中，2022版課標總共設置了3個實例，仍然分布在“圖形中心旋轉的變與不變”的內容中，與2011版課標例64類似，但二者意境不同，2022版課標的實例更具參考價值。另外，2022版課標在此部分增加相似和勾股定理2個實例，凸顯出相似在學習與生活中的重要地位，而勾股定理承載著重要的文化使命，首次作為實例出現(xiàn)更能顯現(xiàn)它的獨特價值。表2中最為明顯的變化是2022版課標刪除了2001版課標中的4個實例與2011版課標中的2個實例，使實例更加聚焦于直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)。

3.實例與內容的匹配度

課標中實例與內容的匹配度直接影響實例的使用，故有必要對三版課標初中階段“圖形與幾何”領域中實例與內容的匹配度進行分析。依三版課標可知，實例與內容的匹配度較高，具體來看，前兩版課標實例與課程內容雖匹配，但實例的可拓展性較低、難度不大；而2022版課標在此基礎上豐富了實例的內容，明晰重點，明確目標，更有利于數(shù)學教師的教學與研究（見表3）。

（二）實例的質性分析

1.實例的詮釋性

“詮釋”是指對一種事物的說明與解釋。實例的詮釋性一方面體現(xiàn)在學習內容的說明上，例如課程內容指出“理解垂直平分線的概念，會用尺規(guī)作圖”，實例中則詳細描述了怎樣運用尺規(guī)作圖，并運用數(shù)形結合，清晰地詮釋了此知識內容；另一方面體現(xiàn)在數(shù)學基本原理和方法的說明上，例如課程內容強調“反證法、舉反例、數(shù)學思維要合乎邏輯”等，實例則通過具體的數(shù)學情境，如“梅森素數(shù)的證明、幾何的例子、三角形全等的證明”來呈現(xiàn)其中的數(shù)學思想與方法［12］。

2.實例的示范性

示范性是指具備某些可作他人參考的特征，實例的示范性是指它所具有的可供教師效仿的教育理念與教學方法。在教育理念上，實例有助于數(shù)學課程反映數(shù)學的本質和發(fā)展動態(tài)，適應現(xiàn)代社會和科學技術的發(fā)展。如實例設計“用圖形相似的原理測量建筑物高度”，旨在讓學生領悟數(shù)學知識在現(xiàn)實情境中的應用。在教學方法上，實例強調以學生為中心，重視發(fā)展學生的幾何直觀與推理能力，并與現(xiàn)代信息技術相融合，通過直觀的操作讓學生感受數(shù)學的統(tǒng)一、力量和美。

3.實例的拓展性

實例的拓展性是指它可以從其他角度促進教師和學生的發(fā)展。于教師而言，實例可以拓寬教學視角，引領教學創(chuàng)新。例如教師可以比較分析多版本教材中設計的教學實例與課標中的實例，進而優(yōu)化教學。于學生而言，實例既可以幫助學生理解知識，又起到培養(yǎng)學生應用意識、創(chuàng)新意識、推理能力與抽象能力的作用。

三、啟示：學習與應用相結合的育人視角

課標中實例的更新與變革，肯定了實例在數(shù)學教育教學中的地位。因此教師應該在閱讀、思考、分析的基礎上明晰課標中實例的編排思路，整體把握課標中實例的育人導向，挖掘實例中蘊藏的數(shù)學素養(yǎng)與思維品質，從而深入透視課標實例的結構功能。特別要準確理解2022版課標中對實例的“說明”，其既有必要的問題解決提示，又有實例的教育教學價值分析，還有必要的追問、點撥、拓展等，突顯出實例的育人取向。

（一）把握與理解實例，推進與學習共同體共成長的育人價值

學習共同體是指教育者與受教育者都能達到一種相對穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，彼此都能在教育過程中得到相應的激勵回報與精神鼓舞，系統(tǒng)內各要素之間能形成良性的共生融合態(tài)勢，推動其整體性發(fā)展［13］。實例是課程內容的具體體現(xiàn)，于教育者而言，理應高度重視實例，深度挖掘實例，引導受教育者感悟實例的意義與價值；于受教育者而言，須在教師的導引下學習與研究，在學習過程中體會實例的意蘊，并在特定的教育環(huán)境下，以實例為載體組建學習共同體，從不同的視角探討實例所蘊藏的數(shù)學素養(yǎng)。

（二）對比與研究實例，領悟經典實例的意蘊與育人價值

通過對比可知，課標在變化過程中保留與增加了部分實例，所以教師應領悟經典實例的穩(wěn)定性。例如，對于“掌握平行線的判定定理”這一課程內容，2022版課標繼續(xù)使用前一版課標在此處所使用的實例，并突出強調其育人價值，力爭讓學生感悟反證法的邏輯和論證流程，引導學生認識反證法的重要性。其次要領悟經典實例的當下性，2022版課標的實例中加入教學過程與信息技術的融合，旨在通過實例導引教師改變教學形式單一的現(xiàn)狀，鼓勵數(shù)學教師充分發(fā)揮信息技術的作用來展現(xiàn)數(shù)學知識的可視性，如實例82旨在讓學生在問題情境、信息技術、數(shù)學探究中發(fā)展核心素養(yǎng)，讓實例在智能技術支持下充分地展現(xiàn)它的育人價值［14］。

（三）分析與應用實例，促進與教學內容相融合的育人價值

為了充分發(fā)揮實例的教育教學價值，數(shù)學教師要力求將實例與所對應的教學內容充分融合，用實例詮釋學習內容，突出學習方法，使實例的引領示范作用在教學過程中真正發(fā)揮出來。如表3的對比證明實例與教學內容有極強的融合度，教師既可以將實例運用在不同類型的課堂上，也可以呈現(xiàn)在一節(jié)課的不同環(huán)節(jié)中。簡言之，教師要認真剖析實例與課程內容的適配度，精心備課，以問題與目標為導向，敢于創(chuàng)新，為學生創(chuàng)造魅力與效率兼具的課堂。

（四）評判與研析實例，增強考試與評價的育人價值

考試評價的目的是全面了解和刻畫學生在完成課程階段性學習后的學業(yè)成就表現(xiàn)，而課標中呈現(xiàn)的實例正是以問題的形式展示，所以實例也具有檢測的示范功能，而且是與課程內容高度匹配的。因此，教師需要對課標中展現(xiàn)的實例進行評判與研析，從核心素養(yǎng)的角度進行深度挖掘，諸如挖掘實例所承載的素養(yǎng)立意與育人導向，挖掘實例所承載的情境類型與認知水平，挖掘實例所設置的問題類型與考查范圍等，借助實例的示范，公平、客觀、準確地評價學生的數(shù)學學習。在充分分析學情的前提下，教師可以根據(jù)實例抽象出不同的評價維度，與課標相關的學業(yè)質量標準、課標內容中的學業(yè)要求以及課程實施中的評價建議緊密結合，為學生建構一個生動、多元、精確的評價育人體系。

（張定強 郭久星，西北師范大學教師教育學院，蘭州 730070）

參考文獻：

［1］［5］［8］［9］［11］［12］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：74-86，194-205.

［2］［7］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012：31-39，107-113.

［3］［6］［10］ 中華人民共和國教育部.全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）［M］.北京：北京師范大學出版社，2001：39-47.

［4］ 吳立寶，王富英，秦華.數(shù)學教科書例題功能的分析［J］.數(shù)學通報，2013（3）：18-20.

［13］ 高維峰，李春華.思想政治教育共同體的構建基礎與價值導向［J］.教育理論與實踐，2021（1）：51-52.

［14］ 鐘紹春，鐘卓，范佳榮，等.智能技術支持新型課堂教學模式構建［J］.中國電化教育，2022（2）：21-29.