基于思維支持的微型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)*
——以“探索直線平行的條件”教學(xué)為例

孫朝仁 朱桂鳳

美國(guó)數(shù)學(xué)家保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以“做數(shù)學(xué)”為支架的一種教與學(xué)的方式，而基于思維支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，則可以將“做”與“思考”深度融合，有助于學(xué)生學(xué)深、學(xué)透、學(xué)好數(shù)學(xué)。

本文以蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第7 章“探索直線平行的條件”第1課時(shí)的微型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)為例，利用直觀思維、證據(jù)思維和變異思維，讓學(xué)生在拼圖、量圖、說(shuō)圖的過(guò)程中發(fā)展數(shù)形抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)建模能力。

一、拼圖：通過(guò)直觀思維發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力

直觀思維就是不經(jīng)過(guò)逐步分析，而迅速對(duì)問(wèn)題的答案作出合理的猜測(cè)或設(shè)想的一種躍進(jìn)性思維。具體地說(shuō)，直觀思維包括拼圖直觀、畫(huà)圖直觀、變換直觀等思維行為方式，讓學(xué)生在拼、畫(huà)、變換中進(jìn)行知覺(jué)概括、知覺(jué)登記和知覺(jué)抽象，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象意識(shí)。其中，“剪、拼、畫(huà)”是直觀思維的表現(xiàn)形式，也是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力的重要載體。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的操作、思考、運(yùn)用、審美的過(guò)程，從某種意義上來(lái)說(shuō)，正是“數(shù)學(xué)抽象”的過(guò)程。［1］

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中設(shè)置了《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室》《數(shù)學(xué)活動(dòng)》《課題學(xué)習(xí)》《研究性學(xué)習(xí)》等特色欄目，其中安排了大量的拼圖問(wèn)題。這些都是直觀思維運(yùn)行的有效載體，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的“做”與“思考”有機(jī)融合，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，而且在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

從具身學(xué)習(xí)理論來(lái)說(shuō)，“拼圖”本身就是一種知覺(jué)學(xué)習(xí)，有助于感性經(jīng)驗(yàn)的獲得，能促進(jìn)直觀思維的發(fā)展，并助推“感性經(jīng)驗(yàn)”上升為“理性思維”，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展。一般來(lái)說(shuō)，在義務(wù)教育階段，學(xué)生的抽象思維尚未成熟，知識(shí)的獲得需要借助直觀形象的轉(zhuǎn)化。這個(gè)階段學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力主要是通過(guò)知覺(jué)學(xué)習(xí)的方式來(lái)獲得的，而直觀思維的運(yùn)行可以幫助學(xué)生有效樹(shù)立求實(shí)、求證、求是的意識(shí)。生活情境的鋪設(shè)、用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界以及動(dòng)手“做”數(shù)學(xué)，都是基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程。為此，基于直觀思維支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)需要做好三個(gè)方面的工作：一是讓學(xué)生在操作中認(rèn)識(shí)概念，促進(jìn)“具體”向“抽象”轉(zhuǎn)化；二是讓學(xué)生在觀察中抽象表征，促進(jìn)“經(jīng)驗(yàn)”向“方法”轉(zhuǎn)化；三是讓學(xué)生在思考中獲得概念理解，促進(jìn)“概念”向“運(yùn)用”轉(zhuǎn)化。

以“探索直線平行的條件”概念的起始教學(xué)環(huán)節(jié)為例，教師可以讓學(xué)生在直觀思維的引導(dǎo)下，逐步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力，進(jìn)而培養(yǎng)其拼圖意識(shí)。具體實(shí)施過(guò)程如下。

首先，讓學(xué)生調(diào)用EN5（希沃白板）信息資源“尺規(guī)命令”，用4個(gè)直角三角板拼成一個(gè)大三角形。（見(jiàn)圖1）

其次，讓學(xué)生在拼圖的過(guò)程中感知“如果同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩條直線平行”的存在性事實(shí)。

（圖1）

最后，讓學(xué)生在觀察、概括、反問(wèn)、反思的基礎(chǔ)上，畫(huà)出“a、b兩條直線被第三條直線c所截”的狀態(tài)圖。（見(jiàn)圖2、圖3）

（圖2）

（圖3）

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生深入探究下列兩個(gè)問(wèn)題：（1）指出圖2、圖3 中的同位角，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）∠2 與∠3，∠2 與∠4 是同位角嗎？它們分別有怎樣的位置特征？

圖1體現(xiàn)的是信息技術(shù)支持下的直觀思維，這種源于課本但高于教材的教學(xué)設(shè)計(jì)，是學(xué)生理解概念本源的支持條件。如果說(shuō)拼圖是一種直觀思維，那么拼圖的過(guò)程就是從具體到抽象的過(guò)程；如果說(shuō)拼圖活動(dòng)是一種落筆有據(jù)的直觀活動(dòng)，那么畫(huà)出圖2和圖3就是對(duì)圖形的抽象與分類思想的復(fù)合運(yùn)用，有助于概念對(duì)象的獲得；如果說(shuō)“拼圖—分析”是一種數(shù)學(xué)抽象，那么對(duì)概念對(duì)象、基本事實(shí)的描述就是一種“落筆有據(jù)”。

二、量圖：通過(guò)證據(jù)思維發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力

證據(jù)思維的概念源于法律領(lǐng)域，它不僅貫穿證據(jù)收集、固定、審查、運(yùn)用、認(rèn)定等每一個(gè)環(huán)節(jié)，在每個(gè)階段還有其獨(dú)立的呈現(xiàn)方式。應(yīng)用于教育領(lǐng)域中，證據(jù)思維是一種求是、求證的復(fù)合思維，為問(wèn)題解決提供思考路徑，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，證據(jù)思維是一種事實(shí)思維、合情思維，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的支持條件。具體地說(shuō)，證據(jù)思維有助于學(xué)生將“是什么”轉(zhuǎn)化為“為什么”，有助于學(xué)生“落筆有據(jù)”能力的發(fā)展，是以測(cè)量數(shù)學(xué)、觀察數(shù)學(xué)、猜想數(shù)學(xué)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)為支架的證實(shí)、證偽方式，具有不可替代性。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的觀察、畫(huà)圖、估測(cè)、度量、猜想、驗(yàn)證以及算圖、發(fā)現(xiàn)、變式等，都是證據(jù)思維的常見(jiàn)表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，證據(jù)思維往往表現(xiàn)為量圖算理，其意義至少涵蓋以下兩個(gè)方面：一方面是指通過(guò)度量的方式獲得落筆有據(jù)的數(shù)據(jù)；另一方面是指基于算理進(jìn)行合情推理，將合情推理上升為演繹推理，促進(jìn)落筆有據(jù)意識(shí)的形成。這就要求教師關(guān)注教材的統(tǒng)整設(shè)計(jì)與優(yōu)化使用，促使學(xué)生進(jìn)行動(dòng)腦和變式。為此，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)教學(xué)，“增強(qiáng)課程連貫性、優(yōu)化教材使用、變式教學(xué)、開(kāi)發(fā)‘動(dòng)腦筋’欄目、發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)字事實(shí)的熟練程度”［2］。

以“探索直線平行的條件”概念形成的教學(xué)環(huán)節(jié)為例，教師應(yīng)通過(guò)證據(jù)思維，在“目標(biāo)——?jiǎng)幼鳈C(jī)制”的作用下，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的進(jìn)一步發(fā)展。具體實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程如下。

首先，讓學(xué)生在操作圖4的基礎(chǔ)上，思考以下問(wèn)題：（1）如圖4，∠1、∠2、∠3有怎樣的數(shù)量關(guān)系？∠4、∠5、∠6呢？（2）直線a、b、c有怎樣的位置關(guān)系？

其次，追問(wèn)以下問(wèn)題：（1）在圖5中，∠1=∠C、∠2=∠C，指出圖中的平行直線，并說(shuō)明理由；（2）圖5中哪些角相等可得AB//CD？為什么？

（圖4）

（圖5）

最后，讓學(xué)生分析研究圖4 與圖5 的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)概念回歸，揭示變式教學(xué)、優(yōu)化教材以及解決問(wèn)題的關(guān)系，使學(xué)生的理解從“工具性理解”上升到“關(guān)系性理解”，提高學(xué)生“言之成理，落筆有據(jù)”的能力。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷直觀“量圖”的過(guò)程，理解“基本事實(shí)”的客觀存在性，體驗(yàn)“測(cè)量、驗(yàn)證”（求是、求證）的數(shù)學(xué)價(jià)值。圖4的設(shè)計(jì)與操作是一種生動(dòng)的證據(jù)思維（回歸學(xué)生的知覺(jué)認(rèn)知水平）的過(guò)程，改編課本基本問(wèn)題，使“封閉型思維”轉(zhuǎn)化為“半開(kāi)放思維”，為落筆有據(jù)提供思考空間。圖5 的變式改編則是一種落筆有據(jù)的抽象，其中，問(wèn)題（1）是一種“量圖”（考量概念的使用）的過(guò)程，問(wèn)題（2）則強(qiáng)化落筆有據(jù)意識(shí)，為發(fā)展學(xué)生的分析思維和推理能力作鋪墊。

三、說(shuō)圖：通過(guò)變異思維發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力

變異思維是指以原實(shí)物、原現(xiàn)象或原狀態(tài)等存在方式的觸媒作為靈感引發(fā)的外部誘因，通過(guò)變化模仿的方式，經(jīng)過(guò)對(duì)各種信息與知識(shí)的匹配、重組、變換，創(chuàng)造出有價(jià)值的新事物的思維操作方式，是偏離已經(jīng)存在的事物的形態(tài)、結(jié)構(gòu)、功能等方面的思維方式。換言之，變異思維是比數(shù)學(xué)思維更為“強(qiáng)勁”的理性思維，帶有強(qiáng)烈的變量特征和變化屬性，是將感性的“做”變?yōu)槔硇缘摹罢f(shuō)”的思維“催化劑”，是將“數(shù)學(xué)地看”“數(shù)學(xué)地說(shuō)”變?yōu)閿?shù)學(xué)建模的思維“橋梁”。

“說(shuō)圖”能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，尤其是落筆有據(jù)的表達(dá)水平，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的范疇，“說(shuō)圖”就是對(duì)照?qǐng)D形分析提取信息，以及將未知轉(zhuǎn)化為已知的條件及其條件體系。一般情況下，“說(shuō)圖”至少涵蓋以下兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是分析圖形，將未知轉(zhuǎn)化為已知，為言之成理、落筆有據(jù)鋪設(shè)思維基礎(chǔ)；二是通過(guò)“無(wú)序地說(shuō)—有序地說(shuō)”構(gòu)造一類數(shù)學(xué)模型，如基本事實(shí)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”。在說(shuō)圖過(guò)程中，需要做好三個(gè)方面的工作：一是抓住題干信息，提取已知信息，確定條件關(guān)系；二是挖掘未知信息以及圖形隱含條件，明確待證結(jié)論以及使得結(jié)論成立的隱含條件；三是注重推理過(guò)程，旨在強(qiáng)化學(xué)生“言之成理，落筆有據(jù)”的意識(shí)。

以“探索直線平行的條件”概念的關(guān)聯(lián)教學(xué)環(huán)節(jié)為例，利用變異思維，能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)建模走向深刻。具體實(shí)施過(guò)程如下。

首先，呈現(xiàn)圖6，讓學(xué)生在系統(tǒng)概念圖的基礎(chǔ)上把握概念的本質(zhì)。具體實(shí)驗(yàn)序列組塊：（1）圖6 中∠1 與∠C、∠2 與∠D、∠3 與∠D分別是哪兩條直線被哪一條直線截成的同位角？（2）∠1與∠2、∠3與∠4呢？讓學(xué)生在辨別的基礎(chǔ)上，對(duì)概念理解走向深刻，落實(shí)關(guān)系性理解。

其次，呈現(xiàn)圖7。已知∠AOE=130°，∠C=50°。AB與CD平行嗎？為什么？讓學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面把握直線平行的條件。

（圖6）

（圖7）

最后，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，從不同角度、不同層面進(jìn)行思考，強(qiáng)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)功能以及分類、轉(zhuǎn)化、遷移等形而上的思想方法。

這樣的教學(xué)有助于學(xué)生在紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變化中揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，理解概念是什么、為什么和怎么樣的內(nèi)部關(guān)系的一致性。也就是說(shuō)，落筆有據(jù)本身就是一種深層次的變異思維，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)從“感性思維”變?yōu)椤袄硇运季S”的驅(qū)動(dòng)器，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的育人功能。

微型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課意味著“少而精”。“少”是耗時(shí)少、內(nèi)容少、無(wú)效勞動(dòng)少；“精”是聚焦重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。同時(shí)，微型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課屬于“在實(shí)踐中和向?qū)嵺`學(xué)習(xí)”（learning in and from practice）的輔助課，是基于直觀思維、證據(jù)思維、變異思維支持的教學(xué)探究課，有助于學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和學(xué)會(huì)創(chuàng)造。