分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用方法探究

唐 焱

(貴州師范大學(xué)附屬中學(xué) 貴州 貴陽(yáng) 550001)

引言

在高校數(shù)學(xué)的課堂實(shí)踐中,分類討論的思路早已獲得了普遍的運(yùn)用,分類討論的運(yùn)用對(duì)提高數(shù)學(xué)課堂效果有很大的助益。這種教學(xué)思路是根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和差異性,將數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行逐一劃分為不同的教學(xué)思路[1]。對(duì)于每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō),可以用分類討論的思想來(lái)區(qū)分不能用同一個(gè)思路所解決的數(shù)學(xué)難題，讓每個(gè)人都能學(xué)會(huì)獨(dú)立學(xué)習(xí)和思考數(shù)學(xué)知識(shí)，鍛煉他們分析數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的能力、思維能力和解決問(wèn)題的能力。隨著高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)改革的不斷發(fā)展，運(yùn)用分類討論的方法解決問(wèn)題已成為當(dāng)前教學(xué)發(fā)展的一種趨勢(shì)。分析分類討論思維在問(wèn)題解決教學(xué)中的應(yīng)用，旨在探索其最有效的應(yīng)用模式，使其成為提高高中數(shù)學(xué)問(wèn)題解決效率的重要途徑之一，進(jìn)而提高學(xué)生對(duì)于分類討論思維模式的運(yùn)用。這一教學(xué)理念在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用已成為當(dāng)前高等院校教學(xué)模式研究的重點(diǎn)。

1.分類討論思想概論

1.1 分類思想的定義。對(duì)于數(shù)學(xué)結(jié)論，每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有自己成立所必須的條件。對(duì)于數(shù)學(xué)的教學(xué)方法而言，不同問(wèn)題的教學(xué)方法也有一定的適用范圍。在現(xiàn)在很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，其實(shí)是很難從問(wèn)題的表面獲取直接結(jié)果的，而且很多時(shí)候一些問(wèn)題的結(jié)論并不能被統(tǒng)一的形式所概括，然而如果一些未知的地方用字母來(lái)替代，或者已知的變量用字母代替就會(huì)讓整個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更加容易理解。這幾方面的問(wèn)題表明，如果將現(xiàn)有的一些問(wèn)題進(jìn)行有效的劃分和區(qū)別，并根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際需要將復(fù)雜而難理解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾個(gè)比較小的問(wèn)題來(lái)解決，這樣就可以讓難題迎刃而解。實(shí)際上，這種根據(jù)不同情況進(jìn)行分類，然后逐一研究和解決的數(shù)學(xué)思想在專業(yè)術(shù)語(yǔ)上都被稱為分類討論的思想[2]。

1.2 分類標(biāo)準(zhǔn)。為了更好地對(duì)數(shù)學(xué)難題進(jìn)行分類的前提，就是必須要掌握良好的分類方法進(jìn)而遵守一定的分類規(guī)則，因?yàn)榭陀^事物在很多地方是存在緊密的聯(lián)系的，進(jìn)而使對(duì)其進(jìn)行分類過(guò)程中產(chǎn)生多種分類方式，然后我們根據(jù)不同事務(wù)的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)其進(jìn)行靈活的分類。一般而言，分類是一種非常客觀的事物，是一個(gè)從現(xiàn)象到本質(zhì)的過(guò)程，并從表面逐漸深入。然而對(duì)數(shù)學(xué)本身的含義出發(fā)去聯(lián)系其更深層次的意義會(huì)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過(guò)程中變得更加的容易。

2.高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中融入分類討論思想的優(yōu)勢(shì)

2.1 降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度。高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容本身其實(shí)是具有很大難度的，因?yàn)樗粌H需要學(xué)生具備中小學(xué)時(shí)期所積累的數(shù)學(xué)知識(shí)作為基礎(chǔ)，還需要學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)內(nèi)容的同時(shí)增加一定的難度，這樣的學(xué)習(xí)模式可以讓學(xué)生在面對(duì)較難理解的問(wèn)題時(shí)可以變得更加的自如。從現(xiàn)在很多的教學(xué)實(shí)踐中我們可以看到很多學(xué)生在面對(duì)一些比較難解決的問(wèn)題時(shí)都會(huì)下意識(shí)的放棄思考，因?yàn)檫@樣的難題會(huì)讓他們逐漸失去學(xué)習(xí)的興趣，甚至放棄學(xué)習(xí)的目標(biāo)。然而，在分類討論思維模式的幫助下，他們可以將數(shù)學(xué)問(wèn)題從難化簡(jiǎn)，進(jìn)而在分類討論的模式過(guò)程中逐步找到解決難題最簡(jiǎn)單的方法。這樣的解題模式可以極大的提高學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)的自信心，也可以進(jìn)一步的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和對(duì)于難點(diǎn)問(wèn)題的解決能力，這樣的模式非常的有利于學(xué)生在未來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的發(fā)展[3]。

2.2 培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的學(xué)習(xí)習(xí)慣和解題能力。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和解決問(wèn)題的能力，這對(duì)他們以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要。雖然一般的數(shù)學(xué)內(nèi)容看似在不斷變化，但你會(huì)發(fā)現(xiàn)它其實(shí)就是簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合，只要用分類討論的思路去反映和理解答案，數(shù)學(xué)的題目和內(nèi)容就被分解了,通過(guò)簡(jiǎn)單的方法逐漸發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，并隨著這種思維和學(xué)習(xí)方法的逐步擴(kuò)散，可以讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而在以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，科學(xué)、靈活地運(yùn)用該技巧，進(jìn)而強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，進(jìn)而達(dá)到教育目標(biāo)。

3.高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用分類討論思想的重要性分析

3.1 調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)而引導(dǎo)他們將分類討論思想應(yīng)用到學(xué)習(xí)中。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師們所必須重視的,是要通過(guò)對(duì)自身教學(xué)方法的變革來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,從而極大的充分地調(diào)動(dòng)了學(xué)生對(duì)于進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與熱情。由于現(xiàn)階段很多學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的欲望,大多源自于升學(xué)的壓力以及繁瑣的習(xí)題任務(wù),所以教師在當(dāng)前也都承擔(dān)了相同的壓力與課程的任務(wù)。也因此一旦教學(xué)方法枯燥乏味,就很容易使學(xué)生覺(jué)得疲勞,從而大大降低了教學(xué)的有效性。所以,不管從實(shí)現(xiàn)課堂任務(wù)的有效性,還是適應(yīng)新課標(biāo)變革的要求來(lái)看,在高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)際中,教師們都應(yīng)該充分引入相對(duì)應(yīng)的問(wèn)題分析和探究理念,以提高學(xué)習(xí)者們解題的實(shí)效性。同時(shí),通過(guò)將這一思維方法滲透到課堂教學(xué)當(dāng)中,也可以使學(xué)習(xí)者們充分地認(rèn)識(shí)到這些解題思路及其應(yīng)用的精彩之處。例如教師在介紹模塊序列中的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí),往往因?yàn)閷?duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)很難把握,很抽象。學(xué)生很難理解。如果在整個(gè)課堂過(guò)程中,老師能夠在課堂上很有意義地導(dǎo)入了分類討論的思路,對(duì)順序知識(shí)的有關(guān)話題加以說(shuō)明,使有關(guān)知識(shí)點(diǎn)對(duì)學(xué)生而言更加直觀,使學(xué)生們可以高效地掌握其在數(shù)學(xué)難題中的正確使用,進(jìn)而充分地調(diào)動(dòng)了他們的學(xué)習(xí)積極性。這樣的課堂教學(xué)過(guò)程，不僅提高了教學(xué)效率，也達(dá)到了提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果和質(zhì)量的目的。

3.2 注意知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，化陌生為熟悉。數(shù)學(xué)是高年級(jí)學(xué)生最重要的學(xué)習(xí)科目之一，學(xué)習(xí)它不僅困難，而且還必須要能夠靈活地掌握相對(duì)應(yīng)解決問(wèn)題的思維模式，而且，為了防止知識(shí)的理論和概念發(fā)生重大變化，如果教師在學(xué)生接觸一個(gè)新主題知識(shí)之前需要對(duì)其進(jìn)行稍作修改，這樣就可以更為合理的引入對(duì)知識(shí)的新理解，進(jìn)而為學(xué)生能夠建立知識(shí)結(jié)構(gòu)提供幫助，進(jìn)而降低學(xué)生對(duì)于陌生知識(shí)的學(xué)習(xí)程度，這將使學(xué)生能夠在解決問(wèn)題的過(guò)程中快速掌握新知識(shí)的關(guān)鍵要素。通過(guò)已經(jīng)知道的知識(shí)和對(duì)已知數(shù)據(jù)和本課題條件之間的精確定位，就可以運(yùn)用已知的知識(shí)來(lái)解決較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題[4]。

3.3 注重引導(dǎo)，真正掌握分類討論思想的要義。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師的角色是班級(jí)的“統(tǒng)帥”。所采用的教學(xué)方法將有效影響學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率。所以,在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)合理利用分類討論的方式,運(yùn)用相似的知識(shí)點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和掌握課本中的知識(shí)點(diǎn),并把所學(xué)知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題處理中,以便訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用分析和處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,正確地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的要點(diǎn),從而得出問(wèn)題的正確回答方法。在當(dāng)前的課堂教學(xué)中,當(dāng)出現(xiàn)典型問(wèn)題時(shí),老師也可引入分類討論的方式,讓學(xué)生合理利用這些方式學(xué)習(xí)一些問(wèn)題,從而增進(jìn)學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題處理思路的認(rèn)識(shí)與把握,使學(xué)生通過(guò)切實(shí)地認(rèn)識(shí)這種方式在解題過(guò)程中掌握了數(shù)學(xué)的基本意義。如此,學(xué)生就能夠完全了解數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì),從而可以了解同一知識(shí)點(diǎn)的解題的基本思路,并針對(duì)幾個(gè)不同類別的知識(shí)點(diǎn)，選擇合理的討論方式。

4.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的有效應(yīng)用

4.1 應(yīng)用于函數(shù)問(wèn)題的解題思路。函數(shù)問(wèn)題是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)難題,由于函數(shù)本來(lái)是一種可變特征,提高了學(xué)生解題的困難度[5]。當(dāng)函數(shù)的取值改變時(shí),相應(yīng)的結(jié)論也就會(huì)改變。所以,當(dāng)學(xué)生和老師在運(yùn)用分類思維時(shí),不但要對(duì)函數(shù)本身加以深入分析,而且還要對(duì)有關(guān)參數(shù)加以科學(xué)合理的探討,這將有利于學(xué)生和老師直接發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的關(guān)鍵點(diǎn),從而進(jìn)一步提升了學(xué)生在數(shù)學(xué)題上的求解速度。所以,學(xué)生在探究用分類法思維處理函數(shù)問(wèn)題的基本思路時(shí),就必須重視對(duì)函數(shù)參數(shù)的分析探討等步驟,以便使學(xué)生對(duì)函數(shù)問(wèn)題的各個(gè)方面都加以更深層次的探究,從而有效的改善了學(xué)生的解題思路與模式。

分類討論是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)解思路，在高中數(shù)學(xué)研究過(guò)程中，運(yùn)用分類思想解決問(wèn)題，既可以幫助自己解決思維問(wèn)題，又可以促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，因此，在數(shù)學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，能夠有效的利用分組討論解決問(wèn)題是一種切實(shí)可行的方法，但在運(yùn)用分類思想解決高中函數(shù)問(wèn)題時(shí)，必須明確函數(shù)本身的不同定義和局限性，因此，必須根據(jù)函數(shù)的概念來(lái)討論函數(shù)的分類問(wèn)題，以確保解決方案的準(zhǔn)確性，例如，在解決“對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)”問(wèn)題時(shí)，必須弄清對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，“假設(shè)00且≠1,比較|loga(1-x)|和|loga(1+x)|的大小”，在考慮對(duì)該函數(shù)進(jìn)行分類前先明確，什么是“對(duì)數(shù)函數(shù)”和“指數(shù)函數(shù)”的概念，它們之間的關(guān)系是什么，如何將指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)函數(shù)，這樣就可以進(jìn)一步討論范圍X，最終得到的答案。因此，在討論高中數(shù)學(xué)函數(shù)分類的解決方案時(shí)，學(xué)生必須根據(jù)功能概念考慮分類。

4.2 根據(jù)函數(shù)圖像進(jìn)行分類討論。函數(shù)在中學(xué)功能的研究中，圖像的性質(zhì)始終是一個(gè)不可分割的主題，它提出了圖像性質(zhì)的問(wèn)題，也成為近年來(lái)高校自主命題的熱點(diǎn)話題，在解決這類數(shù)學(xué)問(wèn)題的，需要通過(guò)分類討論問(wèn)題的思想來(lái)求解整個(gè)難題過(guò)程中的圖像，同時(shí)考慮對(duì)稱軸等關(guān)鍵信息，并通過(guò)確定對(duì)稱軸和圖像交叉點(diǎn)的位置進(jìn)行討論，就能夠很高效地解決。例如,“在平面坐標(biāo)系中,若曲線y2=2X,點(diǎn)a(a,0)是曲線上的一個(gè)移動(dòng)點(diǎn),從曲線點(diǎn)到點(diǎn)a的最近距離是f(a)。試著找出該函數(shù)的分解公式?！碑?dāng)解決這種函數(shù)問(wèn)題時(shí),人們首先要作的事便是在紙張上描繪草圖,并用分類探討澄清了a點(diǎn)和函數(shù)方程之間的關(guān)系,而同時(shí),由于這個(gè)函數(shù)是基于x軸對(duì)稱的,在整個(gè)分類討論過(guò)程中,只有通過(guò)討論大于一或小于一的函數(shù)中的二個(gè)方面,人們才能確定最后的答案。由此,可以發(fā)現(xiàn),分類討論是保證函數(shù)中全部問(wèn)題都解決完成的關(guān)鍵方法,也因此可以有效防止更多求解困難和缺解問(wèn)題的產(chǎn)生,而利用函數(shù)圖形進(jìn)行分類探討又是解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)分類探討問(wèn)題的主要方法,而在這個(gè)過(guò)程中,,能否合理地繪制出相對(duì)應(yīng)的圖形也是分類討論的前提條件。

4.3 概率中的應(yīng)用。與初中相比，高中數(shù)學(xué)是一個(gè)新的篇章，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提出了更高的要求。這就要求教師要注重引導(dǎo)學(xué)生教學(xué)，幫助學(xué)生掌握各種解決問(wèn)題的思路和方法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性。在概率問(wèn)題中運(yùn)用討論性思維是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要途徑，可以引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)散性思維。在這方面，它適用于概率數(shù)學(xué)的知識(shí)，即學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)從實(shí)質(zhì)性問(wèn)題入手，結(jié)合層次思維進(jìn)行理性分析，從而得出問(wèn)題的算法。在這個(gè)過(guò)程中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真閱讀問(wèn)題的習(xí)慣，并能結(jié)合已知條件對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類；二是運(yùn)用分類思維對(duì)課題進(jìn)行全面研究，完成一些假設(shè)性思維；最后，采用正確的分類方法得到問(wèn)題的算法，從而強(qiáng)化解決問(wèn)題的思路，得到正確的答案。通過(guò)在概率問(wèn)題中運(yùn)用問(wèn)題解決的思想，不僅可以促進(jìn)學(xué)生解決問(wèn)題，而且可以增強(qiáng)學(xué)生的思維能力，從而有效地形成數(shù)學(xué)思維。

4.4 將分類討論思想應(yīng)用于數(shù)列解題教學(xué)中。分類討論的思想是指高中數(shù)學(xué)解題時(shí)，一個(gè)任務(wù)可以包含不同的情境，學(xué)生要關(guān)注關(guān)鍵因素，明確變量的范圍和可能的發(fā)展趨勢(shì)，分析不同的情境，最后得出結(jié)果。數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，在解題教學(xué)和訓(xùn)練中具有豐富的討論思路，特別是對(duì)于一些數(shù)列循環(huán)題和與比例數(shù)列和有關(guān)的問(wèn)題，使用分類討論法更為合適。例如，在數(shù)列問(wèn)題中，教師可以對(duì)教學(xué)方式進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，讓學(xué)生運(yùn)用分類思想解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，加強(qiáng)對(duì)數(shù)值級(jí)數(shù)的理解和分類思想的應(yīng)用。例如：假設(shè)等比序列中的公共比率是a，序列的前n項(xiàng)和Sn>0，其中n=1,2,3…，那么a的最終值范圍是什么？在這個(gè)問(wèn)題中，問(wèn)題中已知的條件沒(méi)有指定a的范圍，因此學(xué)生無(wú)法直接獲得有效信息。那么教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想，在回答問(wèn)題的過(guò)程中充分考慮a=1和a≠1兩種不同的情況，從而確定a的最終取值范圍，學(xué)生可以運(yùn)用發(fā)散思維來(lái)充分考慮序列問(wèn)題中的各種可能性，這有利于保持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科的準(zhǔn)確性。

4.5 將分類討論思想應(yīng)用于不等式解題教學(xué)中。不等式也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，能夠鍛煉學(xué)生的邏輯和計(jì)算思維，在高中生的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著非常重要作用。如果教師能將分類討論的思想融入到不等式相關(guān)的問(wèn)題中去，就能夠積極引導(dǎo)學(xué)生更有效、更準(zhǔn)確地解決不等式相關(guān)的問(wèn)題，進(jìn)而有效的培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)精神。因此，教師可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題解決教學(xué)中運(yùn)用分類討論的思想。例如，在不等式相關(guān)問(wèn)題的教學(xué)中，教師可能會(huì)問(wèn)：“知道K/n，不等式的整數(shù)解集(m，N)是什么？”│ M│ N│ < K“，？在這種不等式的問(wèn)題中，學(xué)生不能用常規(guī)的計(jì)算方法得出最終的結(jié)果，然而運(yùn)用分類討論的思想可以有效的解決這一問(wèn)題，老師可以讓學(xué)生以k為參數(shù)，進(jìn)一步使用其他與k相關(guān)的參數(shù)時(shí)，當(dāng)k分別被設(shè)置為1、3和4等不同的數(shù)時(shí)，得出相對(duì)應(yīng)的結(jié)果，然后根據(jù)結(jié)果推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的解題規(guī)律。

5.結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)中還存在著非常多學(xué)生一時(shí)半會(huì)難以理解的難題和知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生在處理這類問(wèn)題時(shí)必然會(huì)遇到難處，因此我們高中的數(shù)學(xué)教育改革需要做出相對(duì)應(yīng)的調(diào)整。隨著我國(guó)高中數(shù)學(xué)新課程改革的不斷深入，如何讓問(wèn)題最好的得到解決也成為了高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的重要組成部分。在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題處理過(guò)程中合理使用分類討論法,一方面有助于提升問(wèn)題處理的速度與準(zhǔn)確率,另一方面還可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)積極性。所以對(duì)于現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)充分意識(shí)到實(shí)施分類討論思想的重要性，并將這樣的解題思想和數(shù)學(xué)的難題進(jìn)行緊密的聯(lián)系，從而讓學(xué)生能夠形成自己的解題模式，進(jìn)而有效的提高數(shù)學(xué)解題素養(yǎng)。