等距對(duì)應(yīng)視角下的測(cè)地線

吳鈺瑩， 包圖雅， 劉曉周

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼 028000)

1 引 言

測(cè)地線是微分幾何學(xué)中最基本的概念之一，也是幾何學(xué)最基本的研究對(duì)象.曲面上的測(cè)地線在研究曲面中有著非常重要的地位，是曲面的一個(gè)重要指標(biāo).通過(guò)曲面上測(cè)地線的形狀和性質(zhì)，可以分析曲面的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).比如，球面上的測(cè)地線必在球面的大圓上[1].參考文獻(xiàn)[2]通過(guò)給出一些特殊曲面上的測(cè)地線的幾何特征，然后利用測(cè)地線的等距不變性，去分析螺面上測(cè)地線的大致分布情況.參考文獻(xiàn)[3]通過(guò)研究橢球面與平面交線的幾何性質(zhì)，找到了橢球面上所有平面曲線類型的閉測(cè)地線.想了解測(cè)地線的形狀和性質(zhì)，求出測(cè)地線的方程也是一個(gè)有效途徑.測(cè)地線的決定僅依賴于曲面的第一基本形式，當(dāng)兩個(gè)曲面成等距對(duì)應(yīng)時(shí)，與測(cè)地線相對(duì)應(yīng)的曲線也是測(cè)地線[4].本文是在兩個(gè)曲面可以等距對(duì)應(yīng)[5]的前提下，求出其中一個(gè)具有正交坐標(biāo)網(wǎng)的曲面上的測(cè)地線方程，再通過(guò)等距對(duì)應(yīng)求出了另一個(gè)曲面上的測(cè)地線方程.并利用數(shù)學(xué)軟件畫(huà)出了測(cè)地線的圖像.

命題1[6]當(dāng)曲面r=r(u,v)上的坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)(F=0)時(shí)，劉維爾(Liouville)公式：

(1)

當(dāng)kg=0時(shí)由劉維爾公式得到曲面上的測(cè)地線方程

(2)

其中θ表示曲線的切方向與ru的夾角，E,F,G是曲面r=r(u,v)的第一類基本量.

引理1[7]

引理2[8]懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t}與正螺面r={ucosv,usinv,v}可建立等距對(duì)應(yīng)u=sinht,v=θ.

引理3[9]拋物柱面r={2pu,2pu2,v}(p>0)與平面r={x,y,0}可建立等距對(duì)應(yīng).

2 主要結(jié)果

定理1螺旋面r={ucosv,usinv,u+v}上的測(cè)地線族方程為

其中c為非零常數(shù).

利用公式(2)求解旋轉(zhuǎn)雙曲面的測(cè)地線方程.由于

(3)

其中α(α∈[0,π])是曲線的切方向與rρ的夾角.

(4)

對(duì)(4)式第二式兩邊積分得

ln(sinα)=-lnρ+ln|c|(c為非零常數(shù)).

所以

因此由(4)式第一式可得

又因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)曲面成等距對(duì)應(yīng)時(shí)，與測(cè)地線相對(duì)應(yīng)的曲線也是測(cè)地線[4].所以螺旋面r={ucosv,usinv,u+v}上的測(cè)地線方程為

推論1當(dāng)c=±1時(shí)，螺旋面r={ucosv,usinv,u+v}上的測(cè)地線方程為

其中ρ0是大于1的常數(shù).

下面給出旋轉(zhuǎn)雙曲面與螺旋面上的測(cè)地線示意圖(見(jiàn)圖2).

圖1 旋轉(zhuǎn)雙曲面，螺旋面上的測(cè)地線示意圖

證正螺面的第一類基本量E=1,F=0,G=u2+1，所以曲面坐標(biāo)網(wǎng)為正交坐標(biāo)網(wǎng).

利用公式(2)求解正螺面的測(cè)地線方程.由于

(5)

其中α(α∈[0,π])是曲線的切方向與ru的夾角.

因?yàn)楫?dāng)u=0時(shí)測(cè)地曲率為0，所以u(píng)=0這條曲線是測(cè)地線.

由于懸鏈面r={coshtcosθ, coshtsinθ,t}與正螺面r={ucosv,usinv,v}可建立等距對(duì)應(yīng)u=sinht,v=θ[8].所以懸鏈面上的曲線方程為t=0.

又因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)曲面成等距對(duì)應(yīng)時(shí)，與測(cè)地線相對(duì)應(yīng)的曲線也是測(cè)地線[4]，所以懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t}上的測(cè)地線方程為t=0.

(6)

對(duì)(6)式第二式兩邊求積分，得

所以

因此由(6)式第一式可得

對(duì)上式兩邊分別求積分得正螺面r={ucosv,usinv,v}上的測(cè)地線方程為

由于懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t}與正螺面r={ucosv,usinv,v}可建立等距對(duì)應(yīng)u=sinht,v=θ[8].所以懸鏈面上的曲線方程為

又因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)曲面成等距對(duì)應(yīng)時(shí)，與測(cè)地線相對(duì)應(yīng)的曲線也是測(cè)地線[4]，所以懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t}上的測(cè)地線方程為

推論2當(dāng)c=±1時(shí)，懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t}上的測(cè)地線方程為

其中u0是常數(shù).

經(jīng)過(guò)參數(shù)變換u=sinht,v=θ，得懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t}上的測(cè)地線方程為

下面給出正螺面與懸鏈面上的測(cè)地線示意圖(見(jiàn)圖2).

圖2 正螺面，懸鏈面上的測(cè)地線示意圖

定理3拋物柱面r={2pu,2pu2,v}(p>0)上的測(cè)地線族方程為

其中k,b為常數(shù).

證設(shè)y=kx+b(k,b為常數(shù))為平面上的一條直線，那么這條直線一定是平面上的測(cè)地線[6].

因?yàn)閽佄镏鎟={2pu,2pu2,v}(p>0)與平面r={x,y,0}可建立等距對(duì)應(yīng)[9]

所以拋物柱面的曲線方程為

又因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)曲面成等距對(duì)應(yīng)時(shí)，與測(cè)地線相對(duì)應(yīng)的曲線也是測(cè)地線[4]，所以拋物柱面r={2pu,2pu2,v} (p>0)上的測(cè)地線方程為

下面給出平面與拋物柱面上的測(cè)地線示意圖.

圖3 平面、拋物柱面上測(cè)地線的示意圖

3 結(jié) 論

本文利用曲面之間的等距對(duì)應(yīng)求出了曲面上的測(cè)地線方程，并且為不具有正交坐標(biāo)網(wǎng)的曲面求解測(cè)地線方程提供了新思路，計(jì)算方法簡(jiǎn)潔明了，容易理解.但是找到等距對(duì)應(yīng)的曲面是不容易的，目前已知的是幾個(gè)特例.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).